Итак, факторизация для некоммутативных

групп на примере группы S3.

Теперь я еще упрощу обозначение, буду обозначать так.

Перестановку каждую буду обозначать следующим образом: перестановку

1 назову буковкой e, чтобы короче писать, а каждую из перестановок,

в которых сохраняется какой-то элемент, я запишу в виде вот такой вот скобочки.

Внутри них два элемента, которые переставляются друг с другом.

Их называют «транспозиция».

Вот это транспозиции.

Вот это.

А две циклических перестановки, когда 1 переходит в 2, 2 в 3, 3 в 1,

я буду вот так обозначать.

Это общепринятый способ обозначать вообще перестановки в

виде указания по каким циклам бегают элементы в них.

Для группы S3 из шести элементов каждый раз цикл только один будет.

Эти три цикла — из двух элементов, это — из трех.

Для более сложных групп перестановок на большем числе символов возможны

произведения циклов.

Это отдельная большая наука,

мы ее коснемся постольку поскольку она нам понадобится.

Это, в принципе, отдельная история, как устроены группы перестановок,

и очень сложная история.

Но пока нам просто достаточно, что мы договорились, что вот что это такое —

значит, 1 переходит в 2, 2 в 3, а 3, соответственно, возвращается снова в 1.

И тут 1 в 3, 3 в 2, а 2 возвращается в 1.

А здесь если не указан какой-то элемент, значит он на месте просто остается и все.

Запись через циклы.

А это, соответственно, транспозиция — это цикл длины 2, а это – циклы длины 3.

Вот и все перестановки из нашей группы.

Теперь смотрите.

Я утверждаю,

что существует изоморфизм этой группы с группой симметрии треугольника.

Вот мы пытались выяснить, есть ли изоморфизм с известной нам группой из

шести элементов, а именно с группой остатка по модулю шесть.

Но в этот момент мы забыли, что мы знаем еще одну группу из шести элементов.

А именно — все движения, сохраняющие на месте треугольник.

Пришла пора их формально описать.

Смотрите.

На плоскости есть точка, находящаяся на равном расстоянии от всех трех вот этих.

Такая точка только одна, поэтому при движении у нее нет никаких шансов кроме

как остаться на месте, иначе ей некуда деться и она должна перейти в точку,

которая тоже на равном расстоянии от наших.

Но если треугольник сохранился на месте, то, соответственно...

Кстати, простое упражнение — вершины переходят в вершины при любом движении,

сохраняющем треугольник.

Тогда смотрите, что можно сказать?

Что при любом движении, которое сохраняет треугольник,

у нас происходит некоторая перестановка его вершин.

Обратный вопрос: верно ли,

что любая перестановка каким-то движением реализуется?

Давайте пронумеруем вершины: 1, 2 и 3.

Прекрасно.

Значит, у нас есть три вершины и,

допустим, есть перестановка 2-1 вот такая.

То есть транспозиция двух элементов.

Ну ясно, что это отражение относительно вот этой прямой.

То есть у нас все транспозиции — это отражения относительно вот

таких трех прямых.

Вот. Ну а циклы длины три, это что такое?

Это, конечно, повороты просто.

Поворот в одну сторону на 120 и в другую на 120.

Ну а тождественному соответствует поворот на 360 или на 0,

это уж как хотите называйте.

Тождественному соответствует тождественное движение плоскости,

ничего не меняющее — Id.

Вот получается у нас...

Ясно, что при композиции движений, сохраняющих треугольник,

возникает композиция преобразований буквально по определению.

Что куда переходит.

Это просто я записал куда переходят точки 1, 2 и 3 при соответствующих движениях.

Зачем я это все делаю?

А вот зачем.

Смотрите — у множества движений плоскости (вот все движения плоскости,

которые мы уже расклассифицировали)

есть некоторое выделенное

отображение в множества из двух элементов {+, −}.

А именно: каждому движению я ставлю соответствие «+»,

если плоскость не перевернулась в процессе этого движения.

То есть вы представляете себе плоскость такую, как фольгу двустороннюю (одна

сторона одного цвета, другая — другого), и при отражениях у нас сторона меняется,

а при поворотах она не меняется, поэтому у нас все движения плоскости

просто разбиваются на классы отражений и поворотов.

Отражением ставится, соответственно, знак «−», поворотом — знак «+».

Ну и если еще немножко подумать, ясно, что, в общем-то, это отображение...

Вот если я взял композицию здесь двух движений,

то здесь надо взять чет и нечет относительно

обычной таблички преобразований и получится, что композиция

соответствует композиции четов и нечетов относительно вот этого плюсика.

То есть, если есть два движения, сохраняющих то, что называется...

Это называется так — «сохраняет ориентацию», по-научному.

Так вот, если два движения сохраняли ориентацию,

то их композиция тоже сохраняет ее, естетвенно,

потому что ни одно не меняло сторону плоскости, значит и она не поменялась.

Если одно меняло, другое — не меняло, то понятно, что в результате все поменялось.

А если два преобразования меняли ориентацию плоскости,

то есть переворачивали ее наизнанку,

то композиция обратно вернула, у нас у плоскости ровно две стороны.

Поэтому у нас каждому движению плоскости

соответствует буковка ч или н, и композиции движений

соответствует вот это вот сложение по модулю 2,

и все это называется по науке

страшным словом «гомоморфизм групп».

Мы уже знаем изоморфизм.

Чем отличается гомоморфизм от изоморфизма?

Гомоморфизм не обязан

давать разные имена разным преобразованиям здесь.

То есть не обязан, иными словами, быть взаимно однозначным соответствием.

Он может быть каким угодно отображением, пожалуйста, склеившим точки.

