[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido nuevamente. Continuamos con el tema de producto de potencias. Ahora vamos a resolver algunos problemas. El primero dice, la tasa de interés ofrecida por una casa de ahorros es del 2.5% anual. Si se desea hacer una inversión de tal manera que al término de 10 años el capital sea de 100,000 pesos, ¿cuánto debe invertirse? Vamos a resolver. Vamos a pensar en qué es lo que queremos. La pregunta es, ¿cuál debe ser la cantidad que debemos invertir para que con la tasa de interés ofrecida al final se obtengan 100,000 pesos? No sabemos cuál es la cantidad. Vamos a llamar x a esta cantidad, puesto que nos van a dar de interés el 2.5% anual. Si yo multiplico esta cantidad por 0.025 lo que voy a obtener es la cantidad que me van a dar de réditos al término del primer año. Si tengo en cuenta que al final del primer año debo tener el capital inicial más el rédito que me van a pagar, entonces debo tener x + x por 0.025 que puedo escribir como x que multiplica a 1 + 0.025 o lo que es lo mismo x que multiplica a 1.025. Esta es entonces la cantidad que vamos a tener al final del primer año. Pero si yo invierto esta cantidad x por 1.025 un año más a la misma tasa de interés, lo que me van a dar al final de ese segundo año será este capital más los intereses, lo cual obtengo multiplicando nuevamente por 1.025 que sabemos que es lo mismo que x que multiplica a 1.025 elevado al cuadrado. Este será el capital 2 años después. Pero decíamos que queremos invertir durante 10 años. Entonces tenemos x multiplicado por 1.025 a la 10, que es lo que obtenemos si vamos haciéndolo como hicimos el paso del primer año al segundo, hasta llegar al décimo. De manera que éste va a ser el capital que tengamos al término de 10 años. Pero queremos que esto sea igual a 100,000 pesos. De tal manera que para saber cuál debe ser la cantidad que debe invertirse para que esto suceda, lo que tenemos que hacer es despejar x de esta ecuación, obteniendo que x es igual a 100,000 entre 1.025 elevado a la 10. Si hacemos las operaciones con una calculadora, con una hoja de cálculo, o a mano, lo que obtenemos es que esto es aproximadamente 78,119.85, es decir, la cantidad que debemos invertir. A una tasa anual del 2.5% durante 10 años para obtener al final 100,000 pesos, es 78,119 pesos con 85 centavos. Aquí tenemos un ejemplo más. En este dice, si se invierten 10,000 a una tasa de interés compuesto anual de 1.8% durante un periodo de 6 años, ¿cuál será el monto total al final del periodo? Vamos a resolverlo. Este problema es más sencillo que el anterior, porque en el primero teníamos un problema de dos pasos, sabíamos cuál era la tasa de interés, cuál el periodo al que íbamos a invertir, y cuál era la cantidad final que debíamos tener. De manera que tuvimos que suponer que teníamos una cantidad x al inicio, y una vez que hicimos todas las operaciones, despejamos x para saber cuál debía ser esa cantidad. En este caso el problema es directo. Sabemos que tenemos 10,000 pesos y que vamos a invertir a una tasa del 1.8% anual durante 6 años. El interés es interés compuesto. De tal manera que los 10,000 pesos que tenemos los vamos a multiplicar por 1.018 y con ello obtendremos el monto final al término del primer año. Ahora vamos a elevar este a la 6, y con ello tenemos la cantidad final después de 6 años a esa tasa de interés. De tal suerte, que solamente falta hacer las operaciones correspondientes, las cuales podemos hacer utilizando una calculadora o una hoja electrónica de cálculo, obteniendo aproximadamente 11,129.79. Esto quiere decir que si se invierten 10,000 pesos a una tasa de interés anual del 1.8% durante 6 años, al final se tendrá aproximadamente 11,129 pesos con 79 centavos. Aquí hay un problema más. La pregunta es, ¿qué conviene más, invertir 10,000 pesos durante un periodo de 6 años a una tasa de interés compuesto anual del 2.4%, o a una tasa de interés compuesto mensual del 0.2%? Observa que si pensamos en que cada año tiene 12 meses, y el interés mensual es del 0.2%, al multiplicar esta cantidad por 12 lo que obtenemos es 2.4, por lo cual podría pensarse que da lo mismo hacerlo en cualquier modalidad. Vamos a resolver. Consideramos entonces los 10,000 pesos que tenemos y vamos a suponer que los invertimos durante 6 años a una tasa del 2.4% anual, entonces al final de los 6 años tendremos 10,000 por 1.024 a la 6, que es aproximadamente 11,529.21. Esa es la cantidad que tendremos de esta manera. Vamos a pensar ahora que lo hacemos en la otra modalidad. En ese caso, tenemos los mismos 10,000 pesos, y si invertimos durante un año al 1.2% mensual, tendremos que multiplicar por 1.002 a la 12, porque tenemos 12 meses y esa es la tasa de interés; de tal manera que eso será lo que obtendremos un año después. Pero si seguimos invirtiendo por ejemplo en el segundo año tendríamos esa cantidad multiplicada otra vez por 1.002 a la 12, esto es al segundo año; y tenemos que continuar hasta hacerlo durante 6 años. Entonces, tenemos que multiplicar por la misma cantidad, de manera que lo tenemos es 6 veces el producto de 1.002 a la 12. Utilizando nuestra ley de los exponentes, observamos que tenemos 1.002 a la 12 + 12 + 12, etcétera, 6 veces; es decir esto será igual a 10,000 multiplicado por 1.002 a la 72. Si hacemos la operación, obtenemos que esto es aproximadamente 11,547.18 que es ligeramente mayor que el anterior. Esto quiere decir que conviene más invertir con la segunda modalidad, es decir, es mejor invertir a una tasa del 0.2% mensual, que invertir durante los mismos 6 años a una tasa del 2.4% anual. [MÚSICA] [MÚSICA]
