About this Course
6,896 recent views

100% online

Start instantly and learn at your own schedule.

Flexible deadlines

Reset deadlines in accordance to your schedule.

Approx. 44 hours to complete

Suggested: 4-6 hours/week...

Russian

Subtitles: Russian

100% online

Start instantly and learn at your own schedule.

Flexible deadlines

Reset deadlines in accordance to your schedule.

Approx. 44 hours to complete

Suggested: 4-6 hours/week...

Russian

Subtitles: Russian

Syllabus - What you will learn from this course

Week
1
4 hours to complete

Основные принципы комбинаторики

Основные принципы комбинаторики. Правило сложения. Правило умножения. Принцип Дирихле. Пример применения принципа Дирихле. Теорема о раскраске множества в два цвета. Мощности множества попарно неортогональных {-1,0,1}-векторов : верхняя и нижняя оценки. Числа сочетаний, размещений и перестановок.

...
20 videos (Total 106 min), 12 readings, 3 quizzes
20 videos
МФТИ1m
Правила сложения и умножения2m
Пример на правило умножения1m
Принцип Дирихле2m
Пример с квадратом2m
Последовательности векторов. Постановка задачи8m
Последовательности векторов. Доказательство утверждения10m
Шестизначные числа5m
Первокурсники в кинотеатре4m
Числа сочетаний, размещений и перестановок. Определения.11m
Теоремы о числе размещений с повторениями и без4m
Количество сочетаний без повторений3m
Количество сочетаний с повторениями8m
Дежурство в столовой2m
Карты из колоды5m
Тома Пушкина на книжной полке9m
Теорема о раскраске множества в два цвета. Формулировка утверждения (*)3m
Теорема о раскраске множества в два цвета. Доказательство утверждения (*)7m
Теорема о раскраске множества в два цвета. Общая проблема (*)8m
12 readings
Программа и расписание курса10m
Список литературы10m
Правила аттестаций10m
Правила поведения на форуме10m
МФТИ10m
Условия задач10m
Конспект10m
Решение задач10m
Конспект10m
Условия задач.10m
Условия и решения задач10m
Решения задач10m
3 practice exercises
Тест к неделе 112m
Задачи к неделе 18m
Дополнительные задачи10m
Week
2
4 hours to complete

Комбинаторные тождества

Бином Ньютона. Полиномиальная формула. Формула включений и исключений. Простейшие тождества. Треугольник Паскаля. Сумма биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Сумма квадратов биномиальных коффициентов. Формулы для суммы степеней натуральных чисел. Знакопеременное тождество.

...
17 videos (Total 134 min), 7 readings, 3 quizzes
17 videos
Полиномиальная формула9m
Задачи и студенты5m
Фигуры на шахматной доске4m
Формулировка утверждения14m
Научно-исследовательский институт9m
Книги на полке9m
Комбинаторные тождества 1-2. Треугольник Паскаля7m
Комбинаторные тождества 3-46m
Комбинаторное тождество 55m
Комбинаторное тождество 66m
Сумма степеней натуральных чисел7m
Комбинаторные тождества 7-89m
Сумма биномиальных коэффициентов с чётными показателями3m
Вычисление хитрой суммы биномиальных коэффициентов7m
База и предположение индукции(*).4m
Переход индукции (*)14m
7 readings
Конспекты10m
Условия задач10m
Условия задач10m
Конспект10m
Конспект10m
Условия задач10m
Решения задач10m
3 practice exercises
Тест к неделе 212m
Задачи к неделе 28m
Дополнительные задачи10m
Week
3
3 hours to complete

Формула обращения Мёбиуса

Формула для количества ‘слов’. Определение циклической последовательности. Формулировка проблемы. Простое число. Бесконечность простых. Основная теорема арифметики. Функция Мебиуса. Суммы по делителям. Формула обращения Мебиуса.

