[SON] [AUDIO_VIDE] Bonjour, dans cette séance 5 du cours 4, nous allons voir comment nous pouvons trouver la loi d'un vecteur aléatoire. Cela va être une séance un peu plus calculatoire qui sera développée

ensuite avec un certain nombre d'exercices pour vous faire comprendre vraiment comment on trouve ces lois de vecteurs aléatoires.

Donc la première chose que nous allons voir, c'est un théorème, qui va nous permettre de justifier notre recherche de loi et qui généralise le cas que nous avons vu pour les variables aléatoires. Ce théorème a exactement la même forme. Et nous dit la chose suivante : nous allons considérer un vecteur aléatoire V qui est n-dimensionnel, donc a valeur dans r puissance n. Nous cherchons a caractériser sa loi. Si nous pouvons montrer que pour toute fonction h défini de r puissance n dans r qui est continue et bornée, on a que l'espérance de h(v) s'écrit sous la forme d'une intégrale sur r puissance n de h(v) f(v) dv, donc, puisqu'ici j'intègre sur dans r puissance n, v est l'élément différentiel v, en fait, ici est un dv1, dv2, dvn ou chaque vi

appartient à R et donc cette intégrale multiple que j'ai écris sous une forme simple c'est en fait l'intégrale sur r fois r fois r n fois de h du Nuplé v1 v2 vn, fois f(v1 v2 vn), dv1 dv2 dvn. Bien. Donc si je peux mettre l'espérance de h2v sous cette forme-là pour n'importe quelle fonction h continue bornée f bien sûr ne dépend pas de h, hein, c'est une fonction qu'on met en évidence, eh bien, on peut en déduire que le vecteur aléatoire v admet une loi qui possède la densité f Donc bien sûr il faut s'assurer que f est une fonction positive et d'intégrale 1 pour que ce théorème fonctionne Donc je ne vais pas commenter la démonstration c'est une généralisation tout à fait, naturelle du théorème que nous avons vu pour les variables aléatoires réelles dans les cas où n est égal à 1. Bien, moi ce qui m'intéresse plutôt dans cette séance, c'est de vous montrer comment on va utiliser ce théorème.

Donc la question qu'on va se poser est la suivante, et vous verrez dans les exercices qu'elle est assez souvent posée ainsi dans la pratique. Vous considérez un vecteur aléatoire U donc, qui est n-dimensionnel, pour coordonner U1, U2, Un, et on suppose que ce vecteur a une densité et que cette densité est notée f indice U maintenant, ça c'est connu. Je considère une transformation de U. Donc une transformation va être modalisée par une fonction g qui est définie de Rn dans lui-même, et je vais appeler V le vecteur aléatoire g(U). Donc V est dans Rn, c'est donc, lui aussi, un vecteur aléatoire dont je vais appeler les coordonnées V1, V2, etc, Vn.

Et la question que l'on se pose, c'est quelle est la loi de V. Donc première question : est-ce que V a une loi à densité? On sait que c'est vrai pour U mais est-ce que c'est vrai pour V? Et deuxièmement, si oui, quelle est-elle? Donc, nous venons de voir, que pour caractériser la loi de V, le bon réflèxe est d'introduire une fonction quelconque, continue bornée sur Rn et de calculer l'espérance de h(v). Donc nous savons, a priori, par définition de la loi de V que cette espérance se met sous la forme de l'intégrale sur R puissance n de h(v) intégré par rapport à la loi de V. Mais nous, ce que nous souhaitons, si, par exemple, nous voulons montrer que V a une densité, je reviens au théorème précédent, nous souhaitons que la loi de V s'écrive f(v)dv. C'est-à-dire nous voulons mettre l'espérance de h(v) sous cette forme ici présente. Or, quelle information avons-nous? Nous savons que V est égal a g(U), donc, en fait, h(V), c'est h(g(U)). Donc puisque U admet, la loi de U admet une densité fu, Nous savons que l'espérance de h(v) s'écrit comme l'intégrale sur R puissance n de h(g(u)), multiplié par densité de U prise en u du, u est une variable muette qui appartient à Rn.

