[MÚSICA] [MÚSICA] Hola, buenos días a todos. Bueno el edifico que está aquí es el instituto de matemáticas de la UNAM, es donde trabajo y aquí es donde estaré haciendo los videos para el curso de álgebra básica. En la parte de abajo ahí de abajo el segundo piso está la biblioteca que posiblemente sea la iii de matemáticas más grande de América latina. [INAUDIBLE] vamos a visitar por adentro y también vamos a ir a la facultad de ciencias pues para que iii en el que trabajan los creadores de este curso. Bienvenido al curso de álgebra básica. El álgebra es algo así como la gramática de las matemáticas. Nos enseña cómo deben escribirse las expresiones algebraicas, qué reglas hay para poder manipularlas, cómo se escriben las ecuaciones, cómo se despeja una incógnita, cómo se simplifican, etcétera, cómo se multiplican polinomios. En esta primera unidad vamos a ver qué cosa es el lenguaje algebraico y vamos a ver cómo hacer para a partir de una expresión en español poder traducirla a un lenguaje algebraico para poder a partir de ahí generar ecuaciones. También veremos que las propiedades usuales de los números reales, de la suma y el producto se aplican también a las expresiones algebraicas. Entonces pues vamos a empezar. Esta es una expresión muy sencilla que todo el mundo la conoce desde la primaria, es digamos la fórmula para calcular el área del triángulo, nos dice a igual a b h sobre dos, pero esto ¿qué significa cuando estamos hablando de un triángulo? Nos dice que el área del triángulo es igual al producto de la base por la altura entre dos. B que representa la base, h representa la altura y a representa el área del triángulo. La gracia es que esta fórmula nos sirve para calcular el área de cualquier triángulo, lo único que tenemos que hacer pues es sustituir los valores de b y de h en la fórmula esta y efectuar las operaciones, no, ¿cómo le haríamos? Vamos a ver un ejemplo. Si yo tengo que el área es igual a base por altura sobre dos y me dicen que la base vale 6 y la altura vale 4, pues entonces al sustituir estos valores aquí obtengo que al área es igual a 6 por 4 sobre 2, que esto es 12. Bueno, una observación, fíjense que voy a estar utilizando este signo para multiplicar en vez del signo de por, una cruz y esto lo hacemos por dos razones, en primer lugar el signo de cruz suele confundirse con la letra x que se utiliza muchísimo en los cursos de álgebra, y por otro lado en las computadoras y en las hojas de cálculo el símbolo que se utiliza es el símbolo de estrella, es el que trae el teclado de las computadoras. Bueno, entonces pero esta fórmula me sirvió para calcular este triángulo pero también si ahora tuviera que la base es 5 y la altura es 8 pues también podría calcular el área poniendo 5 por 8 entre 2 y esto vale 20. Entonces, ¿qué es lo que estamos haciendo en una expresión algebraica? Que es esto, estamos sustituyendo las letras por números y haciendo las operaciones ya como números como números reales. A las letras a, b y h les llamamos variables, el 2 es una constante, y como las variables se representan con letras pues también se les suele llamar literales a las variables. Entonces vamos a identificar literales y variables como la misma cosa. Bueno pues, ¿qué va a ser el álgebra? Pues es como la gramática, nos va a enseñar cómo operar con expresiones que contienen variables, constante y operaciones aritméticas. A estas expresiones les vamos a llamar expresiones algebraicas. Vamos a ver unos ejemplos. El primero pues es exactamente el que acabamos de ver, base por altura sobre 2, bh entre 2. Podemos entonces usar cualquier letra y con operaciones aritméticas, por ejemplo podemos una variable x multiplicarla por 2 y después sumarle otra variable y. O podemos la variable x al cuadrado menos 4 y todo dividirlo entre x menos 2. Aquí tenemos a la más larga, tenemos una variable x al cubo menos 2 veces x al cuadrado + 4 veces x menos 1. Todas estas son expresiones algebraicas. Aquí tenemos una que viene de la física, F igual a ma, es una de las leyes de Newton, nos dice que la fuerza es igual a la masa por la aceleración. Entonces todas estas son expresiones algebraicas. Y como las variables representan números, algunas veces queremos que representen números naturales, otras veces enteros, otras veces racionales o reales. Entonces pues las expresiones algebraicas van a satisfacer las propiedades aritméticas de esa familia de números. Casi todo el tiempo vamos a