Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Движения окружности. Диаметрально противоположные точки
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
16 ratings
From the lesson
Движения окружности
Meet the Instructors
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Третья неделя будет в основном посвящена анализу движений окружности и, возможно,
каких-то связанных с классификацией движений окружности сюжетов.
Итак, представьте себе большой тонкий обруч,
который выполнен из какого-нибудь жесткого материала.
Его нельзя ни изогнуть, ни растянуть.
Ну, бывают такие крутящиеся колеса,
в которых девочки танцуют, вот что-то в этом духе надо себе представить.
Это еще проще, чем бесконечную прямую.
И вот вопрос — что мы можем сделать с этим обручем?
Какие движения можно с ним произвести, чтобы точки его как-то меняли
свои положения, но при этом чтобы обруч остался как единое целое на месте?
Пожалуй, мы немножко ускоримся, потому что много аналогий с предыдущим сюжетом.
А именно: были у нас переносы и отражения.
Теперь роль переносов явно будут служить повороты.
То есть вот я беру обруч и вот так вот верчу, как руль.
Раньше мы прямую перемещали вот так вот, как единое целое.
Теперь мы обруч просто вертим, как единое целое.
В каком смысле это аналогично переносу?
Ну, например, в том смысле, что нет неподвижных точек.
Теперь вопрос: а что есть аналогия отражения прямой?
Ответ — это отражение обруча.
Но какое?
Вот такое.
То есть я беру за две противоположные точки, И вот так переворачиваю его,
как бы наизнанку.
Полностью на 180 градусов.
Ясно, что можно взять только за две противоположные точки,
потому что если я возьму за какие-то непротиповоложные,
обруч изменит в пространстве свое положение.
Был вот таким, а станет вот таким.
Поэтому чтобы не изменилось положение обруча как единого целого,
надо брать за противоположные.
Вот.
Более того, можно доказать даже строго
следующий факт: факт, который отличает
задачу про обруч от задачи про жесткую прямую линию.
Факт: если при
движении g нашей окружности...
В принципе, что такое обруч?
Это окружность.
У нее, кстати, у окружности, есть имя.
Она называется S1.
Причины, почему она так называется — ну, либо вы их знаете,
либо они вскроются чуть позже.
Пока просто будем называть это S1.
А S2, например, это сфера, поверхность мяча.
Так вот, если при движении g какая-то
точка A на нашей окружности
осталась неподвижной,
то и
диаметрально противоположная
точка A с волной — тоже.
То есть здесь уже не будет прямо слово в слово переписанное
утверждение о классификации, не будет переписанного утверждения теоремы Шаля.
Они получат какие-то видоизменения.
Итак, что утверждается?
Что вот если есть точка A и мы при каком-то движении обнаружили,
что она осталась на месте, то тогда вот та вот, ровно на противоположной
стороне точка А с волной, тоже должна остаться на месте.
Вот.
Ну, как это доказать?
Давайте докажем это следующим образом.
Доказательство такое.
Расстояние, которые мы обазначим буковкой ρ («ро»)...
Давайте постепенно вводить символы для разных используемых понятий.
Начиная с этой лекции, мы расстояние тоже будем обозначать какой-то буквой,
будем обозначать буковкой ρ.
Так вот, расстояние от A с волной до
A должно сохраниться после того,
как А и А с волной куда-то сдвинулись.
То есть должно быть равно (просто потому что g — это движение,
и оно сохраняет расстояние) расстоянию от новой точки gA с волной до новой точки gA.
Однако по условию новая
точка gA совпадает с точкой A,
поэтому расстояния от образа
А с волной до А должно сохраниться.
Но дело в том, что у А с волной расстояние до
А максимально вообще возможное в рамках окружности.
Да, мы расстояние можем мерить как по прямой, вот так вот,
так и прямо по окружности.
И на самом деле, если честно, удобнее мерить расстояние по окружности.
Это нас сразу приведет к радианам как измерению длины и прочим полезным вещам.
Давайте считать расстояние,
сколько времени придется обходить прямо по самому обручу, то есть в рамках обруча.
И это, кстати, более правильно методологически.
Смотрите, у нас есть обруч, у нас ничего кроме него нет.
У нас на самом деле нет способа взять и пробежать вот так вот, минуя,
кратчайшим путем вот так пролететь по воздуху, нет такого способа.
У нас есть только одно «но», что это вот...
«но», что точка обруча.
Поэтому расстояние — это кратчайшее расстояние по нему внутри этого множества.
Ну и тогда мы должны мерить, конечно, вот по этой самой.
Так вот...
Но, тем не менее, и так, и так мерить...
Как вы ни мерьте, единственная точка, которая находится на максимально
возможном расстоянии от А, это А с волной, поэтому так как А осталась на месте,
то А с волной должна остаться на том же максимальном расстоянии,
а такое максимальное расстояние только на точке А с волной и реализуется.
От всех других точек точка А будет ближе.
Поэтому из этого обязательно следует, что gA с волной должно совпадать с А с волной,
иначе мы ничего не сможем, никуда ее не сможем переместить.
Кстати, следствие этого факта, которое я просто проговорю,
состоит в том, что вообще точки двигаются парами.
То есть если есть какое-то другое движение H, которое точку А куда-то переместило,
то тогда точка А с волной должна переместиться в противоположную к В точку.
Снова из-за того же самого факта, что расстояние должно сохраниться,
но расстояние самое большое возможное будет реализовано только в том случае,
если образ А с волной будет противоположен образу А, то есть точке В.
Вот и получается, что у движений обруча есть замечательное
свойство — они двигают сразу по две противоположные точки, и, кстати сказать,
то же самое верно для движений сферы, но к этому мы чуть позже вернемся.
Это факт, который носит проективную природу, я сейчас не развиваю эту тему.
Итак, раз верен этот факт, то нам нужно соответствующим образом
видоизменить и лемму о двух гвоздях, и, собственно, теорему классификации.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
