0:00
Комплексный язык.
[БЕЗ СЛОВ] Полезно
проделать почти те же упражнения с использованием комплексного языка.
На комплексном языке запись кватерниона выражается вот так.
Сейчас мы их поумножаем и соотнесем с матрицами.
Здесь нужно исходить из некоторой аналогии,
которая следующая: a b −b a,
если a и b — вещественные числа,
соответствуют комплексному числу a + bi и являются просто
матрицей умножения на это число в двумерной
плоскости всех комплексных чисел, если представить себе эту плоскость,
просто как двумерное пространство над вещественными.
Тогда у нас каждая операция линейная соответствует матрице,
но умножение на комплексное число тоже будет матрицей 2x2.
Это почти ортогональные матрицы.
Чего тут не хватает для ортогональности?
Ортогональные матрицы — это матрицы, которые переводят...
Вот у нас ортогональный базис — переводит в ортогональные,
а вот такие матрицы переводят ортогональный базис в такой,
который содержит перпендикулярные друг другу вектора, но не обязательно длины 1.
Действительно, попробуйте умножить вот этот вектор на этот скалярно,
получится 0, a b −b a.
Чтобы была длина 1, нужно чтобы a² + b² было равно 1.
В этом случае при делении на соответствующее выражение a² +
b² можно подобрать просто косинус и синус соответствующего угла,
так что это будет матрица cos sin −sin cos Это совершенно
знаменитая вещь — это вращение на угол φ, это ортогональное преобразование с
положительным определителем в двумерной плоскости задается такими матрицами,
и каждая из них задается комплексным числом cos φ + i sin φ длины 1.
Вот это то, что было до этой серии недель, когда мы
разбирались с простейшими, с комплексными числами и их вращениями в плоскости.
Теперь мы занимаемся более сложными, мы занимаемся вращениями сферы,
и мы занимаемся кватернионами.
Можно некоторую начальную часть этой аналогии можно провести.
Давайте попробуем умножить друг на друга два вот таких вот кватерниона.
Вот что у нас получается — у нас получается z1 z2.
Тут уже не 16, тут всего лишь четыре слагаемых, правда,
они устроены немножко сложнее.
+ w1 j z2 + z1
w2 j + w1 j w2 j.
Посмотрите, я не смею здесь менять
просто так местами комплексные числа и число j.
И я напомню, по каким правилам я имею право это делать.
На самом деле, смотрите, что такое j * w.
Или на какое-то другое комплексное число.
Прежде всего, если я подставлю сюда, грубо говоря,
c + di, здесь будет cj + dk или что-то в этом духе.
Это чисто мнимое кватернионное число, поэтому оно равно «минус себе
сопряженному» — это я уже повторяю то, что мы делали, но давайте еще раз повторим.
«Минус себе сопряженному».
Но сопряжение это нужно поменять местами их друг с другом и сопрячь каждое.
После чего заметить, что j сопряженное — это тоже −j,
поэтому знак «минус» пропадает.
И получается вот эта вот формула,
которую я уже из других соображений выводил из непосредственных.
Но здесь вот просто исправил, что сопряженное к произведению равно
произведению сопряженных в обратном порядке и то,
что чисто мнимое при сопряжении превращается в «минус себя».
Отлично.
Теперь мы можем здесь немножко поработать.
Это z1 z2 + w1 z2 c чертой
j (то есть при перепрыгивании j через комплексное число,
на комплексное число должно быть навешено сопряжение) + z1
w2 j + w1 w2 с чертой j².
И осталось что заметить?
Во-первых, что j² = −1, то есть z1 z2
− w1 w2 с чертой — это будет первая часть.
И плюс то, что при j стоит, z1 w2 + z2 с чертой w1.
Это стоит при j, j справа, как и полагается.
Так вот, это правило умножения кватернионов в комплексном языке,
то есть как элементов c², вот здесь каждый
кватернион — это непосредственно прямо элемент c², у нас базис c², это 1 и j.
И вот у нас правило умножения.
А теперь я хочу провести полную аналогию с этим,
но чуть-чуть, только самую капельку придется изменить.
Сейчас будут комплексные вращения.
Комплексные, условно,
вращения двумерного пространства — это унитарные преобразования,
тут нужно навесить еще черточки, то есть −w1 с черточкой z1 с черточкой.
Нужно навесить комплексное сопряжение,
чтобы получились унитарные преобразования из так называемой группы U(2).
Вот эта группа U(2) — на самом деле
просто еще один способ представить кватернионы.
И вот это я хочу показать сейчас.
