Комплексный язык.

[БЕЗ СЛОВ] Полезно

проделать почти те же упражнения с использованием комплексного языка.

На комплексном языке запись кватерниона выражается вот так.

Сейчас мы их поумножаем и соотнесем с матрицами.

Здесь нужно исходить из некоторой аналогии,

которая следующая: a b −b a,

если a и b — вещественные числа,

соответствуют комплексному числу a + bi и являются просто

матрицей умножения на это число в двумерной

плоскости всех комплексных чисел, если представить себе эту плоскость,

просто как двумерное пространство над вещественными.

Тогда у нас каждая операция линейная соответствует матрице,

но умножение на комплексное число тоже будет матрицей 2x2.

Это почти ортогональные матрицы.

Чего тут не хватает для ортогональности?

Ортогональные матрицы — это матрицы, которые переводят...

Вот у нас ортогональный базис — переводит в ортогональные,

а вот такие матрицы переводят ортогональный базис в такой,

который содержит перпендикулярные друг другу вектора, но не обязательно длины 1.

Действительно, попробуйте умножить вот этот вектор на этот скалярно,

получится 0, a b −b a.

Чтобы была длина 1, нужно чтобы a² + b² было равно 1.

В этом случае при делении на соответствующее выражение a² +

b² можно подобрать просто косинус и синус соответствующего угла,

так что это будет матрица cos sin −sin cos Это совершенно

знаменитая вещь — это вращение на угол φ, это ортогональное преобразование с

положительным определителем в двумерной плоскости задается такими матрицами,

и каждая из них задается комплексным числом cos φ + i sin φ длины 1.

Вот это то, что было до этой серии недель, когда мы

разбирались с простейшими, с комплексными числами и их вращениями в плоскости.

Теперь мы занимаемся более сложными, мы занимаемся вращениями сферы,

и мы занимаемся кватернионами.

Можно некоторую начальную часть этой аналогии можно провести.

Давайте попробуем умножить друг на друга два вот таких вот кватерниона.

Вот что у нас получается — у нас получается z1 z2.

Тут уже не 16, тут всего лишь четыре слагаемых, правда,

они устроены немножко сложнее.

+ w1 j z2 + z1

w2 j + w1 j w2 j.

Посмотрите, я не смею здесь менять

просто так местами комплексные числа и число j.

И я напомню, по каким правилам я имею право это делать.

На самом деле, смотрите, что такое j * w.

Или на какое-то другое комплексное число.

Прежде всего, если я подставлю сюда, грубо говоря,

c + di, здесь будет cj + dk или что-то в этом духе.

Это чисто мнимое кватернионное число, поэтому оно равно «минус себе

сопряженному» — это я уже повторяю то, что мы делали, но давайте еще раз повторим.

«Минус себе сопряженному».

Но сопряжение это нужно поменять местами их друг с другом и сопрячь каждое.

После чего заметить, что j сопряженное — это тоже −j,

поэтому знак «минус» пропадает.

И получается вот эта вот формула,

которую я уже из других соображений выводил из непосредственных.

Но здесь вот просто исправил, что сопряженное к произведению равно

произведению сопряженных в обратном порядке и то,

что чисто мнимое при сопряжении превращается в «минус себя».

Отлично.

Теперь мы можем здесь немножко поработать.

Это z1 z2 + w1 z2 c чертой

j (то есть при перепрыгивании j через комплексное число,

на комплексное число должно быть навешено сопряжение) + z1

w2 j + w1 w2 с чертой j².

И осталось что заметить?

Во-первых, что j² = −1, то есть z1 z2

− w1 w2 с чертой — это будет первая часть.

И плюс то, что при j стоит, z1 w2 + z2 с чертой w1.

Это стоит при j, j справа, как и полагается.

Так вот, это правило умножения кватернионов в комплексном языке,

то есть как элементов c², вот здесь каждый

кватернион — это непосредственно прямо элемент c², у нас базис c², это 1 и j.

И вот у нас правило умножения.

А теперь я хочу провести полную аналогию с этим,

но чуть-чуть, только самую капельку придется изменить.

Сейчас будут комплексные вращения.

Комплексные, условно,

вращения двумерного пространства — это унитарные преобразования,

тут нужно навесить еще черточки, то есть −w1 с черточкой z1 с черточкой.

Нужно навесить комплексное сопряжение,

чтобы получились унитарные преобразования из так называемой группы U(2).

Вот эта группа U(2) — на самом деле

просто еще один способ представить кватернионы.

И вот это я хочу показать сейчас.

