[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА] Первый тип модели,

который мы рассмотрим, это так называемое уравнение вход-выход.

Начинаем мы со случая непрерывного времени,

поэтому у нас будут именно дифференциальные уравнения.

В скобках указан порядок производной.

Заметим, что порядок производной в левой части,

где стоят производные выхода, должен быть не ниже,

чем в правой части, иначе нарушается

принцип корректной разрешимости уравнения.

То же самое уравнение удобно записывать в многочленной форме,

а именно: определить многочлен a(λ),

где λ — это абстрактная переменная,

и b(λ) с теми же самыми коэффициентами,

которые у нас входили в дифференциальное уравнение.

И уравнение записать как многочлен от оператора

дифференцирования по времени, примененный к выходу в левой части,

и многочлен другой,

примененный ко входу в правой части.

Кроме формы вход-выход

наиболее удобной формой является уравнение в пространстве состояний.

Для линейных стационарных систем оно имеет вид (1).

В этом уравнении A,

B, C, D — матрицы подходящей размерности.

Достоинством этого уравнения

является наличие явной формулы его решения.

Эта формула Коши (2).

Поскольку она будет часто использоваться в дальнейшем, очень важно хорошо понимать

смысл всех входящих в нее обозначений.

Итак, что мы здесь видим?

Мы видим матричную экспоненту

и свертку от матричной экспоненциальной функции со входом.

Что же такое матричная экспонента?

По определению, матричная экспонента — это сумма экспоненциального ряда,

поскольку все степени матрицы определены,

никто не может помешать выписать формально этот ряд.

Другой вопрос, почему он сходится?

Большое значение для проверки формулы имеет так называемая теорема сложения,

а именно: если матрицы P и Q коммутируют,

то есть результат их произведения, во-первых, осмыслен,

а во-вторых, не зависит от порядка сомножителей, то экспоненциальная

функция от суммы равна произведению экспонент от каждого слагаемого.

Хорошо бы понимать, почему это так.

И, наконец, возникает проблема вычисления матричной экспоненциальной функции.

Попробуем ответить на эти вопросы.

Ряд экспоненциальный сходится просто потому,

что норма каждого элемента j-го

члена этого ряда мажорируется

аналогичной степенью нормы матрицы.

А ряд из норм сходится,

потому что это обычный скалярный ряд,

определяющий экспоненциальную функцию скалярного аргумента.

Что касается теоремы сложения, то для ее обоснования

при условии коммутируемости годится стандартное доказательство,

которое всегда включают в более или менее полный курс анализа.

Выше уже был рекомендован курс Шилова,

где такое доказательство подробно изложено.

Перейдем к вопросу о вычислении матричной экспоненты.

Начнем с того, что вспомним,

что с помощью невырожденной

матрицы S можно любую матрицу

привести к жордановой форме A с волной.

Жорданова форма — это блочно-диагональная матрица,

на диагонали которой стоят жордановы блоки,

каждый имеет некоторое собственное число на главной

диагонали и единицы над или под диагональю.

Для определенности будем считать, что они расположены под диагональю.

Будем использовать жорданову форму матрицы для вычисления.

Поскольку по определению A с волной = S⁻¹ AS,

то сама матрица A тоже выражается

через жорданову матрицу A с волной

умножением на S и на S⁻¹.

Если это проделать для каждого члена экспоненциального

ряда, то

внутренние прямые и обратные степени S друг друга уничтожат.

И мы получим S¹ слева от ряда

из степеней жордановой матрицы и S⁻¹ справа.

Таким образом, нам достаточно уметь вычислять экспоненту

от жордановой матрицы, и мы тем самым получим

экспоненциальную функцию от матрицы исходной.

Как же вычислять экспоненту жордановой матрицы?

Очень просто.

При возведении в степень разные блоки

жордановой матрицы никакого влияния друг на друга не оказывают.

Поэтому экспонента

от всей жордановой матрицы — это блочно-диагональная

матрица из экспонент от жордановых блоков.

Остается разобраться с каждым жордановым блоком.

Жорданов блок — это сумма двух слагаемых.

Первое слагаемое — это собственное число λk, умноженное на единичную матрицу I,

а второе слагаемое — это матрица с

нулями на главной диагонали и единицами под главной диагональю.

Диагональная матрица коммутирует с кем угодно.

В частности, с нашей матрицей J₀.

Поэтому экспонента от жорданова

блока — это экспонента от диагональной матрицы,

умноженная на экспоненту от жорданова блока.

А экспонента от диагональной матрицы — это

просто скалярная экспонента,

умноженная на единичную матрицу, которую можно в данном случае опустить.

Остается вычислить экспоненту от жорданова блока с нулями на диагонали.

Этот блок задает так называемую нильпотентную матрицу,

его ν-я степень, где ν — его размерность, это просто 0.

Потому что умножение на такой жорданов

блок просто опускает единицы на один шаг вниз.

Поскольку начиная с ν-й степени все степени этого блока нулевые,

бесконечный ряд экспоненциальный превращается в ряд конечный,

и для жорданова блока Мы

получаем явную формулу.

Из экспонент от жордановых блоков мы

сооружаем экспоненту жордановой матрицы.

А домножая её на S и на S в минус первой,

получаем экспоненциальную функцию от нашей исходной матрицы A.

Теперь мы можем проверить формулу Коши.

Поскольку матрицы tA и τA, естественно, коммутируют,

то по теореме сложения мы имеем естественное равенство.

Таким образом,

производная от

матричной экспоненты — это

предел квадратной скобки приращения

матричной функции на приращение её аргумента.

Из квадратной скобки можно вынести e в степени tA.

А то, что осталось,

по определению экспоненциальной функции стремится к A.

Вычитание уничтожает первый член

матричного ряда, ряд, таким образом,

начинается со второго члена, с hA.

На h мы делим, остаётся A.

Теперь мы, действительно, можем проверить формулу Коши.

Действительно, мы знаем, что производная от

экспоненты приводит просто к умножению на матрицы A.

Формулу Коши

заменой переменной интегрирования нетрудно переделать так,

чтобы второе слагаемое было произведением двух матриц —

экспоненты на интеграл от того, что написано.

Теперь, если мы продифференцируем эту функцию,

то по формуле производной от произведения

мы получим ровно то,

что нам требуется, то есть мы получим,

что наша производная от

нашей функции, задаваемой формулой Коши,

удовлетворяет дифференциальному уравнению системы в пространстве-состоянии.

Начальные данные тоже выполнены,

потому что при t равном нулю интегральное слагаемое обращается в ноль.

Из формулы Коши следует два важных следствия.

Во-первых, это линейность системы,

если её входом кроме сигнала

u считать начальные данные.

А во-вторых, стационарность,

которая очевидным образом также из этой формулы следует.

Коэффициенты уравнения пространств-состояний,

разумеется, не единственные.

Никто не мешает нам взять произвольную невырожденную

матрицу S и совершить замену переменных,

считая, что x равно S на z.

После такой замены мы получаем уравнение системы пространств-состояний

с матрицей A с волной, B с волной,

C с волной и той же самой матрицей D.

Важно, что матрица

A подобна матрице A с волной.

То есть их связь именно такая, как,

которая связывает произвольную матрицу с ей жордановой формулой.

То же самое происходит и в дискретном времени,

когда уравнение в пространстве-состоянии

переходит в аналогичное уравнение

с подобными матрицами.

Видео 1.4. «Модели линейных динамических систем»

Введение в теорию кибернетических систем

Meet the Instructors