[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenidos nuevamente al curso de introducción al álgebra. En este video lo que vamos a ver es cómo aprovechar las propiedades de suma y producto de los números reales para simplificar expresiones algebraicas. En una expresión algebraica a cada uno de los sumandos le vamos a llamar término. Así, por ejemplo en esta expresión podemos identificar 1, 2, 3 y 4 términos. Los signos de más y de menos que aparecen separando paquetes de variables son los que rompen a la expresión en varios términos. Observen que este + como está encerrado entre paréntesis no rompe a toda esta expresión hasta que no hayamos hecho la multiplicación correspondiente. Entonces en este momento nada más tenemos 4 términos. Similarmente, en esta expresión tenemos este signo +, separa a la expresión en 2 términos pero estos signos + que están aquí en los denominadores no no rompen a la expresión en términos. Entonces solamente hay 2 términos. Bueno y cuando tenemos 2 términos en los cuales las variables están elevadas a las mismas potencias vamos a decir que esos dos términos son semejantes. Así, por ejemplo este término 3x cuadrada y, y este otro menos 6x cuadrada y tiene dos variables, x y y, x y y y aquí la x está elevada al cuadrado, de este lado también. La y está elevada a la 1 y en este lado también. Entonces aunque la parte numérica es diferente la parte literal es idéntica, así que los términos son semejantes. De la misma manera, aquí tenemos la parte literal es xy por z a la cuarta. xy por z a la cuarta, esta parte y esta parte. No importa que el 3 esté elevado aquí al cuadrado y de este lado esté elevado al cubo, finalmente es un número. 3 al cuadrado es 9 y 3 al cubo es 27. Entonces no importa que el 3 tenga exponentes distintos. Como la parte literal tiene las mismas variables elevadas a los mismos exponentes, entonces esos 2 términos son semejantes. En cambio, estos 2 términos no son semejantes. ¿Por qué? Porque del lado izquierdo la a está elevado a la potencia 1, del lado derecho está al cuadrado, la b está elevado de este lado al cuadrado y de este lado está elevado a la potencia 1. Entonces si la parte literal es diferente a la parte literal entonces los términos no son semejantes. Un ejemplo más. Aquí tenemos una variable elevado a la 1 y otra variable elevada al cuadrado, pero la variable que está elevada al cuadrado es diferente. De este lado es b y de este lado es c. Entonces no es lo mismo ab al cuadrado que ac al cuadrado. Así que los términos no son semejantes. Lo que queremos entonces con este concepto de términos semejantes es simplificar una expresión algebraica utilizando las propiedades distributivas y conmutativas de los números reales. Vamos a entender por una expresión algebraica simplificada aquella que ya no tenga términos semejantes. La idea es que como las expresiones algebraicas son expresiones en las que aparecen variables, números y operaciones aritméticas, si estas variables están representando números pues podemos aplicar todas las propiedades que conocemos para las operaciones de números reales a estas expresiones algebraicas. En particular la propiedad distributiva y la propiedad conmutativa. Vamos a ver entonces algunos ejemplos. Supongamos que queremos simplificar 2x + 3x. Bueno. Recuerden x está representando un número. Entonces 2x + 3x utilizando la propiedad distributiva es lo mismo que 2 + 3 por x. Normalmente cuando usamos la propiedad distributiva en este sentido decimos que estamos factorizando la x. La x se convierte en un factor de el número 2 + 3. Una vez que tenemos 2 + 3, pues ya hacemos la operación 5, nos queda 5x, ¿sí? Podemos pensar como si x son manzanas. Tengo 2 manzanas + 3 manzanas pues son 5 manzanas. Uno un poco más difícil. Tengo 6 por x cuadrada y + por 2x cuadrada y. Me fijo que x cuadrada y está igual aquí que aquí. Entonces estos 2 términos son