...
16 videos (Total 83 min), 7 readings, 2 quizzes
16 videos
Простые числа3m
Основная теорема арифметики2m
Исторический анекдот(**)9m
Количество циклических последовательностей длины 22m
Существование разложение в произведение простых чисел (**)3m
Вспомогательное утверждение для основной теоремы арифметики(**)9m
Доказательство единственности разложения в произведения простых (**)5m
Функция Мёбиуса3m
Сумма по делителям числа2m
Сумма функции Мебиуса по делителям числа10m
Формула обращения Мебиуса. Формулировка3m
Формула обращения Мебиуса. Доказательство10m
Пример применения формулы обращения Мёбиуса -14m
Пример применения формулы обращения Мёбиуса - 21m
Пример применения формулы обращения Мёбиуса -31m
7 readings
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Решения контрольной работы10m
2 practice exercises
Тест к неделе 312m
Задачи к неделе 38m
Week
4
4 hours to complete

Циклические последовательности

Вывод формулы для количества циклических последовательностей. Частично упорядоченное множество. Обобщенная функция Мебиуса. Связь с обычной функцией Мебиуса. Теорема об формуле обращения Мебиуса на ч.у.м. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 1) (*).

...
19 videos (Total 122 min), 8 readings, 3 quizzes
19 videos
Период линейной последовательности2m
Биекция между множествами последовательностей одного периода5m
Количество линейных последовательностей4m
Количество циклических последовательностей длины n и периода n7m
Количество циклических последовательностей3m
Пример вычисления количества циклических последовательностей12m
Пример вычисления количества циклических последовательностей -217m
Частично упорядоченное множество2m
4.8. Функция Мебиуса для ЧУМа3m
4.9. Связь с обычной функцией Мебиуса3m
4.10 Совпадение функций Мебиуса для произведения различных простых чисел7m
4.11 Совпадение функций Мебиуса для остальных чисел2m
4.12 Формула обращения Мебиуса на ЧУМе7m
Семинар. Задача 4.35m
Семинар. Задача 4.46m
4.13 Определение множества.(*)5m
4.14 Определение частичного порядка (*)5m
4.15 Функция Мёбиуса (*).14m
8 readings
Условия задач10m
Конспект10m
Решения задач10m
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Решения задач недели 4.10m
Конспект10m
3 practice exercises
Тест к неделе 412m
Задачи к неделе 48m
Дополнительные задачи12m
Week
5
3 hours to complete

Разбиения

Разбиения чисел на слагемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Формула для числа упорядоченных разбиений. Рекуррентное соотношение для числа неупорядоченных разбиений. Формула Харди-Рамануджана. Диаграмма Юнга. Теоремы Эйлера о равенстве количеств неупорядоченных разбиений. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 2) (*).

...
14 videos (Total 94 min), 8 readings, 2 quizzes
14 videos
5.2 "Карнавальная" формулировка задач о разбиениях (**)8m
5.3. Задача о "попойке"7m
5.4 Задача о "капусте"6m
5.5 Формула Харди-Рамануджана (*), (**)10m
Семинар. Задача 5.19m
5.6 Диаграмма Юнга3m
5.7. Теоремы о количестве неупорядоченных разбиений.4m
5.8 Двойственная диаграмма Юнга1m
Семинар. Задача 5.211m
Семинар. Задача 5.34m
Семинар. Задача 5.48m
5.9 Обобщенная формула обращения Мебиуса (*)7m
5.10 Вывод формулы включений и исключений(*).7m
8 readings
Условие задач10m
Конспект10m
Решения задач10m
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Конспект10m
Решения задач 5 недели10m
2 practice exercises
Тест к неделе 512m
Задачи к неделе 58m
Week
6
3 hours to complete

Линейные рекуррентные соотношения. Формальные степенные ряды.

Линейные рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи. Теорема о решении линейного рекуррентного соотношения второго порядка. Формальные степенные ряды. Операции над рядами. Пример “деления в столбик”.

...
17 videos (Total 113 min), 7 readings, 2 quizzes
17 videos
6.2 Числа Фибоначчи1m
6.3 Линейные рекуррентные соотношения второго порядка. Характеристическое уравнение4m
6.4 Линейные рекуррентные соотношения второго порядка. Теорема 1. Формулировка3m
6.5 Линейные рекуррентные соотношения 2 порядка. Теорема 1. Пункт 1. Доказательство4m
6.6 Линейные рекуррентные соотношения 2 порядка. Теорема 1. Пункт 2. Доказательство5m
6.7 Линейные рекуррентные соотношения 2 порядка. Теорема 21m
6.8 Линейные рекуррентные соотношения k порядка (*)16m
Семинар. Задача 6.18m
Семинар. Задача 6.25m
Семинар. Задача 6.35m
Семинар. Задача 6.49m
6.9 Формальные степенные ряды8m
6.10 Деление степенных рядов5m
6.11 Вывод комбинаторного тождества при помощи формальных степенных рядов7m
Семинар. Задача 6.58m
Семинар. Задача 6.611m
7 readings
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Решения задач недели 610m
2 practice exercises
Тест к неделе 612m
Задачи к неделе 68m
Week
7
4 hours to complete

