Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Кватернионы и группа унитарных матриц
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
5 ratings
Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
5 ratings
From the lesson
Кватернионы
Meet the Instructors
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Комплексный язык. [БЕЗ СЛОВ] Полезно проделать почти те же упражнения с использованием комплексного языка. На комплексном языке запись кватерниона выражается вот так. Сейчас мы их поумножаем и соотнесем с матрицами. Здесь нужно исходить из некоторой аналогии, которая следующая: a b −b a, если a и b — вещественные числа, соответствуют комплексному числу a + bi и являются просто матрицей умножения на это число в двумерной плоскости всех комплексных чисел, если представить себе эту плоскость, просто как двумерное пространство над вещественными. Тогда у нас каждая операция линейная соответствует матрице, но умножение на комплексное число тоже будет матрицей 2x2. Это почти ортогональные матрицы. Чего тут не хватает для ортогональности? Ортогональные матрицы — это матрицы, которые переводят... Вот у нас ортогональный базис — переводит в ортогональные, а вот такие матрицы переводят ортогональный базис в такой, который содержит перпендикулярные друг другу вектора, но не обязательно длины 1. Действительно, попробуйте умножить вот этот вектор на этот скалярно, получится 0, a b −b a. Чтобы была длина 1, нужно чтобы a² + b² было равно 1. В этом случае при делении на соответствующее выражение a² + b² можно подобрать просто косинус и синус соответствующего угла, так что это будет матрица cos sin −sin cos Это совершенно знаменитая вещь — это вращение на угол φ, это ортогональное преобразование с положительным определителем в двумерной плоскости задается такими матрицами, и каждая из них задается комплексным числом cos φ + i sin φ длины 1. Вот это то, что было до этой серии недель, когда мы разбирались с простейшими, с комплексными числами и их вращениями в плоскости. Теперь мы занимаемся более сложными, мы занимаемся вращениями сферы, и мы занимаемся кватернионами. Можно некоторую начальную часть этой аналогии можно провести. Давайте попробуем умножить друг на друга два вот таких вот кватерниона. Вот что у нас получается — у нас получается z1 z2. Тут уже не 16, тут всего лишь четыре слагаемых, правда, они устроены немножко сложнее. + w1 j z2 + z1 w2 j + w1 j w2 j. Посмотрите, я не смею здесь менять просто так местами комплексные числа и число j. И я напомню, по каким правилам я имею право это делать. На самом деле, смотрите, что такое j * w. Или на какое-то другое комплексное число. Прежде всего, если я подставлю сюда, грубо говоря, c + di, здесь будет cj + dk или что-то в этом духе. Это чисто мнимое кватернионное число, поэтому оно равно «минус себе сопряженному» — это я уже повторяю то, что мы делали, но давайте еще раз повторим. «Минус себе сопряженному». Но сопряжение это нужно поменять местами их друг с другом и сопрячь каждое. После чего заметить, что j сопряженное — это тоже −j, поэтому знак «минус» пропадает. И получается вот эта вот формула, которую я уже из других соображений выводил из непосредственных. Но здесь вот просто исправил, что сопряженное к произведению равно произведению сопряженных в обратном порядке и то, что чисто мнимое при сопряжении превращается в «минус себя». Отлично. Теперь мы можем здесь немножко поработать. Это z1 z2 + w1 z2 c чертой j (то есть при перепрыгивании j через комплексное число, на комплексное число должно быть навешено сопряжение) + z1 w2 j + w1 w2 с чертой j². И осталось что заметить? Во-первых, что j² = −1, то есть z1 z2 − w1 w2 с чертой — это будет первая часть. И плюс то, что при j стоит, z1 w2 + z2 с чертой w1. Это стоит при j, j справа, как и полагается. Так вот, это правило умножения кватернионов в комплексном языке, то есть как элементов c², вот здесь каждый кватернион — это непосредственно прямо элемент c², у нас базис c², это 1 и j. И вот у нас правило умножения. А теперь я хочу провести полную аналогию с этим, но чуть-чуть, только самую капельку придется изменить. Сейчас будут комплексные вращения. Комплексные, условно, вращения двумерного пространства — это унитарные преобразования, тут нужно навесить еще черточки, то есть −w1 с черточкой z1 с черточкой. Нужно навесить комплексное сопряжение, чтобы получились унитарные преобразования из так называемой группы U(2). Вот эта