[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido nuevamente al curso de álgebra básica. Continuamos con el tema de polinomios, en esta ocasión la lección tratará sobre producto de polinomios. Supongamos que queremos calcular el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y a + 3. Sabemos calcular el área de triángulos, la fórmula dice base por altura entre 2. Observa la figura, en esta figura tenemos un triángulo rectángulo al que hemos puesto como nombres de los lados las medidas que tenemos. Entonces el área se calcula como a por a + 3 entre 2 y lo que queremos es escribir esa expresión de manera simplificada. Pero observa que si nos fijamos en el rectángulo que tiene lados a y a + 3 resulta que el área del triángulo es justamente la mitad que la del rectángulo. Pero si queremos calcular el área del rectángulo, observa en esta figura que hemos dividido el rectángulo en 2 partes, uno es un cuadrado que tiene lado a y el otro el que aparece en azul es un rectángulo que tiene lados a y 3 respectivamente. El área del cuadrado es a al cuadrado porque el área del cuadrado es lado por lado y el lado mide a, y la del rectángulo que es base por altura es justamente 3a. Entonces si queremos calcular el área del rectángulo con lados a y a + 3 tenemos que eso es la suma de las 2 áreas que calculamos, es decir a cuadrada + 3a. Por otra parte sabemos que el área del rectángulo es base por altura, entonces esa área debe ser a por a + 3. Si igualamos tenemos que a por a + 3 es igual a a cuadrada + 3a. Observa que lo que hemos hecho es calcular el producto de un monomio por un binomio que antes no sabíamos hacer. El área del triángulo es entonces a cuadrada + 3a todo sobre 2. Vamos a ver cómo se hacer en general, si queremos multiplicar un monomio por un polinomio lo que tenemos que hacer es multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio y sumar. Vamos a ver algunos ejemplos. El primero dice efectúa el producto 23x que multiplica al polinomio 5x al cubo menos 12x cuadrada + 8x menos 6. Vamos a hacerlo. Escribimos el producto que queremos simplificar, 23x que multiplica a 5x cúbica menos 12x cuadrada + 8x menos 6. Y lo que hacemos es multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio y sumamos obteniendo 23x por 5x cúbica + 23x por menos 12x cuadrada + 23x por 8x + 23x por menos 6. Ahora tenemos que simplificar, tenemos que efectuar los productos recordando la ley de los exponentes para los productos de potencias, recuerda que en ese caso los exponentes se suman. Entonces obtenemos 115 x a la cuarta menos 276x cúbica + 184x cuadrada menos 138x. Lo único que hicimos fue simplificar efectuando también los productos numéricos, recuerda que hay que tener cuidado con los signos. Vamos a ver otro ejemplo. Este dice efectúa el producto 6x cúbica z que multiplica a 15x cuadrada z cuadrada + 9x quinta z menos 4xz + 8. Se hace exactamente igual, ahora observa que el monomio que va a multiplicar al polinomio tiene 2 variables. Realmente no tenemos que fijarnos en ello, sino en la simplificación cuando tendremos que pensar en las variables que aparecen y simplificar los productos de potencias. Ahora vamos a hacer el producto, recuerda que debemos multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio y sumar, esto es igual a 6 cúbica z por 15x cuadrada z cuadrada + 6x cúbica z por 9x quinta z + 6x cúbica z por menos 14xz + 6x cúbica z por 8. Vamos a hacer los productos utilizando la ley de los exponentes y multiplicando los coeficientes, obtenemos 90 x quinta z cúbica + 54 x octava z cuadrada + menos 84 x a la cuarta z cuadrada + 48 x cúbica z. Vamos a ver ahora cómo hacer para multiplicar polinomios. En realidad la manera de hacerlo está basada en la propiedad distributiva que tienen los números reales que dice que si a, b y c son números reales entonces a que multiplica a b + c es igual a a por b + a por c. Esto es exactamente lo que hicimos en el caso del producto de un monomio por un polinomio, pero ahora lo queremos extender para el caso en el que tenemos 2 polinomios, vamos a ver cómo. Lo que tenemos es considerar la suma del primer polinomio multiplicado por cada uno de los términos del segundo, con eso obtenemos un suma en la que cada uno de los sumandos es un producto de un monomio por un polinomio y efectuamos los productos como lo hicimos antes. Por ejemplo vamos a desarrollar este producto de 2 binomios. Lo primero que tenemos que hacer es pensar en que el primero de los binomios se comporta como un monomio cuando hacemos el producto, entonces tenemos que esto es igual a 2y cuadrada menos 3x que