estar pensando en que las variables representan números reales. Entonces pues va a heredar todas las propiedades de los números reales como dije ahorita. Bueno este es un resumen de las propiedades que tienen los números reales, vamos a ir desglosándolas poquito a poco, está un poco impresionante la tabla, entonces vamos a poco a poco. Vamos a empezar con la suma. La primera dice que la suma es conmutativa, ¿qué quiere decir esto? Bueno pues quiere decir, nosotros ya sabemos que si hacemos 3 + 5 pues esto es 8 y 5 + 3 también es 8, o sea da igual el orden en el que sumemos los números. En general para cualquier par de números tendremos entonces que x + y es lo mismo que y + x. Esta propiedad se llama la propiedad conmutativa. Bueno, ahora cuando nosotros tenemos tres números, por ejemplo 3, 4 y 8 y queremos sumarlos pues lo que hacemos es ir sumando de 2 en 2, hacemos 3 + 4 esto es 7, y 7 + 8 es 15, sí. Pero también podríamos haber hecho 3 + la suma de 4 + 8. 4 + 8 es 12, 3 + 12 es 15, entonces la propiedad asociativa nos dice que si tenemos más de dos números lo que tenemos que hacer es ir agrupándolos de 2 en 2 y ir sumando esos así consecutivamente hasta acabar con todos. Entonces esta propiedad se llama asociatividad. Ahora la suma hay un número ahora, para la suma hay un número que se llama neutro que es el 0, que tiene la propiedad de que al sumárselo a cualquier cosa no cambia nada. Por ejemplo yo puedo tener 5 + 0 es 5, 1000 + 0 es 1000. ¿De acuerdo? Eso es el neutro. Todo número real tiene una pareja que se llama el inverso que al sumárselo a él me da 0. Por ejemplo yo tengo 7 + el número menos 7, esto es igual a 0, o menos 5 + 5 es igual a 0. Entonces el inverso aditivo de 7 es menos 7, El inverso aditivo de menos 5 es 5, el inverso aditivo de un medio es menos un medio, sí es cambiarle de signo básicamente es lo que estamos haciendo. Bueno, vamos a pasar a la multiplicación que es la misma idea, tenemos la conmutatividad que es la típica frase de el orden de los factores no altera el producto, el 9 por 4 es 36 y 4 por 9 también es 36, es decir siempre x por y es lo mismo que y por x. Ahora, la asociatividad, ¿qué quiere decir? [AUDIO EN BLANCO] La asociatividad nos dice que si tengo 3 números, por ejemplo 2, 3 y 6 y los quiero multiplicar puedo multiplicar los dos primeros 2 por 3, 6 y después el resultado multiplicarlo por el tercero 6 por 6, 36 o bien puedo tomar los dos últimos números 6, 3 por 6, 18 y multiplicar 2 por 18 igual a 36. Esa es la asociatividad de la multiplicación. De la misma manera que hay un neutro aditivo hay también un neutro multiplicativo que le llamamos 1, sí. Cualquier número multiplicado por 1 me da el mismo número, no, sí, 5 por 1 me da 5. [AUDIO EN BLANCO] Y todos los números y aquí sí hay una excepción excepto el 0 tienen una pareja, tal que al multiplicar estos dos números nos da el 1, el idéntico multiplicativo. Por ejemplo 8 por cuánto me da 1, pues 8 por un octavo, 8 por un octavo me da 1. O un medio por cuánto me da 1, pues un medio por 2 me da 1. O 3 cuartos por cuánto me da 1, pues 4 tercios, 3 cuartos por 4 tercios me da 1. Pero en cambio no puedo hacer 0 por 1 entre 0, esto no se puede. Y finalmente como tenemos dos operaciones suma y producto necesitamos algo que nos relacione esas dos operaciones y esa es la propiedad distributiva. Vamos a verla primero con un ejemplo. Si yo tengo 3 por 5 + 4, puedo hacer esta operación de dos maneras, puedo hacer 3 por la suma de estas dos, 5, 5 y 4 9, y 3 por 9, 27. O puedo hacer 3 por 5 es 15 y 3 por 4 es 12, es decir 3 se distribuye en cada uno de los sumandos que están dentro del paréntesis. Esto como si pensáramos con peras y manzanas como dice el dicho. Pensemos que tenemos 5 manzanas y 4 peras en cada canasta y tenemos 3 canastas. Entonces cuando yo hago 5 + 4 estoy sumando peras y manzanas entonces el resultado son frutas, entonces aquí tengo 3 por 9 frutas me da 27 frutas, o puedo hacer 3 por 5 manzanas 15 manzanas, 3 por 4 peras 12 peras, 15 manzanas + 12 peras son 27 frutas. Esta es entonces la propiedad distributiva. El factor que está fuera del paréntesis se distribuye en cada uno de los sumandos que está adentro, x por y + z es lo mismo que x por y + x por z. Bueno entonces estas fueron las propiedades de los números reales, que justamente son las mismas propiedades que les vamos a estar aplicando a las expresiones algebraicas. Nos vemos el próximo video. [MÚSICA] [MÚSICA]
