[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido nuevamente al al curso de álgebra básica. Continuamos con el tema de polinomios, las lecciones que siguen trataran sobre el grado de un polinomio, y la suma y resta de polinomios. Supongamos que queremos encontrar el grado de un monomio, en este caso debemos calcular el grado del monomio a a la 9. Observamos que solamente hay una variable, de tal manera que en este caso el grado es el exponente al que dicha variable esta elevada, es decir el grado del monomio es 9. Puede ser que en un monomio haya más de una variable, en ese caso vamos a calcular el grado de cada una de ellas, y sumamos. Por ejemplo, tengo el monomio b a la cuarta, c a la sexta, d a la quinta. Observo cada una de las variables, el grado de b es 4, el de c es 6, y el de d es 5. De tal manera que el grado del monomio es la suma de 4 + 6 + 5, es decir el grado del monomio es 15. Vamos a ver ahora qué es lo que hacemos en general. Nos fijamos en cuantas variables tiene el monomio y lo que vamos a hacer para determinar su grado es determinar el grado de cada una de las variables. Es decir para cada variable nos vamos a fijar en el exponente al que está elevada, y despues vamos a sumar. El grado de una constante, es decir de un coeficiente es 0. Entonces el grado del monomio es simplemente sumar los grados de las variables que en el aparecen. Vamos a ver un ejemplo, tengo el monomio menos 42 c a la cuarta, d a la quinta, m a la 18, n a la 7. El grado de menos 42 es 0, el grado es c es 4, el de d 5, el de m es 18 y el de n es 7. Entonces el grado del monomio es la suma de estos numeros, 4 + 5 + 18 + 7, que es 34. Vamos a pensar ahora en los polinomios, si queremos determinar el grado de un polinomio lo que vamos a hacer es calcular el grado de cada uno de sus términos, y el mayor de ellos será el grado del polinomio. Vamos a ver un ejemplo, quiero encontrar el grado del polinomio 91 x al cuadrado, y al cubo, z a la 7, menos 32 x quinta, y a la 8, z cuadrada, + 7 octavos de x a la sexta y al cubo z al cuadrado. Voy a calcular el grado de cada uno de los términos, vamos a hacer la operación, voy a pensar en el primer término, y voy a pensar en los grados de las variables. El grado de x es 2, + 3 que es el grado de y, + 7 que es el grado de z, y esto es igual a 12. Calculamos el grado del segundo término, que será 5 + 8 + 2, el resultado de esta suma es 15. Y por último para el tercer término tengo 6 + 3 + 2, que es igual a 11. Tengo entonces que el segundo término es el que tiene mayor grado, por tanto el grado del polinomio es 15. Vamos a borrar esta parte, y vamos a continuar. Cuando un polinomio tiene únicamente una variable, en ocasiones por comodidad lo escribimos de manera ascendente o descendente, es decir nos fijamos en los términos de manera que sus exponentes estén ordenados de menor a mayor, o de mayor a menor. Vamos a ver un ejemplo, en este ejemplo tengo el polinomio a a la 7 menos, 4a a la sexta, + 62a a la quinta menos un tercio, de a a la cuarta, menos 23a al cubo, menos 11. Observamos los exponentes, tenemos a a la 7 a a la sexta, a la quinta, a la cuarta, a al cubo. Observa que aquí no aparecieron a cuadrada, ni a, pero no importa, los que aparecen están ordenados de mayor a menor. Entonces el polinomio está en orden descendente. Si lo quisiera escribir en orden ascendente, simplemente empiezo al revés, lo leo derecha a izquierda, y entonces ya lo tengo. Puede ser que haya en un polinomio varias variables, entonces podemos escribirlo en orden ascendente o descendente, con respecto a cualquiera de ellas. Aquí tenemos un ejemplo, en este caso tenemos el polinomio r a la cuarta s a la quinta + 27r a la sexta s al cubo, menos 2r a la 8, s a la 6, + 22r a la 9 s al