Bienvenido nuevamente al curso de Álgebra básica. Continuamos con el tema de productos notables y factorización. Dedicaremos esta lección a la factorización. En las lecciones anteriores, efectuamos productos de polinomios que aparecen frecuentemente, estos son llamados productos notables. Ahora queremos considerar un polinomio y escribirlo como producto de dos o más factores. Este procedimiento se llama factorización. Factorizar es una palabra que ya hemos usado en el caso de números, cuando precisamente escribimos un número como producto de dos o más de ellos. La idea es la misma, pero ahora para el caso de polinomios. Vamos a ver un ejemplo. En este ejemplo queremos factorizar "r" cuadrada menos 81. Vamos a ver cómo se resuelve. Recordamos que en una de las lecciones anteriores, calculamos el producto "a" más "b" por "a" menos "b", obteniendo "a" cuadrada menos "b" cuadrada. Entonces vamos a escribir "r" cuadrada menos 81 como "r" cuadrada menos nueve al cuadrado, así lo tenemos de la forma "a" cuadrada menos "b" cuadrada. Tenemos que "r" cuadrada menos 81 es igual a "r" más nueve por "r" menos nueve. En este ejemplo, identificamos el polinomio con una de las formas que ya conocíamos. Eso mismo vamos a hacer en muchos casos, resulta muy útil recordar los productos notables que ya hemos realizado. Vamos a ver algunos ejemplos. Queremos factorizar "r" cuadrada más 12 "r" más 36. Nuevamente, vamos a tratar de asociar con uno de los productos notables que ya conocemos. Observamos que "r" cuadrada más 12 "r" más 36 se puede escribir como "r" cuadrada más dos por seis por "r" más seis al cuadrado. Y ahora vamos a recordar uno de nuestros productos notables, "a" cuadrada más dos "a b" más "b" cuadrada es el resultado de "a" más "b" elevado al cuadrado, y vemos que la forma que tiene la expresión que nos dieron es de este estilo. Entonces, lo que tenemos es que "r" cuadrada más 12 "r" más 36 es igual a "r" más seis elevado al cuadrado. Cuando un trinomio se puede factorizar, como en el caso del ejemplo que acabamos de ver en el que resulta ser el cuadrado de un binomio, decimos que es un trinomio cuadrado perfecto. Aquí tenemos otro ejemplo, queremos factorizar "z" cuadrada menos 14 "z" más 49. Vamos a hacer lo mismo que en el ejemplo anterior. Escribimos "z" cuadrada menos 14 "z" más 49. Observa que 49 es el cuadrado de siete y que la expresión "menos 14 z" es menos dos veces el producto de siete por "z". Si recordamos que "a" menos "b" elevado al cuadrado es igual a "a" cuadrada menos dos "a b" más "b" cuadrada, vemos que el trinomio que nos dieron tiene esta forma, es decir, esto es igual a "z" cuadrada menos dos por siete por "z" más siete al cuadrado, es decir, es igual a "z" menos siete al cuadrado. Aquí tenemos un ejemplo más. Queremos factorizar 64 "x" cuadrada más 16 "x" más uno. 64 "x" cuadrada más 16 "x" más uno se puede escribir como ocho "x" elevado al cuadrado más 16 "x" más uno. Y ahora observamos que esto es igual a ocho "x" elevado al cuadrado más dos que multiplica a ocho "x" más uno. Escribir de esta manera el 16 "x" nos lo sugiere justamente el que el 64 "x" al cuadrado lo hemos escrito como ocho "x" elevado al cuadrado y ahora observamos que este tiene la forma del cuadrado de un binomio. Esto es igual a ocho "x" más uno elevado al cuadrado. Aquí hay otro ejemplo. Tenemos que factorizar 25 "y" cuadrada menos 30 "y z" más nueve "z" cuadrada. Escribimos el trinomio 25 "y" cuadrada menos 30 "y z" más nueve "z" al cuadrado y lo primero que hacemos es escribir 25 "y" al cuadrado como cinco "y", todo al cuadrado, dejamos igual el "menos 30 y z" y vemos que nueve "z" cuadrada se puede escribir como tres "z" elevado al cuadrado. Y el cinco "y" y el tres "z" que aparecen en la expresión nos sugieren hacer lo siguiente: escribimos cinco "y" elevado al cuadrado, lo dejamos igual y escribimos el "menos 30 y z" como "menos dos" que multiplica a cinco "y" por tres "z" y dejamos igual tres "z" elevado al cuadrado, de tal manera que por la forma que tiene, sabemos que eso es cinco "y" menos tres "z", todo elevado al cuadrado. Vamos a hacer todavía otro ejemplo. Ahora tenemos 81 "u" cuadrada menos nueve. 