Donc vous voyez que pour mettre cette quantité-là, sous la forme h(v) fois une fonction (v)dv, eh bien, l'idée naturelle est de poser v égal g(u) et d'appliquer une formule de changement de variable dans R puissance n. Alors ça c'est un peu délicat, et donc je vais vous redonner la proposition qui va nous servir ici, pour répondre à notre problème, et, pour la preuve des utilisations pratiques de cette proposition je vous renvois à un cours d'analyse, sur la différentielle et les formules de changement de variables. Donc nous allons supposer ici que g est un difféomorphisme d'un certain ensemble A de Rn sur un autre sous-ensemble B de Rn, je veux que g soit un difféomorphisme, en particulier, je veux que g soit bijective. Donc, au moins, surjective, donc on va supposer immédiatement que B est égale à g(A). Ce qui nous assure la surjectivité de g. Donc difféomorphisme, je vous rappelle, ça veut dire que non seulement g est bijective, mais que en plus, g et son inverse g-1 sont? continûment différentiables. Donc dans ce cas-là, je vais pouvoir définir les dérivés partiels de g par rapport à chacune des variables ui

On a donc ici n application partielle, g1, g2, etc, gn. qui sont les coordonnées de la fonction g, et qui opèrent sur un vecteur u1, u2, un, qui est également de? Donc je peux introduire une matrice, qui s'appelle la matrice jacobienne associée à g et qui est la matrice dont l'élément, à la ième ligne et à la jème colonne est égal à la dérivée partielle de g indice i, la ième coordonnée de g, par rapport a u indice j, la jème coordonnée de la variable u. Et tout ça, pris en ?. Donc vous voyez, quand je fais varier i et j entre 1 et n, ça me définit une matrice qu'on appelle la matrice jacobienne de g(u). Et ce qui va m'intéresser ici, c'est d'introduire le déterminant de cette matrice que j'appelle le jacobien de g au point u. Donc cette notation J, comme jacobien, pour la fonction g est pris en ?. Alors, si on a toutes ces informations, on peut écrire une formule du changement de variable, qui est celle que l'on cherchait, à savoir, que l'intégrale sur A de h rond g(u) fU (u)du est égal donc on a dit, on pose v égal g(u), donc c'est égal à l'intégrale donc sur g(A), ce qu'on a appelé B, de h(v) Alors ici, j'ai fU(u), si g(u) égale v, v est inversible, donc u va être égal a g-1(v). Donc ici je vais avoir fU de g-1(v), qui est écrit ici.

Et, il faut maintenant, rappelons-nous, u égal g-1(v), il faut écrire que devient ce petit élément différentiel du En fonction de v, de g et de v Et ce que vous dit la formule du changement de variable est que cet élément différentiel, est égal à la valeur absolue du jacobien de l'inverse de g, (g-1)(v) dv.

Nous allons voir sur un exemple, comment on appelait cette formule du changement de variable.

Mais avant, je voudrais vous indiquer que si nous supposons que fu est une densité sur A, c'est-à-dire que A est le support de la densité de U

et bien, vous voyez que cette formule va exactement nous donner la réponse à notre question, c'est-à-dire nous donner ici la densité du vecteur V.

Donc c'est écrit dans le transparent suivant, si je suppose que le support de la densité est inclus dans A, ce qui peut s'écrire que l'intégrale sur A de fU(u)du égal 1 ,je vous rappelle que g est un difféomorphisme de A sur g(A), et bien, dans ce cas-là, on peut en déduire que par le théorème de caractérisation de la loi d'un vecteur aléatoire que V admet la densité qui

fU(g-1)(v)) fois J(g-1)(v) indicatrice de v dans g(A), je vous rappelle, j'ai noté B cet ensemble g(A). Alors, voyez que c'est une formule lourde, et qu'il ne faut surtout pas essayer D'apprendre par cœur, ou d'apprendre d'une manière un peu systématique, il faut savoir la retrouver. Alors déjà, une première remarque quel est le lien entre le Jacobien de g et celui de g moins un, en fait on peut le retrouver mnémotechniquement assez rapidement en se rappelant que g rond g moins un égale l'identité, et que donc si vous repensez à des formules de dérivation d'une fonction composée, hein, vous pouvez remarquer que ce jacobien généralise la notion de dérivée, eh bien on peut montrer que le Jacobien pour la fonction g moins, pris en v, est égal à un sur le Jacobien de g pris en J moins un de v. Alors nous allons voir une application de ces formules de changement de variables dans le cas du changement de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires pour le repérage d'un point du plan.