В данном случае вообще все повороты у нас склеены

в один значок «+», а все отражения склеены в другой значок — «−».

И соответственно, всем поворотам соответствует буковка ч,

а всем отражениям буковка н.

Но все равно верно,

что композиция любых двух преобразований ставит соответствие суммы.

То есть, как вот это вот можно себе представить?

Это попытка, так сказать, посмотреть на какие-то эффекты с точностью до.

То есть посмотреть в грубом виде на то, как устроена группа,

как устроена композиция в этой группе.

Вообще, это очень сложно.

Но определенную информацию об этой группе мы можем получить, сказав, что есть

гомоморфизм из этой группы в группу всего из двух элементов (чет, нечет).

Вот эта вот информация состоит в том, что если есть два преобразования,

сохраняющих ориентацию, то композиция тоже сохраняет.

Если два преобразования меняют ориентацию, то композиция сохраняет.

Если одно преобразование меняет, одно сохраняет,

то композиция в любом порядке будет менять.

И вот это вот называется гомоморфизм групп.

И если его ограничить на вот эти шесть преобразований, сохраняющих треугольник,

то есть на нашу группу перестановок на трех символах,

то вот это будет чет, это — чет, это — чет.

Потому что это повороты.

А это — нечет, нечет, нечет.

То есть мы разбили опять нашу группу на два куска.

В первом куске (e, 1 2 3, 1 3 2),

а во втором куске — (1 2), (1 3) и (2 3),

и мы можем сказать, что любые преобразования внутри кусков...

Вот если мы взяли одно отсюда и одно отсюда и скомпоновали

в любом порядке, то неважно, какую именно взяли отсюда, какую отсюда.

Всегда результат будет принадлежать одному и тому же куску.

Вот если из разных кусков будет, то вот этому.

А если оба из одного и того же куска преобразования,

скажем, вот это на это — будет e.

Это на это будет одно из вот этих.

Это на это — тоже одно из вот этих.

То есть внутри групп преобразования производятся одинаковым образом.

То есть мы смогли произвести вот это вот деление на классы так же,

как мы это делали для коммутативных групп,

только мы теперь сделали это для некоммутативной группы.

Какая проблема здесь принципиальная возникает?

Принципиальная проблема состоит в следующем — не любую

подгруппу можно использовать для такой кластеризации.

Иными словами, если я попытаюсь разбить группу...

Скажем, вот у нас подгруппа, пожалуйста, Транспозиция (1, 2),

примененная два раза, дает e.

Это подгруппа из двух элементов,

все подгруппы из двух элементов одинаковы и устроены как чёт-нечет.

Если я ее выделю и попытаюсь как-то разбить оставшиеся четыре

элемента на два класса, сдвигая вот эту подгруппу, то окажется,

что важно, с какой стороны я применял преобразования вот эти вот при сдвиге.

Если я слева преобразовал — получится одно разбиение, а если справа — то другое,

накрест.

И эта подгруппа не может служить

базисом для создания группы на основе таких сдвигов.

То есть мы можем разбить на классы,

но операцию композиции на классах мы выполнить не сможем.

Не получится добиться того, чтобы на множестве классов была задана

структура группы, которая будет повторять в общих

чертах структуры композиции в исходной группе из шести элементов.

Пока это все слишком умозрительные слова, мы к этому еще много раз вернемся.

И это требует отдельного, очень досконального исследования,

какие подгруппы можно использовать как блоки для деления на классы.

Я лишь сейчас дам ответ, мы еще много раз вернемся к этому,

мы постепенно будем все глубже и глубже это понимать.

Ответ будет таким.

Можно использовать для деления группы на классы те подгруппы,

которые являются ядрами — это такое новое слово — гомоморфизмов.

Что такое ядро?

Ядро — это множество всех элементов группы,

которые переходят в единичные элементы группы справа.

В группе чёт-нечет, например, единичным элементом служит чёт.

Значит ядром вот этого гомоморфизма служат все повороты.

Множество всех поворотов лежит в ядре.

Заметьте, что это подгруппа.

Это подгруппа, потому что композиция поворотов является поворотом.

У нас получается, что значит, что все повороты лежат в ядре?

Значит, что в новой ситуации, когда мы произвели гомоморфизм,

мы все рассматривали с точностью до поворотов.

Мы игнорировали повороты, и тогда осталось довольно скудное разбиение,

всего два класса будет — повороты и отражение.

Что такое группа движений, сохраняющих наш треугольник,

группа движений плоскости с одной неподвижной точкой,

с точностью до поворотов?

Это просто два элемента — чёт-нечет.

Это значит, нужно сказать, что преобразование либо сохраняет ориентацию,

либо меняет.

Если поворот — значит сохраняет, если не поворот — значит меняет.

И все.

Вот это такая очень грубая классификация всех движений.

Ответ будет такой.

Если подгруппа является ядром хотя бы одно гомоморфизма,

то есть если можно придумать гомоморфизм групп такой,

что наша подгруппа переходит в единичный элемент.

То тогда на основе нее можно построить вот такую вот кластеризацию.

Если гомоморфизма нет, то нельзя.

Теорема: не существует ни одного

гомоморфизма вот этой группы в какую-либо иную группу,

ядром которого служит подгруппа из этих двух элементов.

То есть такого гомоморфизма,

что в единичный элемент в этой группе перейдут e и транспозиция (1, 2).

Попробуйте ее сами доказать, но мы в какой-то момент к этому

вернемся и будем это доказывать в рамках дальнейшего изучения абстрактных групп.

А пока мы получили некоторое дополнительное представление о

факторизации, которое используем для анализа чисел как преобразований.

Факторизация на примере некоммутативной группы

Геометрия и группы

Meet the Instructors