[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenidos a este video del curso de álgebra básica, vamos a estudiar en esta ocasión el tema de los exponentes, que realmente es un tema de aritmética pero es tan importante para el álgebra que vale la pena recordarlos. Si tenemos un número que multiplicamos muchas veces, por ejemplo 7 por 7 por 7 por 7 por 7, 5 veces, esta multiplicación la podemos abreviar poniendo el 7 y arriba un 5 que me dice cuántas veces multiplique por el 7. Y en general si tengo un número a cualquiera y un número natural, entonces voy a definir a a la n como multiplicar a n veces, es la abreviatura de multiplicar a n veces. A ese número a se le llama base y al número n se le llama exponente y puedo tener digamos nombres sobre todo cuando el exponente es pequeño, a a la 2 se dice a cuadrada y a a la 3 se dice a al cubo o a cúbica, y esto lo que pasa es que recuerda lo que sucede con las medidas de longitud, de área y de volumen. Si tenemos un cuadrado cuyo lado mide a, pues el área del cuadrado pues es a por a que es a cuadrada, por eso decimos cuadrado viene del cuadrado. O si tenemos un cubo de lado a, pues el volumen del cubo pues es a a la 3, o a cúbica o a al cubo. Para las siguientes potencias podemos decir a a la cuarta, o a a la cuarta potencia, en general a a la n, decimos a a la enésima potencia. Lo que vamos a ver ahora son lo que se llaman las leyes de los exponentes, que son varias reglas que nos sirven para simplificar expresiones en las que aparecen exponentes. Por ejemplo si quiero escribir de una manera más simple 5 al cubo por 5 a la cuarta, 5 al cubo significa multiplicar 3 veces por 5 y 5 a la cuarta significa multiplicar el 5, 4 veces. ¿En total cuántas veces multiplicamos el 5? Pues aquí 3 y aquí 4 son 7 veces. Entonces el resultado de esto es 5 a la 7. Vean la relación que hay entre los exponentes 3 y 4 y 7. Este 7 es la suma de 3 y 4 y en general pues si tengo un número cualquiera, y m y n números naturales y tengo las potencias a a la n y a a la m y las multiplico esto lo simplifico poniendo la misma base y la suma de los exponentes, osea los exponentes n y m se suman, la razón de esto pues es la misma que tenemos aquí arriba. En general a a la n es multiplicar a n veces, a a la m es multiplicar a m veces, entonces, ¿cuántas a tengo en total? Pues n más m, es decir a a la n por a a la m es a a la n más m. Vamos a ver unos ejemplos, aquí puse la formula para recordar lo que estamos haciendo. Si quiero simplificar 2 a la cuarta por 2 al cuadrado, pues esto es simplemente 2 a la 4 + 2, es decir 2 a la 6. Si quiero simplificar 10 a la 5 por 10 a la 7 pues esto es 10 a la 5 + 7 es decir 10 a la 12, es decir esto es un 1 con 12 ceros. [AUDIO_EN_BLANCO] Entonces 6, 9, 12. Aquí dijimos que a era cualquier número real, en partícular pueden ser fracciones. Entonces si tengo la fracción 2 tercios a la cuarta por 2 tercios a la quinta, pues esto lo simplifico, como es el mismo número aquí y aca pues esto es 2 tercios a la 4 + 5, es decir 2 tercios a la 9. Bueno, la siguiente ley me dice qué pasa si tengo un número elevado a una potencia y el resultado elevado a otra potencia. Vamos a ver qué pasa con 2 al cubo y todo eso a la cuarta, entonces recordemos 2 al cubo a la cuarta pues es poner 2 al cubo 4 veces, si, 4 veces. Pero 2 al cubo por 2 al cubo es 2 a la 3 + 3, y por otro 2 al cubo pues sumo otro 3 en el exponente, por otro 2 al cubo sumo otro 3 en el exponente, entonces 2 al cubo por 2 al cubo por 2 al cubo por 2 al cubo es 2 a la 3 + 3 + 3 + 3, es decir 2 a la 4 veces 3. Y otra vez aquí vemos la relación que hay entre estos exponentes y estos, no. El 3 y el 4, se multiplican de este lado, es decir 2 al cubo a la cuarta es 2 a la 4 por 3 es igual a 2 a la 12. Y en general si tengo un número real cualquiera y dos exponentes naturales, a a la n y todo eso elevado a la m. Es a a la n por m, se multiplican entonces los exponentes. Y ¿esto por qué es cierto? Pues es el mismo argumento de arriba, no. a a la n a la m, pues es a a la n m veces. ¿Cuántas a hay aquí? Pues aquí hay n otra n, otra n, otra n, otra n, es decir hay n por m a repetidas. Entonces a a la n a la m, es a a la n m. Unos ejemplos, por ejemplo 5 al cuadrado al cubo lo escribimos 5 a la 2 por 3 es igual a 5 a la 2 por 3, 6, es decir multiplicar el 5, 6 veces. Ahora fíjense una cosa curiosa 2 y 3 se pueden intercambiar puesto