About this Course
2,830 recent views

100% online

Start instantly and learn at your own schedule.

Flexible deadlines

Reset deadlines in accordance to your schedule.

Intermediate Level

Approx. 38 hours to complete

Suggested: 10 weeks, 4-6 hours/week...

Russian

Subtitles: Russian

100% online

Start instantly and learn at your own schedule.

Flexible deadlines

Reset deadlines in accordance to your schedule.

Intermediate Level

Approx. 38 hours to complete

Suggested: 10 weeks, 4-6 hours/week...

Russian

Subtitles: Russian

Syllabus - What you will learn from this course

Week
1
5 hours to complete

Приближенное вычисление определенных интегралов. Интегралы с «малым параметром»

Добро пожаловать! В первом модуле курса Вы изучите методы приближенных аналитических вычислений интегралов и рядов, которые содержат малый или большой параметр. Вы научитесь определять существенную область интегрирования и делать приближения на основе этого. Кроме того, Вы познакомитесь с важным для физики понятием асимптотического ряда. В лекциях будет разобрано большое число примеров приближенного вычисления интегралов и рядов, которые помогут Вам справится с контрольным тестом в конце модуля.

...
8 videos (Total 79 min), 3 readings, 1 quiz
8 videos
О курсе "Введение в математические методы физики"1m
Приближенное вычисление интегралов с малым или большим параметром - 114m
Приближенное вычисление интегралов с малым или большим параметром - 24m
Приближенное вычисление интегралов с малым или большим параметром - 39m
Приближенное вычисление интегралов с малым или большим параметром - 423m
Приближенное вычисление интегралов с малым или большим параметром - 514m
Приближенное вычисление рядов8m
3 readings
Приветствие на курс10m
Использование LaTeX на форумах10m
Асимптотические ряды1h
1 practice exercise
Приближенное вычисление определенных интегралов2h
Week
2
4 hours to complete

Вычисление интегралов методом перевала

Этот модуль посвящен одному из самых распространенных методов приближенного вычисления определенных интегралов - методу перевала. Основная идея описываемого подхода состоит в сведении интеграла от функции с резким максимумом к простому Гауссовому виду. В этом разделе Вы узнаете, как и при каких условиях такая процедура может быть реализована на практике. Помимо этого, мы обсудим Гамма-функцию. Гамма-функция является естественным обобщением факториала на все положительные вещественные числа. При помощи метода перевала, Вы научитесь вычислять значение этой функции приближенно. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

...
8 videos (Total 91 min), 1 quiz
8 videos
Метод перевала: почему такое название6m
Условия применимости метода перевала10m
Однопараметрические функции11m
Различные случаи, в которых работает метод перевала13m
Гамма-функция6m
Формула Стирлинга14m
Поправка к формуле Стирлинга15m
1 practice exercise
Вычисление интегралов методом перевала2h
Week
3
3 hours to complete

Дифференцирование интеграла по параметру

В этом модуле рассматривается метод точного и приближенного вычисления определенных интегралов, который полагается на дифференцирование по параметру, входящему в подынтегральное выражение. Довольно часто такое дифференцирование позволяет свести вычисление сложного или громоздкого интеграла к использованию уже известных ответов, полученных для более простых интегралов. Отдельное внимание в модуле уделяется вопросу о регуляризации расходящихся интегралов, то есть выделении из них конечной части, содержащей в себе всю зависимость интеграла от параметра. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

...
9 videos (Total 60 min), 1 quiz
9 videos
Интегральное представление гамма-функции - 25m
Интегральный логарифм5m
Интеграл от осциллирующей функции - 14m
Интеграл от осциллирующей функции - 23m
Интеграл от осциллирующей функции - 37m
Интеграл от функций Бесселя - 110m
Интеграл от функций Бесселя - 22m
Размерная регуляризация и регуляризация Паули-Вилларса10m
1 practice exercise
Дифференцирование по параметру, регуляризация2h
Week
4
3 hours to complete

Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

В этом модуле Вы познакомитесь с методами приближенного и точного вычисления интегралов от быстро меняющихся функций. Такие функции могут иметь четко выраженные пики или же сильно колебаться от отрицательных значений к положительным. Вы научитесь аккуратно учитывать эти особенности при анализе интегралов. Кроме того, Вы научитесь работать с дельта-функцией Дирака, которая повсеместно возникает в приложениях. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