81 "u" al cuadrado menos nueve se escribe como nueve "u" elevado al cuadrado menos tres elevado al cuadrado, de manera que inmediatamente vemos que lo que tenemos es una diferencia de cuadrados. Esto es , por lo que sabemos de los productos notables, igual a nueve "u" menos tres por nueve "u" más tres. Vamos ahora a pensar en la factorización de polinomios que tienen la forma "x" cuadrada más "b x" más "c". Vamos a iniciar con un ejemplo, queremos factorizar "a" cuadrada más 16 "a" más 63. Vamos a ver cómo hacerlo. Escribimos "a" cuadrada más 16 "a" más 63 como "a" cuadrada más siete más nueve que multiplica a "a", más siete por nueve. Observa que siete más nueve es, justamente, 16 y siete por nueve es 63. Recordando otro de nuestros productos notables que dice "a" más "b" por "a" más "c" es igual a "a" cuadrada más "a" que multiplica a "b" más "c", más "a" por "c", podemos observar que el trinomio que nos dieron tiene precisamente esta forma, es decir, "a" cuadrada más 16 "a" más 63 es igual a "a" más siete por "a" más nueve. En general, cuando queremos factorizar un trinomio de la forma "x" cuadrada más "b x" más "c", hacemos lo que nos sugiere el ejemplo que acabamos de ver. Debemos encontrar dos números que, sumados, sean igual al coeficiente del término de primer grado y cuyo producto sea igual al término independiente. Observa el ejemplo e identifica cómo lo hicimos. Vamos a ver un ejemplo. Queremos factorizar "x" cuadrada menos tres "x" menos 28. Vamos a utilizar el procedimiento anterior. Si queremos factorizar "x" cuadrada menos tres "x" menos 28, sabemos que debemos encontrar dos números, "a" y "b", de tal manera que "a" por "b" sea igual a menos 28 y "a" más "b" sea igual a menos tres. Puesto que el término independiente es negativo, si el producto de "a" por "b" debe ser menos 28, alguno de los dos tendrá que ser negativo. Hay dos números tales que su producto es menos 28. Ellos son siete y menos cuatro, o bien, menos siete y cuatro. Y ahora, puesto que "a" más "b" tiene que ser igual a menos tres, observamos que tenemos que desechar la primera opción, es decir, nos quedaremos con menos siete y cuatro. Así, "x" cuadrada menos tres "x" menos 28 se escribe como "x" menos siete por "x" más cuatro. Efectúa el producto y verifica que lo que acabamos de encontrar es correcto. Ahora piensa en la siguiente situación: supongamos que el coeficiente del término de grado dos no es uno, pero es un factor de todos los términos restantes. Entonces es conveniente, primero, factorizar dicho coeficiente para después proceder como en el caso anterior. Por ejemplo, queremos factorizar siete "x" cuadrada más 14 "x" menos 105. Observamos que siete es factor de todos los términos del polinomio. Lo que nos conviene es factorizar primero ese siete y después proceder. Así tenemos que siete "x" cuadrada más 14 "x" menos 105 es igual a siete que multiplica a "x" cuadrada más dos "x" menos 15 y ahora podemos factorizar "x" cuadrada más dos "x" menos 15. Observa que "x" cuadrada más dos "x" menos 15 se puede escribir como "x" más cinco por "x" menos tres, porque cinco y menos tres son dos números que, multiplicados, dan menos 15 y, sumados, dan dos. Siete "x" cuadrada más 14 "x" menos 105 es igual a siete que multiplica "x" más cinco por "x" menos tres.