Donc, on va introduire, comme on l'a déjà vu déjà plusieurs fois, grand X grand Y, un vecteur aléatoire de R deux, qu'on peut interpréter comme un repérage en coordonnées cartésiennes d'un point de R deux, point aléatoire de R deux, on suppose que U admet une loi de densité f indice U, et on va considérer V égale R grand thêta, le vecteur aléatoire de ces coordonnées polaires. Donc R c'est le rayon, c'est une variable aléatoire qui est strictement positive, et thêta c'est l'angle, l'angle polaire donc, qui va être une variable aléatoire à valeur zéro deux pi, pardon. Et la question est, quelle est la loi de V?

Donc nous connaissons bien sûr les liens entre R thêta et X et Y, et on sait que ils sont définis de la manière suivante, on peut introduire un difféomorphisme g qui de X, Y, à X, Y, associe R thêta, hein, qui va être un difféomorphisme de R deux privé du point zéro, zéro, à valeur dans zéro, plus l'infini ouvert croix zéro, deux pi ouvert. Et ce difféomorphisme, en fait ce qui nous intéresse, on l'a vu dans la formule du changement de variable, ce n'est pas g lui-même mais c'est plutôt g moins un, eh bien g moins de r thêta est égal à (r cos thêta, r sin thêta). Alors maintenant nous allons chercher

à écrire une formule de changement de variables donc qui relie la loi de V, donc on a vu que V bon là V va avoir une densité, grâce à ce difféomorphisme, et on veut écrire la densité de V en fonction de celle de U.

Donc la première chose à faire est de calculer le Jacobien de la transformation. Donc je vous rappelle que g moins de de r thêta est égal à (r cos thêta, r sin thêta). Donc j'écris le Jacobien pris en r thêta, et je sais que c'est le déterminant, alors, de la dérivée partielle par rapport à la première variable de la première coordonnée de g moins un, c'est-à-dire de r cosinus thêta, puis la dérivée partielle par rapport à thêta de r cosinus thêta, et en deuxième ligne on va avoir la dérivée partielle par rapport à R de r sinus thêta, puis la dérivée partielle par rapport à thêta de r sinus thêta.

Donc ça c'est des choses que vous devez déjà plus ou moins connaître, donc maintenant ça me donne le déterminant de cosinus thêta, moins r sin thêta,

sin thêta r cos thêta, et qui me donne, donc, ben il suffit de multiplier, on a r cos carré thêta, plus r sinus carré thêta, ce qui nous fait petit r. Hein, je vous rappelle que r est strictement positif par ce difféomorphisme. Donc maintenant, voyez, ça nous donne en fait, j'écris ça à la physicienne, que l'élément différentiel dx, dy va être remplacée par l'élément différentiel r dr, d thêta.

Et donc la densité de v pris en r thêta, en appliquant la formule du changement de variable, va être égale à la densité de grand U pris en r cos thêta r sin thêta,

multipliée par r, et puis indicatrice de r positif, indicatrice de thêta appartient à zéro, deux pi. Voyez, l'ensemble B, hein, de ma formule générale.

Nous allons finir cet example par une application numérique où on va considérer X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes de loi normale centrée réduite, et nous allons nos amuser à chercher la loi du couple R thêta. On va d'abord regarder la loi de R, regarder la loi de thêta,

on va voir si R et thêta sont des variables indépendantes ou non, et on va aussi chercher la loi de R au carré.