...
9 videos (Total 47 min), 1 quiz
9 videos
Дельта-функция Дирака - 15m
Дельта-функция Дирака - 26m
Дельта-функция Дирака - 35m
Интегралы от быстро осциллирующих функций - 16m
Интегралы от быстро осциллирующих функций - 25m
Интегралы от быстро осциллирующих функций - 34m
Интегралы от быстро осциллирующих функций - 42m
Интегралы от быстро осциллирующих функций - 53m
1 practice exercise
Интегралы от быстро меняющихся функций2h
Week
5
5 hours to complete

Интегрирование в криволинейных координатах

Выражения, в которых интегрирование выполняется более чем по одной переменной, повсеместно встречаются в прикладных задачах. Такие многократные интегралы зачастую удобно вычислять в криволинейных координатах, которые отражают симметрию рассматриваемой системы или наложенных на нее граничных условий. В этом разделе Вы научитесь производить переход к криволинейным координатам под знаком интеграла. Вы узнаете, что такое метрический тензор, и поймете, как это понятие помогает находить площади и объемы фигур в произвольных системах координат. В частности, мы подробно обсудим тороидальные и сферически координаты. Большой упор в этом модуле делается на задачи для самостоятельного решения.

...
6 videos (Total 64 min), 1 quiz
6 videos
Замена координат в многократных интегралах. Матрица Якоби8m
Метрический тензор12m
Сферические координаты10m
Элементы площади и объема13m
Метрический тензор в тороидальных координатах6m
1 practice exercise
Интегрирование в криволинейных координатах3h 30m
Week
6
4 hours to complete

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Этот модуль открывает большой блок курса, посвященный изучению дифференциальных уравнений. Мы начнем с рассмотрения самых простых (однако, фундаментально важных) уравнений первого порядка. Затем мы перейдем к изучению систем линейных дифференциальных уравнений. Вы узнаете, как такие системы могут быть решены при помощи матричной экспоненты. Экспонента, возведенная в степень матрицы - это довольно нетривиальный объект, и его явное вычисление является отдельным вопросом, который мы подробно обсудим. Завершится модуль заданием из шести задач.

...
7 videos (Total 74 min), 1 reading, 1 quiz
7 videos
Коллапсирующие решения в дифференциальных уравнениях первого порядка11m
Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений первого порядка14m
Системы дифференциальных уравнений первого порядка и матричные экспоненты10m
Растущие матричные экспоненты11m
Уравнения химической кинетики - 15m
Уравнения химической кинетики - 27m
1 reading
Справка по вводу математических операций в поля ответов10m
1 practice exercise
Дифференциальные уравнения3h
Week
7
5 hours to complete

Обыкновенные дифференциальные уравнения с «малым параметром»

Часто бывает так, что ту или иную сложную физическую задачу, решение которой неизвестно, можно свести к какой-то хорошо изученной системе с добавлением небольшого возмущения. При этом, возмущение, в меру его малости, можно учитывать приближенно, что позволяет с некоторой точностью решить исходную задачу. В этом модуле Вы научитесь приближенно решать дифференциальные уравнения с малыми параметрами, рассматривая малые члены в уравнении как возмущение. На примере задач с гармоническим осциллятором, Вы познакомитесь с важным понятием секулярных поправок, то есть поправок к решению дифференциального уравнения, возрастающих со временем. Наличие таких вкладов в решении может сигнализировать о неприменимости наивной теории возмущений на больших временах и необходимости введения в нее модификаций. Вы научитесь использовать улучшенную теорию возмущений, которая аккуратно обрабатывает секулярные возмущения, и применимую на больших временах. В модуле Вам будут предложены два задания для самостоятельного решения. Будьте готовы: этот модуль - самый объемный в курсе!

...
11 videos (Total 117 min), 2 quizzes
11 videos
Упорядоченная матричная экспонента9m
Разложение упорядоченной матричной экспоненты5m
Малое постоянное возмущение частоты гармонического осциллятора11m
Малое переменное возмущение частоты гармонического осциллятора7m
Примеры секулярных возмущений10m
Выделение медленных переменных для простейших возмущений гармонического осциллятора19m
Медленные переменные для параметрического резонанса10m
Поведение осциллятора в условиях параметрического резонанса10m
Простейшие нелинейные возмущения осциллятора - 113m
Простейшие нелинейные возмущения осциллятора - 29m
2 practice exercises
Теория возмущений в дифференциальных уравнениях1h
Секулярные возмущения гармонического осциллятора2h
Week
8
4 hours to complete

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом

Во многих случаях, задача о решении дифференциального уравнения - даже довольно сложного - может быть эквивалентно представлена в виде вариационной задачи о нахождении экстремума некоторого функционала. Такое представление часто оказывается очень плодотворным, ведь находить минимум или максимум функционала можно приближенно - на классе правильным образом выбранных пробных функций. Полученное решение, не являясь параметрически точным, дает качественное представление о характере решения исходного дифференциального уравнения. В этом модуле, Вы научитесь реализовывать описанную схему на практике. В качестве примеров, мы рассмотрим принцип наименьшего действия в классической механике, а также поговорим о вариационных решениях электростатических задач. Завершится модуль тестом, в котором Вам будут предложены четыре упражнения на вариационные методы, мотивированные различными физическими задачами.