cuadrado, menos 4r a la 12 s + 18r a la 16. Observa los exponentes de r, tengo 4, 6, 8, 9, 12, 16. Es decir está escrito en forma ascendente con respecto a la variable r. Podríamos ordenarlo en orden ascendente, o descendente con respecto a la variable s, o en orden descendente, que fue lo que no hicimos, con respecto a la variable r. Vamos a ordenarlo con respecto a la variable s, en orden ascendente. Escribamos primero el polinomio como lo teníamos. Ahora observamos los exponentes de s. Hay s, s al cuadrado, s al cubo, s a la quinta y s a la sexta. Escribimos primero el término que no tiene s, y después los demás. Entonces tenemos 18r a la 16, menos 4r a la 12 s, + 22r a la 9 s al cuadrado, + 27r a la sexta s al cubo, + r cuarta s quinta, menos 2r octava s a la sexta. Y verificamos que los exponentes de s quedaron en orden ascendente. Vamos a ver algunos ejemplos más, queremos encontrar el grado del monomio 38r a la 19 s a la 10 t a la cuarta u. Solo tenemos que sumar 19 + 10 + 4 + 1, que son los exponentes de las variables. El resultado es 34, es decir el grado del monomio es 34. Aquí hay un ejemplo más, queremos encontrar el grado del polinomio 2u al cuadrado v al cubo w a la 13, menos 18u a la 43 v a la 6 w a la 21, menos 71 por u al cuadrado w a la 4, menos 19. Podemos hacerlo de manera económica, basta con que observemos que los exponentes en el segundo término son mucho más grandes que en los demás, entonces el grado del término segundo es el que va a ser el más grande de todos. Vamos a hacer el cálculo para saber cuál es el grado de este polinomio. Entonces vamos a sumar 43 + 6 + 21 y ese será el grado de nuestro polinomio. Si hacemos esa suma El resultado es 70, es decir, en este caso, el grado del polinomio es 70. Ahora queremos simplificar y encontrar el grado de esta expresión. Es un cociente, y lo que nosotros estábamos haciendo, era encontrar el grado de polinomios. En este caso, tenemos un cociente, por ello lo primero que tenemos que hacer es simplificar. Vamos a escribir el cociente. Observamos que 28 y 35 sí tienen factores comunes. 28 lo podemos escribir como 7 por 4 y 35 se puede escribir como 7 por 5. Es decir, tienen un factor 7 en común. Vamos a ver ahora qué pasa con las variables. Tenemos t en el numerador y en el denominador. En el numerador aparece a la 23 y en el denominador a la 12. Y solo aparece elevado a la quinta en el numerador, en el denominador no hay y. Y z aparece en el numerador y en el denominador. En el numerador, elevado a la 21 y en el denominador a la 6. Entonces, escribimos el cociente de los números que ya teníamos multiplicado por t a la 23 menos 12 y a la quinta, z a la 21 menos 6. Cancelamos el factor 7 y entonces tenemos que el resultado será 4 quintos de t a la 11 por y a la quinta por z a la 15. [AUDIO EN BLANCO] Volvamos a la expresión original, y escribamos lo que obtuvimos, 4 quintos de t a la 11 y a la quinta, z a la 15. Entonces el grado es la suma de los exponentes, es decir, 11 + 5 + 15. Esta suma es 31. Es decir, el grado del cociente es 31. Vamos a ver un último ejemplo. Debemos escribir en orden ascendente el polinomio t a la 34 + 21 t a la 12 menos 45 t al cubo menos t a la sexta + 29 t a la 15 + 3 t a la 7 menos 27 t cuadrada + 12 t a la cuarta menos 234. Lo primero que hacemos es observar cuáles son los exponentes a los que está elevada la variable en el polinomio. Observamos que t aparece elevada al cuadrado, al cubo, a la cuarta, a la quinta, a la 7, a la 12. a la 15 y a la 34. Vamos a escribir en orden ascendente. Entonces tenemos menos 234. Que es el término independiente, menos 25 t al cuadrado, menos 45 t al cubo + 12 t a la cuarta, menos t a la sexta + 3 t a la 7, + 21 t a la 12 + 29 t a la 15, + t a la 34. [MÚSICA] [MÚSICA]
