[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido nuevamente, en la lección anterior aprendimos a encontrar el grado de un polinomio y escribimos polinomios en orden ascendente o descendente. Antes de iniciar la lección correspondiente a suma y resta de polinomios, haremos un paréntesis para hablar de una de las aplicaciones más importantes del álgebra de la vida diaria, me refiero a la regla de tres inversa, que complementa a lo visto en una de las lecciones anteriores en la que se estudió la regla de tres directa. Te preguntarás que tiene que ver con el tema de polinomios, espero que al terminar tu pregunta tenga una respuesta.Vamos a empezar resolviendo un ejemplo. Tres albañiles tardan 15 horas en construir una barda. ¿Cuánto tiempo tardarán 5 albañiles en construir una barda del mismo tamaño? Vamos a ver la solución. Observamos que si aumentamos el número de albañiles, entonces el trabajo será realizado en un tiempo menor. Decimos entonces, que las cantidades son inversamente proporcionales. Tres albañiles tardan 15 horas, esto lo representamos como 3 albañiles por 15 horas y lo que queremos saber es 5 albañiles, ¿Cuántas horas utilizarán? Por lo que escribimos igual a 5 albañiles por h horas. Si solamente escribimos ya los símbolos, tenemos 3 por 15 igual a 5 por h. De donde si despejamos h, tenemos h igual a 3 por 15 entre 5 que es igual a 9, es decir, 5 albañiles tardarán 9 horas en construir la misma barda. Vamos a ver qué sucede en general. Decimos que 2 variables que x y y son inversamente proporcionales, si y es la k entre x, donde k es un número positivo, es una constante. Esto equivale a decir, x y igual a k. En esta que es la llamada regla de tres inversa, siempre tenemos 2 cantidades que son inversamente proporcionales, es decir, se cumple una igualdad como la anterior. Observa que si tenemos 2 cantidades inversamente proporcionales, la expresión x y igual a k tiene 2 variables es decir, tenemos un polinomio de grado 2 en 2 variables por ello es que incluimos en este lugar estos ejemplos. Vamos a resolver un ejemplo más, en una granja porcina hay 425 puercos, que se comen 5 costales de alimento en 16 días. Si el dueño vende 75 puercos, ¿para cuántos días le alcanzarán ahora los 5 costales de alimento? Observa que los 5 costales van a ser lo mismo con los 425 puercos o con 75 menos, vamos a resolver. Observamos, que si disminuye el número de puerco puesto que tenemos la misma cantidad de comida, el número de días que durará el alimento aumenta, entonces lo que tenemos son 2 cantidades inversamente proporcionales. Vamos a ver una manera de resolver el problema. Como había 425 puercos y se vendieron 75, la cantidad de puercos que quedan son 350. Vamos a hacer una tabla, escribimos en 2 columnas en la primera el número de puercos y en la segunda el tiempo que estamos pensando que dura el alimento en días. Entonces tenemos, 425 puercos y 16 días en el primer renglón y 350 puercos y d días, que es la cantidad que no conocemos en el segundo. Ahora lo que vamos a hacer es invertir los renglones de la primera columna, porque son cantidades inversamente proporcionales y planteamos la proporción 350 entre 425 igual a 16 entre d. Lo que queremos ahora es despejar d. Si despejamos d, tenemos d igual a 425 por 16 entre 350. Si simplificamos esto es 136 entre 7 que es aproximadamente 19.4. De tal manera, que los 5 costales de alimento alcanzan para 19 días. Si queremos distinguir entre cuándo dado una situación tenemos una regla de tres directa y una inversa, observamos qué es lo que le pasa a una de las variables cuando cambia la otra. Es decir, qué sucede a una si crece la otra o qué sucede a una cuando la otra decrece. Si las 2 crecen o las 2 decrecen, estamos en un problema de regla de tres directa. Cuando una crece y la otra decrece, el problema es un problema de regla de tres inversa. Una vez que detectamos cuál es el tipo que tenemos, pues lo único que hacemos es recordar que en el caso de regla de tres directa, establecemos las proporciones y resolvemos. En cambio si es inversa, en una de las columnas de la tabla que escribimos, intercambiamos los renglones, recuerda solo en una de las columnas. Después establecemos las proporciones y resolvemos. Ahora sí, puedes buscar problemas que tengan que ver con regla de tres, decidir si es directa o si es inversa y resolver. Vamos nosotros a volver a nuestra lección, ahora queremos hablar de la suma y resta de polinomios. La suma de 2 polinomios es el polinomio que se obtiene cuando escribimos ambos