Собственно вот это будет важно, и потом мы перейдем к уже
проективной комплексной геометрии и к топологии, к расслоению Хопфа и так далее,
но вот я хочу показать, что что здесь у нас произойдет.
У нас произойдет следующее.
И кстати, там тоже правило, что столбец,
скалярно помноженный на другой столбец, только с сопряжением, должен дать ноль.
Можете посмотреть: z1 w1 сопряженное − w1 сопряженное z1.
Если мы сопрягли второй столбец, то просто сопряжение переехало сюда,
тоже будет ноль.
То есть унитарный базис переводится в унитарный,
но тут еще тоже нужно потребовать, чтобы длина была равна единице.
Пока это мы не требуем, про длину мы поговорим чуть позже.
Пока это произвольный кватернион,
и все кватернионы — это все такие матрицы 2x2 просто.
Первая строка — это просто два любых комплексных числа,
а следующая строка по ним восстановится однозначно.
Давайте посмотрим, что будет.
Я беру z2 w2 − w2 z2 с чертой; и то, и другое с чертой.
И что я вижу?
z1 z2 − w1 w2 с чертой.
Ровно это.
Далее, z1
w2 + w1 z2 с чертой + z2 с чертой w1.
Ровно то, что здесь.
И тут как бы я даже не буду повторять,
то есть получится «минус» вот это с чертой и это с чертой.
Это уже сами проверьте.
Иными словами, полный изоморфизм.
Изоморфизм кватернионов как вот таких матриц,
и кватернионов как обычная запись просто на комплексном языке.
Тем самым что мы имеем?
U(2) — это кватернионы W.
Что такое SU(2)?
Это группа, преобразований, к которой,
к тому же, длины оставляют равными единице, унитарные длины,
то есть нам нужно чтобы столбец
сам с собой, столбец,
который сам на себя унитарным образом помножен скалярным произведением
z1 z1 с чертой + w1 w1 с чертой — вот это должно быть равно единице.
Если мы посмотрим, что это такое на языке кватернионов,
например, просто домножим вот такое на сопряженное z,
(z + wj) * (z + wj) сопряженное.
Что у меня возникнет?
Это (z + wj), а это (z сопряженное
− wj), потому что сопряжение просто меняет знак.
И потом, если вы сейчас аккуратненько это распишете,
это z z с чертой + w w с чертой.
Норма соответствующего кватерниона
получается по этой формуле, и нормам кватерниона,
равным единице, соответствуют матрицы, в которых у столбцов норма равна единице,
ну и у строк тоже, и это просто называется SU(2) — множество таких матриц.
Но с другой стороны, если это все кватернионы, вот эти матрицы,
то есть группа U(2) — это c², по сути, то все, которые имеют норму единицы,
у нас высекается условие, что сумма квадратов всех координат равна единице.
Это условие, что мы живем на трехмерной сфере в точности.
Вот это и есть трехмерная сфера.
И так как трехмерная сфера кватернионов, по модулю равных единице,
отображалась в SO3, то у нас получается вот такая
прекрасная картиночка.
SU(2) посредством того, что оно отождествляется...
SU(2) — это множество таких матриц, у которых модуль столбцов равен единице,
это отождествляется с кватернионами длины 1,
то есть с S3, и тем самым с помощью этого отождествления
строится отображение в SO3 — в группу движений сферы.
Каждому унитарному преобразованию с
определителем 1 двумерного комплексного
пространства соответствует некоторое вращение трехмерного,
и двум разным противоположным унитарным преобразованиям — одно и то же вращение.
Это один из знаменитых гомоморфизмов.
Знаменитый гомоморфизм
примерно такой же,
как U(1) --> SO(2).
Любое комплексное число модуля 1 задает вращение плоскости.
Любая пара комплексных чисел,
составляющая с помощью такой матрицы
вращение двумерного комплексного пространства,
унитарное преобразование с определителем,
у нас получается,
ему соответствует вращение трехмерной сферы.
И двум противоположным соответствует одно и то же.
То есть ядро — это ±1, ±e, ± тождественная матрица.
Мы построили этот знаменитый гомоморфизм, пользуясь кватернионами.
То есть его напрямую увидеть довольно сложно,
ну как вот по этому вращению получить то.
Но если увидеть, что это вращение — это кватернион,
и то вращение — это кватернион, то на выходе получается то, что нам нужно.
Это уже не очень тривиальная штука,
которую обычно второкурсники мехмата МГУ с трудом осваивают.
Я, например, очень трудно это осваивал, когда учился на мехмате.