Собственно вот это будет важно, и потом мы перейдем к уже

проективной комплексной геометрии и к топологии, к расслоению Хопфа и так далее,

но вот я хочу показать, что что здесь у нас произойдет.

У нас произойдет следующее.

И кстати, там тоже правило, что столбец,

скалярно помноженный на другой столбец, только с сопряжением, должен дать ноль.

Можете посмотреть: z1 w1 сопряженное − w1 сопряженное z1.

Если мы сопрягли второй столбец, то просто сопряжение переехало сюда,

тоже будет ноль.

То есть унитарный базис переводится в унитарный,

но тут еще тоже нужно потребовать, чтобы длина была равна единице.

Пока это мы не требуем, про длину мы поговорим чуть позже.

Пока это произвольный кватернион,

и все кватернионы — это все такие матрицы 2x2 просто.

Первая строка — это просто два любых комплексных числа,

а следующая строка по ним восстановится однозначно.

Давайте посмотрим, что будет.

Я беру z2 w2 − w2 z2 с чертой; и то, и другое с чертой.

И что я вижу?

z1 z2 − w1 w2 с чертой.

Ровно это.

Далее, z1

w2 + w1 z2 с чертой + z2 с чертой w1.

Ровно то, что здесь.

И тут как бы я даже не буду повторять,

то есть получится «минус» вот это с чертой и это с чертой.

Это уже сами проверьте.

Иными словами, полный изоморфизм.

Изоморфизм кватернионов как вот таких матриц,

и кватернионов как обычная запись просто на комплексном языке.

Тем самым что мы имеем?

U(2) — это кватернионы W.

Что такое SU(2)?

Это группа, преобразований, к которой,

к тому же, длины оставляют равными единице, унитарные длины,

то есть нам нужно чтобы столбец

сам с собой, столбец,

который сам на себя унитарным образом помножен скалярным произведением

z1 z1 с чертой + w1 w1 с чертой — вот это должно быть равно единице.

Если мы посмотрим, что это такое на языке кватернионов,

например, просто домножим вот такое на сопряженное z,

(z + wj) * (z + wj) сопряженное.

Что у меня возникнет?

Это (z + wj), а это (z сопряженное

− wj), потому что сопряжение просто меняет знак.

И потом, если вы сейчас аккуратненько это распишете,

это z z с чертой + w w с чертой.

Норма соответствующего кватерниона

получается по этой формуле, и нормам кватерниона,

равным единице, соответствуют матрицы, в которых у столбцов норма равна единице,

ну и у строк тоже, и это просто называется SU(2) — множество таких матриц.

Но с другой стороны, если это все кватернионы, вот эти матрицы,

то есть группа U(2) — это c², по сути, то все, которые имеют норму единицы,

у нас высекается условие, что сумма квадратов всех координат равна единице.

Это условие, что мы живем на трехмерной сфере в точности.

Вот это и есть трехмерная сфера.

И так как трехмерная сфера кватернионов, по модулю равных единице,

отображалась в SO3, то у нас получается вот такая

прекрасная картиночка.

SU(2) посредством того, что оно отождествляется...

SU(2) — это множество таких матриц, у которых модуль столбцов равен единице,

это отождествляется с кватернионами длины 1,

то есть с S3, и тем самым с помощью этого отождествления

строится отображение в SO3 — в группу движений сферы.

Каждому унитарному преобразованию с

определителем 1 двумерного комплексного

пространства соответствует некоторое вращение трехмерного,

и двум разным противоположным унитарным преобразованиям — одно и то же вращение.

Это один из знаменитых гомоморфизмов.

Знаменитый гомоморфизм

примерно такой же,

как U(1) --> SO(2).

Любое комплексное число модуля 1 задает вращение плоскости.

Любая пара комплексных чисел,

составляющая с помощью такой матрицы

вращение двумерного комплексного пространства,

унитарное преобразование с определителем,

у нас получается,

ему соответствует вращение трехмерной сферы.

И двум противоположным соответствует одно и то же.

То есть ядро — это ±1, ±e, ± тождественная матрица.

Мы построили этот знаменитый гомоморфизм, пользуясь кватернионами.

То есть его напрямую увидеть довольно сложно,

ну как вот по этому вращению получить то.

Но если увидеть, что это вращение — это кватернион,

и то вращение — это кватернион, то на выходе получается то, что нам нужно.

Это уже не очень тривиальная штука,

которую обычно второкурсники мехмата МГУ с трудом осваивают.

Я, например, очень трудно это осваивал, когда учился на мехмате.

Кватернионы и группа унитарных матриц

Геометрия и группы

Meet the Instructors