Производящие функции

Производящие функции. Теорема о сходимости степенных рядов (б/д). Примеры, иллюстрирующие теоремы. Сходимость на границе интервала. Числа Фибоначчи и их производящая функция. Суммы чисел Фибоначчи, чисел сочетания и пр. Числа Каталана. Извлечение корней из степенных рядов. Формула для числа Каталана: д-во через производящие функции.

...
18 videos (Total 123 min), 7 readings, 2 quizzes
18 videos
7.2 Теорема о сходимости рядов3m
7.3 Примеры, иллюстрирующие теорему6m
7.4 Сходимость на границе круга (*)4m
7.5 Пример вычисления производящей функции6m
Семинар. Задача 7.113m
Семинар. Задача 7.28m
Семинар. Задача 7.34m
Семинар. Задача 7.43m
7.6 Пример с числами Фибоначчи6m
7.7 Производящая функция чисел Фибоначчи8m
7.8 Числа Каталана2m
7.9 Производящая функция чисел Каталана5m
7.10 Извлечение корня из формального степенного ряда6m
7.11 Формула для чисел Каталана9m
Семинар. Задача 7.56m
Семинар. Задача 7.67m
Семинар. Задача 7.712m
7 readings
Условия задач10m
Конспект10m
Решения задач10m
Условия задач10m
Конспект10m
Условия и решения задач10m
Решения задач недели 710m
2 practice exercises
Тест к неделе 712m
Задачи к неделе 78m
Week
8
20 minutes to complete

Экзамен

Экзамен.

...
2 quizzes
2 practice exercises
Экзаменационный тест12m
Экзаменационные задачи8m
4.9
33 ReviewsChevron Right

Top reviews from Современная комбинаторика (Modern combinatorics)

By SBMar 22nd 2016

Замечательный курс от замечательных преподавателей. Везде есть место катарсису. Материал достаточно сложный. Над некоторыми задачами придется серьезно поломать голову.

By VANov 15th 2015

Отличный курс, хотя часть его я и проходил в университете. Все объяснения достаточно понятны, задачи не совсем тривиальны, что делает его интересным

Instructors

Avatar

Андрей Райгородский

профессор, доктор физико-математических наук
кафедра дискретной математики МФТИ
Avatar

Дмитрий Ильинский

преподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ

About Moscow Institute of Physics and Technology

Московский физико-технический институт (неофициально известный как МФТИ или Физтех) является одним из самых престижных в мире учебных и научно-исследовательских институтов. Он готовит высококвалифицированных специалистов в области теоретической и прикладной физики, прикладной математики, информатики, биотехнологии и смежных дисциплин. Физтех был основан в 1951 году Нобелевской премии лауреатами Петром Капицей, Николаем Семеновым, Львом Ландау и Сергеем Христиановичем. Основой образования в МФТИ является уникальная «система Физтеха»: кропотливое воспитание и отбор самых талантливых абитуриентов, фундаментальное образование высшего класса и раннее вовлечение студентов в реальную научно-исследовательскую работу. Среди выпускников МФТИ есть Нобелевские лауреаты, основатели всемирно известных компаний, известные космонавты, изобретатели, инженеры....

Frequently Asked Questions

  • Once you enroll for a Certificate, you’ll have access to all videos, quizzes, and programming assignments (if applicable). Peer review assignments can only be submitted and reviewed once your session has begun. If you choose to explore the course without purchasing, you may not be able to access certain assignments.

  • When you purchase a Certificate you get access to all course materials, including graded assignments. Upon completing the course, your electronic Certificate will be added to your Accomplishments page - from there, you can print your Certificate or add it to your LinkedIn profile. If you only want to read and view the course content, you can audit the course for free.

More questions? Visit the Learner Help Center.