Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
6.1.3. Последствия автокорреляции
Loading...
From the course by Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
253 ratings
Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
253 ratings
From the lesson
Автокорреляция
Или о том, чем могут быть опасны зависимые ошибки :)
Meet the Instructors
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Автокорреляция порядка p — это более богатая модель для структуры зависимости между ε, а именно: предполагается, что ε_t — это φ_1 ε_{t‒1} + φ_2 ε_{t‒2} + ... + φ_p ε_{t‒p} + новая случайная составляющая u_t, которая удовлетворяет тем же предпосылкам: u_t независимы между собой, независимы от регрессоров, одинаково распределены, нулевое математическое ожидание, постоянная дисперсия σ² u. В отличие от автокорреляции первого порядка, автокорреляция порядка p допускает более сложную структуру корреляций между ε_t и ε_{t‒k}, между ε_i и ε_j. Если раньше корреляция между ε_t и ε_{t‒k} — это просто было ρ в степени k, то есть она убывала по модулю, то сейчас корреляция не обязана сразу начинать убывать, она может принимать довольно произвольные значения, хотя общий факт сохраняется: предел Corr(ε_t, ε_{t‒k}) при k, стремящемся к бесконечности, равен 0. То есть это означает, что если расстояние по времени между наблюдениями очень велико, то сила зависимости между ними будет маленькой, то есть зависимость между ε_t и ε_{t‒k} убывает с ростом расстояния по времени, предел равен 0. Посмотрим, как взаимодействует предпосылка об автокорреляции с другими предпосылками. Во-первых, автоматом оказывается нарушена предпосылка о независимости отдельных наблюдений. То есть раньше мы говорили, что вектор из всех объясняющих переменных и зависимые переменные, относящиеся к наблюдению i, и такой же вектор, относящийся к наблюдению j, были независимы и одинаково распределены. Теперь они зависимы, хотя по-прежнему и будут одинаково распределены. И, во-вторых, очень часто во временных рядах нарушена предпосылка о строгой экзогенности: о том, что E(ε_t|X) = 0. Как правило, эта предпосылка нарушена. Могут быть отдельные редкие исключения, в которых она не нарушена, а мы для простоты будем предполагать ситуацию, что эта предпосылка не нарушена. Хотя, например, даже включение предыдущей зависимой переменной в регрессоры, например, наличие y_{t‒1} среди регрессоров, автоматически означает нарушение предпосылки о строгой экзогенности. Для возможности включения прошлого значения зависимой переменной в регрессоры есть два подхода. Первый подход — это ослабить предпосылки, и второй подход — это использовать принципиально другой метод, метод максимального правдоподобия, и работать с ним, а не с методом наименьших квадратов и не с его свойствами. В основном, большая часть временных рядов построена на методе максимального правдоподобия, поэтому мы не будем разбирать варианты с ослаблением предпосылок, которые подходит для того, чтобы принять метод наименьших квадратов для временных рядов. Итак, посмотрим, что произойдёт, если мы будем использовать прежние формулы для оценок коэффициентов, для стандартных ошибок, а в ε_t будет автокорреляция порядка p. Итак, для оценок мы используем классическую формулу β с крышкой равно (X'X)^(-1)X'y. И для оценки ковариационной матрицы — снова RSS, сумма квадратов остатков, делить на n ‒ k, помножить на (X'X)^(-1). В частности, это означает использование для оценки дисперсии, оценки j-того коэффициента, σ² с крышкой, деленное на RSS_j, где RSS_j — это RSS в регрессии j-того регрессора на остальные регрессоры. Напомним, что у нас было три группы свойств, которые возникали при использовании этих формул и выполненных стандартных предпосылках, а именно: у нас были свойства, связанные с конечной выборкой без предположения о нормальности ε, свойства для конечных выборок с предположением о нормальности ε и асимптотические свойства для больших выборок, то есть когда n стремится к бесконечности. Рассмотрим, что происходит с каждой группой свойств. Для конечной выборки без предположения о нормальности ε сохраняется свойство линейности по y, сохраняется условная несмещённость, то есть математическое ожидание от β с крышкой при фиксированных X равно β. Это хорошее свойство, это говорит о том, что наши оценки, которые мы получаем, β с крышкой, могут оказаться выше, чем неизвестные β, могут оказаться ниже, чем неизвестные β, но в среднем мы попадаем в неизвестные интересующие нас β. Оценки как и в случае гетероскедастичности неэффективны: здесь автокорреляция очень похожа по своим последствиям на гетероскедастичность. Что касается конечной выборки с предположением о нормальности ε, здесь мы теряем все свойства, которые были при выполнении всех предпосылок классической линейной модели регрессии. То есть распределение t-статистики уже не является t-распределением, распределение RSS делить на σ² не является хи-квадрат распределением в точности, и, соответственно, распределение F-статистики, проверявшей гипотезу о совпадении ограниченной и неограниченной моделей, также не является в точности F-распределением. Асимптотические свойства отчасти сохраняются. В частности, при наличии авторегрессионной схемы порядка p, фиксированного порядка p в ошибках, β с крышкой по-прежнему являются состоятельными оценками для β, то есть с ростом количества наблюдений, если у вас достаточно много наблюдений, то оценки, которые вы получаете, β с крышкой, будут очень похожи на настоящие β. Но, к сожалению, проверять гипотезы по стандартным формулам не получается даже при большом количестве наблюдений. Даже если n стремится к бесконечности, t-статистика не становится нормально распределённой. Вкратце подвести итог последствиям можно следующим образом. Сами β с крышкой, сами оценки коэффициентов, в условии автокорреляции можно интерпретировать как и раньше и использовать. Однако стандартные ошибки, считаемые по стандартным формулам, несостоятельны, и пооэтому мы не можем, используя обычные формулы, строить доверительные интервалы для неизвестных коэффициентов и проверять гипотезы.
Coursera provides universal access to the world’s best education, partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2017 Coursera Inc. All rights reserved.
