[БЕЗ ЗВУКА] Итак,

отображение из Sn в Sn.

Точнее, классы таких отображений с отмеченными точками.

Что мы изучаем?

Мы изучаем, ну например, берем окружность, отмечаем точку,

берем в точности ту же самую окружность с отмеченной точкой и смотрим,

как можно было бы перевести эту окружность в эту.

Ну, например, тривиально,

следующим образом: все точки этой окружности схлопнуть вот сюда.

Вот так.

Взяли и схлопнули все.

Но с другой стороны, можно же перевести ее тождественно, да?

Тождественно, то есть просто поточечно, каждую в каждую.

Эту – сюда, эту – сюда и эту – сюда.

Назовем их pt, pt – это тривиальное, и Id.

Id мы уже называли много раз, это тождественное.

Ну и для произвольного n – то же самое.

Для любого n то же самое.

Теорема.

[БЕЗ СЛОВ] Для

любого n вот это pt (давайте его со

значком n вот здесь и здесь напишем, чтобы...

это будет pt1 и Id1,

а если это будет n-мерная ситуация,

будет ptn и Idn, то есть просто на n-мерной схеме.

Ну, далее pt2,

это когда мы берем обычную сферу и всю схлопываем в какую-то одну ее точку.

А Id2 – это тождественное отображение сферы в себя,

каждая точка переходит в себя.

Так вот, pt никогда не гомеоморфна Idn.

Заметьте, что это первое утверждение такого содержательного толка.

До этого были какие-то конструкции, отображения,

гомотопические эквивалентности, Бог знает что!

И мы даже не понимали,

но можем ли мы хоть что-то где-то различить с помощью этого метода.

Ответ: «Можем!» Мы можем доказать, что на самом деле эти гомотопические группы,

это не такая уж тривиальность.

В частности, nt-я гомотопическая группа n-мерной сферы не равна pt,

нетривиальна, не состоит из одного нулевого класса.

В частности,

Πn(Sn) ≠ pt.

На самом деле,

можно доказать, но это мы делать не будем,

Πn(Sn) = Z,

[БЕЗ СЛОВ] то есть группе целых чисел.

Она изоморфна группе целых чисел.

Вот эта группа изоморфна группе целых чисел.

Но мы лишь докажем, что вот эти два отображения не гомотопны друг другу.

То есть в этой группе есть как минимум два разных элемента.

Как мы это будем доказывать?

Ну, конечно, мы будем доказывать это от противного,

как еще можно такие вещи доказывать?

От противного.

Пусть существует

непрерывное отображение F из Sn * [0,

1] в Sn такое,

что F на срезе 0 = Idn,

а F на срезе 1 = ptn.

Со значком n везде.

Как бы это увидеть?

Ну, например, так это можно увидеть на

рисунке: вот цилиндрик наш,

ну, я рисовать могу только в случае, если это S1.

В случае, если это Sn,

нужно представлять себе такое страшное n + одномерное пространство.

В нем вот это мерный цилиндр.

Но вот эту ситуацию я могу нарисовать.

Значит, здесь мы имеем отображение просто тождественное.

Окружность в себя переходит и все.

Дальше что-то происходит, а вот эта вся окружность целиком...

да, и вот у нас выделенная точка, вот, везде все с выделенными точками.

И вся эта прямая, здесь этот отрезочек переходит в нее,

а сверху еще и вообще в нее все схлопывается.

Цилиндр как бы раз вот так, нижняя часть вот такой становится, а верхняя...

раз и схлопывается в одну точку.

Что я сделал?

Фактически, я перевел вот этот цилиндр, который можно себе представить в виде

конуса, потому что весь последний срез схлопывается в точку,

поэтому можно продолжить это дело на конус.

Вот это отображение – это я уже намекаю на доказательство, на самом деле,

– это отображение продолжается на конус.

Нижнюю часть конуса я также рисую на окружности, дальше полностью,

как написано, вот здесь каждый срез делаю, а верхнюю точку перевожу туда,

куда вся вот эта вот окружность переходит, то есть вот в этот 0 с чертой.

И получается непрерывное отображение конуса в окружность.

Конус это что такое?

Топологический конус – это то же самое, что диск.

Потому что его можно так сверху вот сплющить,

п-фф на него и все – у нас вот центр и вот расходящиеся эти лучи,

получается, что диск D2 непрерывно отображен в окружность.

Это невозможно по некоторой знаменитой теореме.

И вот сейчас мы к теореме все это сведем.

И самый наш последний сюжет будет краткое описание этой

самой великой на свете теоремы, вообще, можно сказать, самой великой теоремы

всех времен и народов – Теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Итак, что же я делаю в общей ситуации?

Это я все нарисовал при n = 1, но я хочу объяснить, что будет в общей ситуации.

Значит, если есть такое непрерывное отображение,

то тогда строим следующее

отображение Ψ из

диска Dn в себя.

