[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido nuevamente al curso de álgebra básica. Continuamos con el tema de polinomios. Esta lección tratará sobre la división de monomios. Supongamos que tenemos un triángulo cuya área mide 26 x a la 7 metros cuadrados y uno de sus lados mide 6x cuadrado metros. Queremos encontrar la altura sobre ese lado del triángulo. Vamos a resolver. Nosotros sabemos que la fórmula del área de un triángulo es área igual a base por altura entre 2, escribimos A igual a b por h entre 2 donde b es la base y h es la altura. En nuestro caso hay 2 datos que conocemos, el área que es igual a 26x a la 7 y la base que es igual a 6 x al cuadrado. Para conocer la altura debemos despejar de la fórmula del área a la altura. Observamos que lo primero que tenemos que hacer es multiplicar por 2 para quitar el 2 del denominador en la fórmula del área. Entonces obtenemos 2A igual a b por h, y ahora para despejar la altura dividimos entre b y obtenemos h igual a 2A entre b. Ahora deberemos sustituir los valores que tenemos, h es igual a 2 por 26x a la 7 entre 6x al cuadrado y lo que queremos hacer es simplificar esta expresión. Para ello observamos que en el denominador tenemos un 6 que tiene a 2 como factor y lo simplificamos con el 2 que tenemos en el numerador para obtener 26x a la 7 entre 3 x al cuadrado. Escribimos entonces h igual a 26 x a la 7 entre 3x al cuadrado que es igual a 26x a la quinta por x al cuadrado entre 3x al cuadrado. Observa que lo que hicimos fue escribir x a la 7 como x a la quinta por x al cuadrado utilizando la ley de los exponentes que ya conocemos, y ahora simplificamos x al cuadrado de la misma manera que lo hacemos con los números, pues tanto en el numerador como en el denominador tenemos el factor x cuadrado. Y así obtenemos h igual a 26x a la quinta entre 3. La altura del triángulo es entonces 26x a la 5 entre 3 metros. Observa que lo que estamos haciendo es simplificar como en el caso de los números reales lo que buscamos son factores que sean comunes al numerador y al denominador. Aquí estamos la ley de la cancelación de la división que se escribe de la siguiente manera. Si a, b y c son números reales y a y c son distintos de 0, entonces ab entre ac es igual a b entre c. Ve lo que estamos haciendo, en realidad estamos cancelando el a del numerador con el a del denominador. Vamos a ver algunos ejemplos. El primer ejemplo dice simplifica 64 entre 20. En este caso el problema es totalmente numérico. Vamos a nuestra página para hacer la simplificación y tenemos 64 entre 20 que puede escribirse como 4 por 16 entre 4 por 5. Lo que estamos haciendo es a lo que llamamos factorizar, escribimos 64 como el producto de 4 por 16 y 20 como el producto de 4 por 5. De manera que lo que vemos es que tenemos un factor 4 tanto en el numerador como en el denominador y escribimos entonces cancelando el 4 como 16 entre 5. Puesto que hablamos de una cancelación es común escribir de la siguiente manera, una vez que factorizo lo que hacemos es decir tachamos, el factor que es común al numerador y al denominador y observamos lo que queda. Entonces 54 entre 20 se escribe como 16 quintos. Vamos a ver ahora un ejemplo que no sea numérico. Tenemos la expresión y a la 9 entre y a la cuarta, vamos a simplificarla. Y a la 9 entre y a la cuarta se puede escribir como y a la quinta por y a la cuarta entre y a la cuarta. Observa que lo que estamos haciendo es usar la ley de los exponentes que conocemos, y a la quinta por y a la cuarta se puede escribir como y a la 5 + 4 que es y a la 9, lo que tenemos en el numerador. Y el factorizar de esta manera nos lo sugiere el y a la cuarta que tenemos en el denominador. Vamos entonces a cancelar el y a la cuarta que tenemos. El denominador lo pensamos como y a la cuarta por 1, de tal manera que si cancelamos el y a la cuarta que aparece en el numerador con el del denominador lo que obtenemos es y a la quinta. Observa que puesto que sabemos simplificar expresiones algebraicas en las que aparecen productos de potencias y potencias de potencias ahora con ayuda de la ley de cancelación podremos