Nous avons supposé que X et Y sont deux variables aléatoires réelles de loi normale centrées réduites et indépendantes, nous savons donc que la loi du couple est une loi normale

dont la densité va être, le produit des densités de X et de Y, ce qui va nous donner la densité du couple X, Y, la valeur 1/2pi, e puissance (-x deux plus (y deux)/2). Donc à partir de là, nous pouvons en déduire, par la formule que nous avons mis en place précédemment, la densité du couple puisque nous avons vu que la densité de ce couple V égale R thêta, pris en r, petit thêta, était égale à la densité donc de U égale X, Y, pris en R cosinus thêta, R sinus thêta, donc je l'écris, 1/2pi e puissance moins, alors x deux plus y deux, écrit en fonction de r et thêta, donc c'est juste r deux, sur deux, et nous devons multiplier par petit r, puis par l'indicatrice de r positive et de thêta dans zéro, deux pi. ça c'est la formule du changement de variable qui nous donne ça. Donc nous avons immédiatement la densité du couple r, thêta. Si maintenant, nous voulons trouver la loi de R, nous savons qu'elle admet une densité, et que sa densité va être donnée

en calculant l'intégrale de fv de petit r, thêta, par rapport à d thêta. Donc je vais intégrer entre zéro et deux pi. Donc, vu la forme de la densité, c'est immédiat de voir que cela fait r e puissance moins r au carré sur deux, et ceci pour r strictement positif. De même, si on cherche la loi de thêta, de grand thêta, nous allons faire un résonnement analogue, donc f grand thêta de petit thêta, ça va être l'intégrale de zéro à plus l'infini, de fv de r thêta, et maintenant j'intègre par rapport à dr.

Donc on va avoir f grand thêta de petit thêta, va être égale à l'intégrale de zéro à plus l'infini, alors il y a un un sur deux pi devant,

et puis intégrale de r e puissance moins r deux sur deux dr. Et ceci si thêta est entre zéro et deux pi.

Mais vous reconnaissez ici en posant u égale r deux sur deux, par exemple, vous reconnaissez r dr qui est la dérivée de r deux sur deux, donc en fait l'intégrale de zéro à plus l'infini de r puissance moins r deux sur deux dr, peut s'écrire comme, par ce petit changement de variables, intégrale de zéro à plus l'infini de puissance de moins u du, et elle vaut donc un.

Donc finalement, vous voyez que la densité de thêta s'écrit un sur deux pi, indicatrice de thêta dans zéro, deux pi. Alors ce qu'on peut remarquer immédiatement c'est que la densité fv de r thêta, est égale à la densité de r fois la densité de thêta

ce qui entraîne que R et thêta sont des variables indépendantes.

De plus, on vient de voir que thêta admet une loi uniforme sur zéro, deux pi.

La dernière chose que voulais voir sur cette exercice avec vous, est le calcul de la loi de R deux, hein, en petite révision de ce qu'on a fait, sur les variables aléatoires. Donc on a vu et l'on l'a révisé aujourd'hui que pour caractériser ou trouver la loi de R deux, on va prendre une fonction h, une fonction test h qui est continue bornée sur R, et on va calculer l'espérance de h de R deux.

Bien sûr, h de R deux est aussi une fonction de R, donc je peux écrire ceci comme l'intégrale de zéro à plus l'infini, de h

de petit r carré, intégrée par rapport à la densité de grand R. Et la densité de R c'est r e puissance moins r deux sur deux dr.

Et pour caractériser la loi de r deux, eh bien on va poser petit u égale R deux et on va écrire cette quantité-là sous la forme d'une intégrale en h(u), alors par rapport à une certaine quantité qui va être quoi, eh bien vous voyez que si u égale r deux, vous allez avoir e puissance moins u sur deux, et du égale deux dr. Donc ici on va avoir du sur deux. Alors vous voyez que maintenant on est capable de reconnaître la loi de r deux, puisqu'en fait sa densité est ici, et vous voyez que sa densité, alors il y a un un demi aussi là, c'est un demi e puissance moins un sur deux, indicatrice de u strictement positif, et ça vous dit que r deux suit une loi exponentielle de paramètre un demi. [AUDIO_VIDE] Donc voyez que c'est amusant, dans cet exercice, je trouve qu'on voit la magie de ces lois, puisqu'on est parti de variable aléatoire de loi normale, et qu'à partir de ces variables-là, on a trouvé des variables de loi uniforme, et des variables de loi exponentielle.

Séance 5 : CALCUL DE LOIS

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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