multiplica al primer término del segundo binomio, es decir por 4a + 2y cuadrada menos 3x que multiplica al segundo término del binomio, es decir menos 5 b al cuadrado. Y ahora lo que tenemos es una suma donde ambos sumandos son el producto de un monomio por un binomio, entonces procedemos como antes y esto será igual a 2y al cuadrado por 4a + menos 3x por 4a y el segundo sumando será 2y cuadrada por menos 5b al cuadrado +menos 3x por menos 5b al cuadrado. Y ahora lo único que tenemos que hacer es efectuar los productos. Recuerda que lo que hacemos es escribir en orden alfabético las variables, voy a ir haciendo los productos también de los coeficientes y tengo que cuidar los signos. Entonces tenemos 8a y al cuadrado menos 12 ax menos 10 b cuadrada y cuadrada + 15b cuadrada X. Observa que lo único que hicimos, fué efectuar los productos. Aquí ni siquiera hemos ordenado los términos, pero el resultado ya puede quedar así. Vamos a ver otro ejemplo, donde ahora lo que hagamos sea efectuar el producto de un binomio por un trinomio. Tenemos que efectuar el producto del binomio 19a cúbica menos 6b sexta, por el trinomio 3 as cuarta + 9 abz + 11b z quinta. Vamos a hacer las operaciones. Vamos a hacer primero, el producto del binomio por cada uno de los términos del trinomio y sumamos. Esto es igual a 19 a cúbica menos 6 b sexta que multiplica a 3 as a la cuarta, + 19 a cúbica menos 6 b sexta que multiplica a 9 abz + 19 a cúbica menos 6b sexta que multiplica a 11 bz quinta. Y ahora tenemos que efectuar el producto de cada uno de los monomios por el binomio correspondiente, esto es, 19 a cúbica que multiplica a 3 as a la cuarta + menos 6 b sexta que multiplica a 3 as a la cuarta, + 19 a cúbica que multiplica a 9 abz + menos 6 b sexta, que multiplica a 9 abz y todavía debemos continuar. Entonces, ponemos + y continuamos en el renglón de abajo poniendo un signo + y ahora, el producto del monomio que nos falta por el binomio correspondiente. Es decir, 19 a cúbica que multiplica a 11bz quinta + menos 6 b sexta que multilplica a 11 bz quinta. Ahora si ya está todo y lo que tenemos que hacer es efectuar todos estos productos. Utilizamos, la ley de los exponentes para productos de potencias y efectuamos los productos de los coeficientes. Recuerda que hay que tener cuidado con los signos. Obtenemos, 57 a la cuarta s a la cuarta menos 18 a b sexta s cuarta + 171 a la cuarta bz menos 54 a b a la siete z + 209 a cúbica bz quinta menos 66 b a la 7 z a la quinta. Si todavía te cuesta trabajo efectuar los productos rápidamente, no te preocupes, con un poco de práctica, uno puede hacerlo más rápidamente. Al principio lo que es más importante es no equivocarse. Como ves, este ejemplo, parece un ejemplo muy sencillo y de hecho lo es, pero cuando hacemos las operaciones resultan largos y es fácil equivocarse. Hay que tener cuidado y para lograr tener práctica, lo que hay que hacer es muchos ejercicios. Aquí tenemos más ejercicios que tú puedes resolver. En realidad, si quisiéramos resolverlos nos llevaría mucho tiempo, por ello preferimos dejarlos aquí. Este como ves, es el producto de un binomio al cuadrado multiplicado por un trinomio lo que hay que hacer, es desarrollar primero el binomio y posteriormente efectuar el producto, lo cual será al final, el producto de un trinomio por un trinomio. Y aquí hay todavía un último ejercicio, en este caso dice, hay que efectuar este producto y lo que puedes ver, es nuevamente el producto de dos trinomios. Por último, aquí tenemos un ejercicio más, donde se nos pide resolver una ecuación, la única variable es y. De tal manera que lo primero que tenemos que hacer, es efectuar los productos, para después resolver. Vamos a hacer el producto del lado izquierdo, obtenemos y menos 5 por y + y menos 5 por 8, y esto debe ser igual a 7 menos y por menos 3 + 7 menos y por menos y. Y ahora vamos a efectuar los productos, ya no los voy a escribir con tanto detalle, simplemente los hacemos. Tenemos y cuadrada menos 5y + 8y menos 40 es igual a menos 21 + 3y menos 7y + y al cuadrado. Lo primero que observamos es que aparece y cuadrada de ambos lados, entonces, cancelamos y vamos a simplificar lo que quedó. Si sumamos menos 5y + 8y, tenemos 3y y ponemos el menos 40 que teníamos, y eso es igual a menos 21 menos 4y que es lo que se obtiene de simplificar 3y menos 7y. Y ahora, lo que hacemos es agrupar en el miembro izquierdo las y y los términos independientes del lado derecho. Y entonces tenemos 3y + 4y igual a menos 21 + 40, es decir 7 y es igual a 40 menos 21, que es 19. De donde y es igual a 19 séptimos. [MÚSICA] [MÚSICA]