simplificar cocientes de expresiones en las que ellas aparezcan. Vamos a ver algunos ejemplos. Queremos simplificar la expresión 34 y a la cuarta entre 18 y a la 13. Escribimos la expresión 34 y a la cuarta entre 18 y a la 13. Lo primero que hacemos es observar que 34 se puede escribir como 2 por 17 y que 18 se puede escribir como 2 por 9. Lo que estamos haciendo es ver cuáles son los factores comunes que tiene el numerador y el denominador. Ya lo hemos hecho con los coeficientes, ahora simplemente vamos a escribir el y a la 13 del denominador como y a la cuarta por y a la 9, eso es y a la 4 + 9 que es y a la 13 y dejamos el y a la cuarta que teníamos en el numerador. Y ahora vamos a cancelar, cancelamos el factor 2 y cancelamos el factor y a la cuarta, de tal manera que el resultado será 17 entre 9 por y a la 9. Aquí tenemos un ejemplo más, este dice simplifica la expresión 81 r a la 35 t a la 59 entre 96 r a la 26 t a la 84. Vamos a escribir la expresión para simplificarla, 81 r a la 35 t a la 59 entre 96 r a la 26 t a la 84. Lo primero que hacemos es observar que 81 se puede escribir como 3 por 27 y 96 puede ser escrito como 3 por 32. Ello nos va a permitir cancelar un 3, por supuesto debemos observar que los números que quedan ya no tengan factores en común, en este caso 27 y 32 ya no los tienen. Vamos a seguir entonces con las variables, primero con el r a la 35 puede escribir como r a la 26 por r a la 9, porque 26 + 9 es 35 y en el denominador dejamos r a la 26. Vamos ahora con t, t tiene exponente menor en el numerador entonces ese lo dejamos igual y en el denominador escribimos t a la 84 como t a la 59 por t a la 25, y ahora cancelamos el 3, el r a la 26, y el t a la 59, y escribimos lo que queda. El resultado es entonces 27 r a la 9, entre 32 t a la 25. Aquí tenemos un ejemplo más. Ahora tenemos menos 3 u a la quinta, v a la 14 todo elevado a la 7, entre 2 u a la 7, v a la 12, todo elevado al cubo. Este es uno de los casos de los que hablamos en general hace un momento. Primero lo que tenemos que hacer es simplificar porque tengo un producto elevado a una potencia en el numerador, y lo mismo en el denominador. Vamos a ver cómo hacerlo. Escribimos menos 3 u quinta v a la 14, esto elevado a la 7, entre 2 u a la 7, v a la 12, y eso elevado al cubo. Lo primero que tenemos que hacer es simplificar las potencias del numerador y el denominador por separado. Entonces, tenemos menos 3 a la 7, por u a la quinta, elevado a la 7, por v a la 14, y después a la 7, entre 2 al cubo, por u a la 7, a la 3 y por v a la 12 y después a la 3. Observa que continuamos haciendo todas las operaciones paso a paso. Con un poco de práctica, es mucho más sencillo y no hay que hacerlo tan lentamente. Sin embargo, al menos al principio es conveniente para equivocarnos menos. Esto es igual a el menos 3 elevado a la séptima es lo mismo que menos 3 a la 7. Y en el numerador tenemos además u a la 5 por 7, que es igual a u a la 35, por v a la 98 porque 98 es 14 por 7. En el denominador nos queda 2 al cubo, u a la 21, v a la 36. Y aquí ya solamente nos resta simplificar las variables. Y nosotros sabemos cómo hacerlo. Lo que hacemos es fijarnos en el exponente más pequeño al que aparece elevada la variable, y ese es uno de los factores que proponemos. Es decir, u a la 35 lo podemos escribir como u a la 21 por u a la 14. Sin embargo, vamos a ver una manera de hacerlo un poquito más rápido. Esto es igual a menos 3 a la 7 por u a la 35 menos 21. Observa que lo que estamos haciendo es escribir en el numerador porque ahí se encuentra u elevado a la potencia más grande, u elevado al exponente que se obtiene de restar el exponente mayor menos el menor. Vamos a hacer lo mismo con v. Entonces escribimos v a la 98 menos 36, y esto entre 2 al cubo. Vamos viendo qué es lo que resulta. Esto es menos 3 a la 7, entre 2 al cubo, por u a la 14, por v a la 62. Observa que es lo mismo que obtendríamos si escribiéramos u a la 35 como u a la 21, por u a la 14, y después cancelamos u a la 21, y exactamente igual para v porque escribiríamos v a la 36 + 62 y cancelaríamos v a la 36. [MÚSICA] [MÚSICA]