[МУЗЫКА] [НЕТ
ЗВУКА] С линейными функциями мы поступим так же, как с линейными пространствами.
Мы посмотрим на простейшие свойства линейных функций в самом простом случае,
а потом именно эти свойства назовем определением линейной функции и посмотрим,
что получится из этого определения.
Итак, какие же свойства линейной функции кажутся нам самыми основными?
Давайте посмотрим на очень простую функцию:
как объем куска мыла зависит от его массы?
Что будет, если мы будем...
как будет меняться объем куска мыла, если мы будем менять его массу?
Давайте увеличим массу куска мыла в некоторое количество раз, в λ раз.
Как увеличится объем?
Ну объем тоже увеличится в λ раз.
Итак, V(λm) = λV(m).
Что произойдет с объемом куска мыла, если мы склеим два куска мыла массами m₁ и m₂?
Мы считаем, что это такое обычное человеческое мыло,
которое не сжимается при склеивании.
Ну конечно, объемы тоже сложатся.
V(m₁ + m₂) = V(m₁) + V(m₂).
Именно эти два свойства и только они будут определяющими свойствами,
будут фактически определением линейной функции над любым линейным пространством.
Хочу обратить внимание, что по странной иронии функция y = ax + b вовсе не
всегда является линейной в этом смысле, а только в случае если b = 0,
но с этим мы разберемся позже.
Итак, определение линейной функции.
Мы будем называть функцию из линейного пространства L в
множество действительных чисел линейной, если и только если,
она удовлетворяет двум основополагающим свойствам.
Во-первых, при значении линейной функции на сумме векторов равно сумме
значений линейной функции на этих векторах, f(l₁ + l₂) = f(l₁) + f(l₂).
Во-вторых, как мы говорим, линейная функция уважает умножение
на число: f(λl) = λf(l) Функции,
обладающие этими свойствами, мы будем называть линейными.
В определении линейной функции, когда мы говорили про умножение на число,
мы говорили, что λ — действительное число.
И нам действительно это нужно,
когда мы говорим про линейное пространство над полем действительных чисел.
Когда мы будем говорить о линейном пространстве над полем комплексных чисел,
нам нужно,
чтоб то же самое свойство выполнялось для любого комплексного числа λ.
Ну мы, конечно, будем оговаривать это отдельно,
над каким полем мы рассматриваем линейное пространство.
Я хочу сказать, что определение линейной функции очень простое и мы рассмотрели
очень простой естественный пример, зависимость объема мыла от его массы.
Такое простое определение — оно...
его удобно использовать в сложных и формальных случаях.
Посмотрите, сейчас мы рассмотрим некоторое количество примеров линейных функций.
Одни будут простые и совершенно понятные,
другие будут казаться какими-то формальными нагромождениями.
Но именно удобство простого определения, как и было с линейным пространством,
состоит в том, что мы из простого определения легко получаем простые
свойства даже в каких-то заковыристых, сложных, непонятных ситуациях.
Итак, давайте посмотрим, какие бывают примеры линейных функций.
[МУЗЫКА] [НЕТ
ЗВУКА] [НЕТ ЗВУКА]