que son números enteros, entonces esto también es cierto que es igual a 5 al cubo al cuadrado, es decir 5 al cubo al cuadrado es 5 a la 2 por 3 y 5 al cuadrado al cubo es 5 a la 2 por 3. Es decir se pueden intercambiar el orden en el que están colocados estos exponentes. Bueno la a puede ser cualquier número real, en particular puede ser un número decimal. Por ejemplo 7.4 a la 3 y todo eso a la 5, esto es lo mismo que 7.4 elevado a la 3 por 5, es decir 7.4 a la 15. ¿Está bien? O también puede ser una fracción, por ejemplo 3 cuartos al cuadrado y todo eso a la cuarta, pues es 3 cuartos a la 2 por 4, es decir 3 cuartos a la 8. Bueno, entonces esta fue la segunda ley de los exponentes. Ahora vamos a ver lo siguiente el número 5 por 4 al cubo, vamos a ver que se puede calcular de dos maneras. Por un lado puedo hacer primero la multiplicación de adentro, 5 por 4 es 20 y despues elevar al cubo, 20 al cubo pues es 8000. Pero podrían a lo mejor hacerlo de otra manera, 5 por 4 al cubo pues es poner 5 por 4 3 veces, entonces pero como la multiplicación es conmutativa puedo poner primero los 5 y despues los 4 y 5 por 5 por 5, es 5 al cubo y 4 por 4 por 4, es 4 al cubo, 5 al cubo es 125. 4 al cubo es 64, y 125 por 64 son los mismos 8000 que tenía. Es decir, lo importante es darse cuenta que este 3 se distribuyó en los dos factores que están dentro del parentesis. 5 por 4 al cubo es 5 al cubo por 4 al cubo. Y en general si tengo dos números reales y un número natural, un producto elevado a la n, esa n se distribuye en cada uno de los factores y ¿esto por qué es cierto en general? Pues la misma idea de la conmutatividad, a por b a la n, es lo mismo que a por b por a por b por a por b n veces, y si primero pongo todas las a, puse n a, y despues tengo n b entonces a por a por a n veces es a a la n y b por b por b por b n veces es b a la n. Es decir, la n se distribuye en cada uno de los factores. Unos ejemplos, vamos a calcular este de dos maneras distintas 2 por 5 al cubo, si primero efectuó adentro la operación es 2 por 5 son 10, y al cubo pues esto es 1000, por otro lado si distribuyo el 3 en cada uno de los factores tendré 2 al cubo por 5 al cubo y esto es 2 por 2, 4 por 2, 8. 5 por 5, 25 por 5, 125 que nuevamente es 1000. Podría yo tener fracciones, por ejemplo un medio por tres quintos, todo al cuadrado. Si primero hago lo de adentro me queda 3 décimos, y si esto lo elevo al cuadrado. Pues me queda 3 décimos por 3 décimos, que son 9 centésimos. Y si distribuyo el cuadrado en cada uno de ellos tendría yo un medio al cuadrado por 3 quintos al cuadrado, un medio por un medio es un cuarto. 3 quintos por 3 quintos son 9 veinticincoavos, y otra vez esto me da 9 centésimos. Es decir puedo distribuir el 2 en cada uno de los factores. Pero ojo el exponente no se distribuye en una suma, o sea no es lo mismo a + b a la n, que a a la n + b a la n. Y esto lo podemos verificar muy sencillo casi con cualquier juego de numeros que se nos ocurran, por ejemplo si a es 1, b es 2 y n es 3, 1 + 2 es 3, al cubo es 27. En cambio si distribuyo el 3 me queda 1 al cubo + 2 al cubo, esto es 1 + 8 que es 9. Uno de los errores más comunes en álgebra es el siguiente, escribir a + b al cuadrado como a cuadrada + b cuadrada, y esto es totalmente falso, por lo que acabamos de ver. Pues no vayan a cometer este error cuando tengan que elevar al cuadrado una suma de expresiones algebraicas, o una suma de variables. La siguiente ley es parecida a la anterior, nos va a decir como se distribuye un exponente en una fracción. ¿Cuánto vale 2 tercios al cubo? Pues es 2 tercios por 2 tercios por 2 tercios, y esto pues es 2 por 2 por 2 en el numerador, 3 por 3 por 3 en el denominador. Pero esto es 2 al cubo por 3 al cubo, es decir este 3 se distribuyó en el numerador y en el denominador. En general si tengo un cociente, claro que denominador tiene que ser diferente de 0, no tiene sentido dividir entre 0, a entre b, y todo a la n, es lo mismo que a a la n entre b a la n, en particular si la a vale 1. Pues 1 sobre b a la n, es 1 a la n que vale 1 entre b a la n. Entonces 1 sobre b a la n es 1 sobre b a la n. Por ejemplo un tercio al cuadrado, pues es 1 sobre 3 al cuadrado, 2 tercios al cubo, pues es 2 al cubo entre 3 al cubo. Bueno vamos a parar aquí el video. En el siguiente vamos a extender el concepto de exponente para valores de n igual a 0, y para valores de n negativos. [MÚSICA]