...
6 videos (Total 84 min), 1 reading, 1 quiz
6 videos
Принцип наименьшего действия11m
Пробные функции12m
Вариационная формулировка электростатики15m
Использование вариационной формулировки для замены переменных в дифференциальных операторах. Лапласиан в сферических координатах16m
Пробные функции в электростатике12m
1 reading
Уравнение Эйлера-Лагранжа20m
1 practice exercise
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом2h 30m
Week
9
4 hours to complete

Теория возмущений в линейной алгебре для собственных чисел и собственных векторов конечномерных матриц; снятие вырождения возмущением

В этом модуле Вы познакомитесь с тем, как теория возмущений применяется в линейной алгебре. Речь пойдет о приближенном нахождении собственных векторов и собственных значений нормальных матриц. Вы изучите, как и в каких случаях можно использовать теорию возмущений для этой задачи. Мы обсудим поправки как к невырожденным, так и к вырожденным собственным значениям матриц. Завершит модуль тест, состоящий из пяти задач.

...
9 videos (Total 97 min), 1 quiz
9 videos
Спектральная теорема8m
Теория возмущений13m
Невырожденное собственное значение: нулевой и первый порядок теории возмущений14m
Невырожденное собственное значение: условие применимости теории возмущений4m
Невырожденное собственное значение: второй порядок теории возмущений12m
Вырожденное собственное значение: правильные векторы нулевого приближения10m
Вырожденное собственное значение: секулярное уравнение9m
Вырожденное собственное значение: сумма корней секулярного уравнения9m
1 practice exercise
Теория возмущений в линейной алгебре2h
Week
10
3 hours to complete

Преобразования Фурье

В этом модуле Вы познакомитесь с очень важной техникой - преобразованием Фурье. Преобразование Фурье находит применение в огромном числе приложений: от анализа звуковых сигналов и радиотехники, до теоретической физики. Вы научитесь применять преобразование Фурье для решения различных физических и математических задач. Особое внимание будет уделено использованию преобразования Фурье в линейных задачах с трансляционной инвариантностью, а также решению обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

...
10 videos (Total 78 min), 1 quiz
10 videos
Типы преобразований Фурье. Определение интегрального преобразования Фурье.6m
Основные свойства преобразования Фурье6m
Закон Кулона8m
Уравнение Диффузии9m
Уравнение типа свертки6m
Ряд Фурье для периодических функций7m
Преобразование Фурье для функций на решетке9m
Решение задачи о сетке сопротивлений - 111m
Решение задачи о сетке сопротивлений - 26m
1 practice exercise
Преобразование Фурье2h
4.9
1 ReviewsChevron Right

Top reviews from Введение в математические методы физики

By PKMar 4th 2018

Хороший курс для начинающих физиков. Есть материал, который не преподаётся в стандартных курсах ММФ.

Instructors

Avatar

Фоминов Яков Викторович

Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Avatar

Фейгельман Михаил Викторович

Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Avatar

Колоколов Игорь Валентинович

Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Avatar

Бурмистров Игорь Сергеевич

Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Avatar

Скворцов Михаил Андреевич

Профессор
Сколковский институт науки и технологий

About National Research University Higher School of Economics

National Research University - Higher School of Economics (HSE) is one of the top research universities in Russia. Established in 1992 to promote new research and teaching in economics and related disciplines, it now offers programs at all levels of university education across an extraordinary range of fields of study including business, sociology, cultural studies, philosophy, political science, international relations, law, Asian studies, media and communicamathematics, engineering, and more. Learn more on www.hse.ru...

Frequently Asked Questions

  • Once you enroll for a Certificate, you’ll have access to all videos, quizzes, and programming assignments (if applicable). Peer review assignments can only be submitted and reviewed once your session has begun. If you choose to explore the course without purchasing, you may not be able to access certain assignments.

  • When you purchase a Certificate you get access to all course materials, including graded assignments. Upon completing the course, your electronic Certificate will be added to your Accomplishments page - from there, you can print your Certificate or add it to your LinkedIn profile. If you only want to read and view the course content, you can audit the course for free.

More questions? Visit the Learner Help Center.