Диск – это...

ну, если сфера мерная – это решение уравнения сумма квадратов координат = 1,

то диск – это когда сумма квадратов координат ≤ 1.

То есть это n-мерная сфера в соответствующем n = одномерном

пространстве и вся внутренность, ну, на самом деле, я прошу прощения,

тут вот именно n + 1 надо поставить, потому что что такое n-мерная сфера?

Это решение уравнения (x0² +...

+ xn²) = 1.

То есть это объект n + одномерного пространства,

которое n-мерно по своей природе (там одно условие ставится: сумма квадратов = 1),

но лежит в n + одномерном пространстве.

В нем он делит пространство на две части: внутренность и внешность.

Ну вот внутренность записывается тем,

что сумма квадратов координат ≤ 1 и это как раз вот диск Dn + 1.

Так вот я следующее отображение строю.

При n = 1 видно, что я строю отображение D2 в D2.

На самом деле оно будет все опрокидывать вот это вот на границу свою.

Но это неважно, потому что граница – это часть вот этого шара, это просто шар.

Диск? Я говорю диск,

но на самом деле это просто обычный n + одномерный шар, целиком, с мясом,

так сказать, шар с мясом.

Так вот, следующее отображение строим.

Диск можно расслоить вот так,

как я здесь сделал – на такие, как бы, на сферочки.

Вот это вот n-мерная сфера и ее граница и дальше я это сферу

начинаю вниз схлопывать, к центру этого диска, каждый раз,

а следующая сфера определяется уравнением: сумма квадратов координат = t.

Вначале была равна 1, потом, скажем, 0,99,

потом 0,9 и так далее и потом 0,1, наконец просто 0.

Если сумма квадратов координат равна 0, то это одна точка 0.

Вот я расслоил.

Что же я теперь делаю?

Я слою номер t,

слою номер t

по определению назначаю то,

что F делало с точкой

y нашей сферы в момент t, так,

только надо не перепутать: при t = 1 у нас будет pt, то есть тут на самом деле,

наоборот, надо поменять направление, 1 − t здесь написать.

Это совершенно неважно.

Изменение направления не имеет значения, но вот что имеет значение – это знак «−».

Вот это имеет кардинальнейшее значение.

Посмотрите: я задал отображение,

которое устроено следующим образом.

Во-первых, оно непрерывно, потому что F было непрерывно.

Ну, если я тут минусы какие-то прибавил, изменил ход времени в другую сторону, ну,

понятно, что откуда здесь разрывности взяться?

Оно тоже будет непрерывным.

Во-вторых, оно корректно определено.

Почему это надо проверять?

Потому что при t = 0 здесь у Ψ всего одна точка.

А у F – целая окружность.

F же на цилиндре определено, а Ψ мы определяем на диске.

Но дело в том, что при t = 0 у нас со знаком «−» стоит F(y, 1).

Но F на срезе 1 тождественно равен одной и той же точке.

Поэтому здесь нет переопределения, неважно в какой точке определить,

– во всех точках значение одно и то же.

Поэтому это корректно определенное, непрерывное по построению отображение

диска в себя, у которого по очевиднейшим причинам нет ни одной неподвижной точки.

Почему нет ни одной неподвижной точки?

А вот почему!

Где бы могла быть неподвижная точка?

Посмотрите, значение этого отображения все лежат на внешней сфере, всегда,

при любом t.

Поэтому, в принципе, неподвижная точка могла бы быть только при t = 0,

когда мы...

когда у нас еще сама эта сфера целиком.

А, при t = 1, извините, именно при t = 1,

когда вот в этом отображении считываются точки именно с границы диска.

Но в этот момент F постоянна и равна Id,

потому что при t = 1 мы получаем F при срезе на 0, и при знаке «−» это значит,

что берется противоположная точка нашей граничной сферы всегда.

То есть Ψ на граничной сфере всегда переворачивает вектор.

F давало просто тот же самый вектор, но после того как я написал «−»,

у меня вектор перевернулся, поэтому неподвижность точки естественно здесь быть

не может, мы все время вектор переворачиваем.

А внутри тоже не может.

Потому что внутри они просто, так сказать, из внутренности на окружность все лезут,

на сферу лезут на граничную.

Поэтому мы построили непрерывное отображение дисков в себя

без неподвижных точек.

Это противоречит теореме Брауэра,

о которой и пойдет речь в самом последнем сюжете.

Ставлю здесь восклицательный знак.

И этот факт противоречит великой теореме Брауэра.

То есть, на самом деле, из теоремы Брауэра вполне школьного, не очень простого,

но вполне школьного утверждения про непрерывность следует то, что

гомотопические группы сфер действительно устроены достаточно нетривиально и уж

по крайней мере тождественное отображение сферы в себя негомотопно тривиальному.

Нетривиальность гомотопической группы для n-мерной сферы

Геометрия и группы

Meet the Instructors