semejantes. Entonces nuevamente puedo utilizar la propiedad distributiva y factorizar x cuadrada y, ¿sí?, x cuadrada y por 6 es 6x cuadrada y, y x cuadrada y por 2 es 2x cuadrada y. Lo que hicimos entonces de aquí para acá fue factorizar x cuadrada y. Y entonces ahora 6 + 2 son 8, entonces 6x cuadrada y + 2x cuadrada y pues son 8 x cuadrada y. ¿Está bien? Bueno, ¿y qué pasa con la resta? Pues recordemos que restar 2 números b y c no es más que sumarle a b el inverso aditivo de c, b + menos c. Entonces, si tengo un producto de a por una resta van a ver que efectivamente a por b menos c es lo mismo que a por b menos a por c. Simplemente pienso que b menos c es lo mismo que b + menos c y como la propiedad distributiva funciona con las sumas, a por b + menos c es lo mismo que a por b +, + a por menos c, a por b es a por b y a por menos c es menos ac. Es decir, la propiedad distributiva vale para la resta también. Y el mismo comentario de antes, pueden ser no nada más números, sino también pueden ser expresiones algebraicas. Así por ejemplo 8z menos 13z, la z que aparece en los dos la puedo factorizar. Es decir, estoy leyendo la propiedad en este sentido. 8z menos 13z es lo mismo que 8 menos 13 por z, y 8 menos 13 es menos 5, así que 8z menos 13z es lo mismo que menos 5z. Bueno, vamos a ver algunos ejemplos. Tengamos esta expresión, 7a + 6b menos 4a menos 9a. Entonces lo que me conviene es poner juntos todos los términos que vea que son semejantes. Aquí son semejantes este término, este término y este término. Entonces lo que me conviene es escribir 7a menos 4a menos 9a + 6b. Es decir, estuve usando la propiedad conmutativa para acomodar los números y ahora utilizo la propiedad distributiva y básicamente factorizo la a. Aunque la propiedad distributiva se enuncie con 2 términos, como lo puedo ir haciendo una y otra vez y otra vez esto es lo mismo que 7 menos 4 menos 9 todo por a + 6b y 7 menos 13 es menos 6 a + 6b. Y ya lo dejo así porque ahora sí estos 2 términos son términos que ya no son semejantes. Aquí hay 3 términos semejantes y aquí ya no hay términos semejantes, esa es la idea de la simplificación. Los coeficientes, es decir los números que anteceden a las letras pueden ser enteros o pueden ser fraccionarios o pueden ser decimales. Entonces vamos a ver este ejemplo en el que los coeficientes son decimales. Entonces identifico primero cuáles son los términos semejantes, son este que está con x cuadrada y y este otro con x cuadrada y. Este no porque este es xy cuadrada, entonces solamente estos 2 son términos semejantes. Entonces puedo factorizar la x cuadrada y o sea usar la propiedad distributiva de manera que esto me queda 4.2 + 5.1 por xy + 2xy cuadrada y ahora sumo estos 2, me quedan 9.3 aquí me faltó el cuadrado, x cuadrada y + 2xy cuadrado. Y esto ya lo dejo así porque esto ya está simplificado, este término y este término no son semejantes. Vamos a ver uno más, tenemos esta expresión que tiene aquí adentro un producto de menos 4 multiplicado por una expresión que tiene 3 términos. Entonces tenemos que empezar desarrollando este pedazo. Para ello utilizamos la propiedad distributiva para distribuir este menos 4 en cada uno de estos términos, nos queda así, 2x menos 4 por 3x es menos 12x menos 4 por 8y es menos 32y y menos 4 por 2 es menos 8, y los otros términos los escribimos tal cual. Menos 3y menos 10. Y ahora identificamos los términos semejantes. Nos fijamos en cuáles son los términos que tienen x que son este y este, entonces menos 2x menos 12x vamos a hacerlo ya directo sin pasar por la factorización, simplemente es 2x menos 12x es menos 10x, ahora quiénes tienen y, pues este y este. Menos 32y menos 3y son menos 35y y ahora finalmente menos 8 menos 10 pues son menos 18. Entonces esta expresión de arriba queda simplificada en estos 3 términos que ya está simplificado puesto que ya no hay términos semejantes. [MÚSICA]