polinomios ordenados, agrupamos los términos semejantes y sumamos. Aquí tenemos un ejemplo. Queremos sumar los siguientes 2 polinomios. El primero es 4 z a la cuarta + 5 z cúbica menos 3 z cuadrada + 4 z menos 29. El segundo es menos 6 z cuarta + z cuadrada menos 15z + 18. Vamos a escribir para efectuar la suma. Tenemos 4z cuarta + 5z cúbica + 4z menos 29. A este polinomio le debemos sumar, menos 6 z cuarta + z cuadrada menos 15 z + 18. Observa que ya están ordenados. De tal manera que solo tenemos que agrupar y después simplificar. Obtenemos entonces 4z cuarta menos 6z cuarta + 5z cúbica + z cuadrada + 4z menos 15 z menos 29 + 18. Ahora simplificamos. Esto es, menos 2z cuarta + 5z cúbica + z cuadrada menos 11 z menos 11. Si queremos restar en vez de sumar, lo que vamos a hacer es considerar el minuendo. Y sumarle el polinomio que obtenemos cuando al sustraendo le cambiamos cada uno de los signos. Vamos a ver un ejemplo, queremos simplificar esta expresión, es la resta de dos polinomios. El primero es 6n a la sexta + 12n a la quinta menos 5n a la cuarta + 7n al cubo + 129 menos el polinomio 4n a la cuarta + 9n al cubo, menos n + 76. Observa que otra vez están ya ordenados en forma descendente. Entonces lo único que vamos a hacer es cambiar los signos al segundo, y sumar. Vamos a verlo. Escribimos 6n sexta + 12n quinta menos 5n cuarta + 7n cúbica + 129 menos, ahora ponemos el polinomio que vamos a restar, que es 4n a la cuarta + 9n al cubo menos n + 76. Esto es igual a 6n sexta + 12n quinta menos 5n cuarta + 7n cúbica + 129 menos 4n cuarta menos 9n cúbica + n menos 76. Ahora agrupamos obteniendo 6n sexta + 12 n quinta menos 5n cuarta menos 4n cuarta + 7n cúbica menos 9n cúbica + n + 129 menos 76. Ahora simplificamos, esto es 6n sexta + 12n quinta menos 9n a la cuarta menos 2n cúbica + n + 53. Ahora vamos a resolver algunos problemas relacionados con lo que hemos aprendido. Este problema dice, traduce al lenguaje algebraico y simplifica la expresión obtenida. El triple de la suma de 25 más 5a, menos 7 veces la diferencia de 11 menos el doble de c, más 120. En el problema nos dicen el triple de la suma de 25 + 5a. Eso lo escribimos como 3 que multiplica a 25 + 5a menos 7 veces la diferencia de 11 menos el doble de c. Entonces debemos multiplicar 7 por 11 menos 2 veces c + 120. Vamos primero a efectuar los productos, y después simplificamos. Entonces tenemos 3 por 25 + 3 por 5a menos 7 por 11 menos 7 por menos 2e + 120. Y esto es igual a 75 + 15a menos 77 + 14c + 120. Si agrupamos, obtenemos 15a + 14c + 75 menos 77 + 120. Para obtener finalmente 15a + 14c + 118. [AUDIO EN BLANCO] Vamos a ver otro ejemplo. Este es también un problema. Este dice, cuatro números enteros consecutivos satisfacen la siguiente igualdad, la diferencia del doble del cuarto menos el tercero es igual a la diferencia del triple del segundo menos el triple del cuarto. Encuentra dichos números. Vamos a tratar primero de escribir lo que dice el problema, y después veremos cómo se resuelve. En el problema nos hablan de 4 números consecutivos que desconocemos. Vamos a aprovechar que nos están dando como información que los números deben ser consecutivos. Entonces, si el primero se llama n, el segundo se llama n + 1, n + 2 será el tercero y n + 3 el cuarto. Ahora vamos a ver lo que dice el problema. Dice, la diferencia del doble del cuarto, el doble del cuarto es 2 por n + 3, menos el tercero, es decir menos n + 2. Y esto debe ser igual a una diferencia. Es la diferencia del triple del segundo, que es n + 1, menos el triple del cuarto, el cuarto es n + 3. Con eso tenemos escrita esta ecuación. No sabemos quién es n, pero lo que logramos fue que teniendo 4 números por encontrar, todo quedó escrito en términos del primero. Vamos a efectuar primero los productos y luego simplificamos. Tenemos 2n + 2 por 3 menos n menos 2 igual a 3n + 3 menos 3n menos 9. Esto es 2n + 6 menos n menos 2 igual, ahora observamos que podemos cancelar 3n con el menos 3n, y del lado derecho de una vez simplificamos, me queda 3 menos 9 que es igual a menos 6. Del lado izquierdo tenemos 2n menos n que es n y 6 menos 2, que es 4. Entonces tenemos n + 4 igual a menos 6. Resolvemos y tenemos n igual a menos 6 menos 4, es decir, n es igual a menos 10. Y ahora sabemos que los números son consecutivos, n es el primero. Entonces tenemos el primero es menos 10, su consecutivo es el segundo, es menos 9, menos 8 y menos 7. Tenemos entonces los 4 números que buscábamos, que son menos 10, menos 9, menos 8 y menos 7. [MÚSICA] [MÚSICA]