группа U(2) — на самом деле просто еще один способ представить кватернионы. И вот это я хочу показать сейчас. Собственно вот это будет важно, и потом мы перейдем к уже проективной комплексной геометрии и к топологии, к расслоению Хопфа и так далее, но вот я хочу показать, что что здесь у нас произойдет. У нас произойдет следующее. И кстати, там тоже правило, что столбец, скалярно помноженный на другой столбец, только с сопряжением, должен дать ноль. Можете посмотреть: z1 w1 сопряженное − w1 сопряженное z1. Если мы сопрягли второй столбец, то просто сопряжение переехало сюда, тоже будет ноль. То есть унитарный базис переводится в унитарный, но тут еще тоже нужно потребовать, чтобы длина была равна единице. Пока это мы не требуем, про длину мы поговорим чуть позже. Пока это произвольный кватернион, и все кватернионы — это все такие матрицы 2x2 просто. Первая строка — это просто два любых комплексных числа, а следующая строка по ним восстановится однозначно. Давайте посмотрим, что будет. Я беру z2 w2 − w2 z2 с чертой; и то, и другое с чертой. И что я вижу? z1 z2 − w1 w2 с чертой. Ровно это. Далее, z1 w2 + w1 z2 с чертой + z2 с чертой w1. Ровно то, что здесь. И тут как бы я даже не буду повторять, то есть получится «минус» вот это с чертой и это с чертой. Это уже сами проверьте. Иными словами, полный изоморфизм. Изоморфизм кватернионов как вот таких матриц, и кватернионов как обычная запись просто на комплексном языке. Тем самым что мы имеем? U(2) — это кватернионы W. Что такое SU(2)? Это группа, преобразований, к которой, к тому же, длины оставляют равными единице, унитарные длины, то есть нам нужно чтобы столбец сам с собой, столбец, который сам на себя унитарным образом помножен скалярным произведением z1 z1 с чертой + w1 w1 с чертой — вот это должно быть равно единице. Если мы посмотрим, что это такое на языке кватернионов, например, просто домножим вот такое на сопряженное z, (z + wj) * (z + wj) сопряженное. Что у меня возникнет? Это (z + wj), а это (z сопряженное − wj), потому что сопряжение просто меняет знак. И потом, если вы сейчас аккуратненько это распишете, это z z с чертой + w w с чертой. Норма соответствующего кватерниона получается по этой формуле, и нормам кватерниона, равным единице, соответствуют матрицы, в которых у столбцов норма равна единице, ну и у строк тоже, и это просто называется SU(2) — множество таких матриц. Но с другой стороны, если это все кватернионы, вот эти матрицы, то есть группа U(2) — это c², по сути, то все, которые имеют норму единицы, у нас высекается условие, что сумма квадратов всех координат равна единице. Это условие, что мы живем на трехмерной сфере в точности. Вот это и есть трехмерная сфера. И так как трехмерная сфера кватернионов, по модулю равных единице, отображалась в SO3, то у нас получается вот такая прекрасная картиночка. SU(2) посредством того, что оно отождествляется... SU(2) — это множество таких матриц, у которых модуль столбцов равен единице, это отождествляется с кватернионами длины 1, то есть с S3, и тем самым с помощью этого отождествления строится отображение в SO3 — в группу движений сферы. Каждому унитарному преобразованию с определителем 1 двумерного комплексного пространства соответствует некоторое вращение трехмерного, и двум разным противоположным унитарным преобразованиям — одно и то же вращение. Это один из знаменитых гомоморфизмов. Знаменитый гомоморфизм примерно такой же, как U(1) --> SO(2). Любое комплексное число модуля 1 задает вращение плоскости. Любая пара комплексных чисел, составляющая с помощью такой матрицы вращение двумерного комплексного пространства, унитарное преобразование с определителем, у нас получается, ему соответствует вращение трехмерной сферы. И двум противоположным соответствует одно и то же. То есть ядро — это ±1, ±e, ± тождественная матрица. Мы построили этот знаменитый гомоморфизм, пользуясь кватернионами. То есть его напрямую увидеть довольно сложно, ну как вот по этому вращению получить то. Но если увидеть, что это вращение — это кватернион, и то вращение — это кватернион, то на выходе получается то, что нам нужно. Это уже не очень тривиальная штука, которую обычно второкурсники мехмата МГУ с трудом осваивают. Я, например, очень трудно это осваивал, когда учился на мехмате.
Coursera provides universal access to the world’s best education, partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2017 Coursera Inc. All rights reserved.
