[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА] Когда мы определяли линейное пространство, мы говорили, что линейное пространство бывает над полем вещественных чисел, а бывает над полем комплексных чисел, и говорили, что вещественных чисел нам для линейной алгебры, честно говоря, недостаточно. Иногда, ну нашим нуждам, нуждам линейной алгебры вещественные числа не удовлетворяют, нам нужно что-то, что они не умеют, что они не знают, и поэтому мы вводим комплексные числа. Комплексные числа — это такая удивительная вещь, это что-то другое, это не вещественные числа. Определяются комплексные числа так: мы будем называть комплексным числом z, часто комплексные числа обозначаются буквой z или буквой w, число вида a + ib, где а и b — обычные вещественные числа, а i — мнимая единица. Мнимая единица — это такое число, невещественное число, комплексное число, i не является вещественным числом, это мнимая единица. Основное свойство мнимой единицы заключается вот в чем: i квадрат равно −1. Среди вещественных чисел нет такого числа, которое удовлетворяет этому свойству, не бывает такого числа, квадрат которого равен −1, а вот в комплексных числах мы вводим такое число, мы вводим число мнимая единица, мы вводим число, квадрат которого равен −1, а потом добавляем его к вещественным числам. Ну, мы не можем просто добавить одно число, мы же должны уметь складывать числа, умножать числа, и вот мы смотрим, какое множество получилось, если добавить мнимую единицу и все, что с ней связано, чтобы мы могли с этими числами работать. Как сложить два комплексных числа? Ну, складываются они просто, если мы возьмем a + ib и добавим к этому комплексному числу c + id, то мы получим комплексное число (a + c) + i*(b + d). Как умножать комплексные числа? Давайте просто умножим по правилам обычного умножения, раскроем скобки и воспользуемся тем, что i квадрат равен −1. Когда мы действительно раскроем скобки и посмотрим, что получилось, какое получится число? Во-первых, оно будет состоять из вещественной части ac − bd. −bd взялось от того, что мы учли, что i квадрат равно −1. Плюс ad + bc, и это все умножить на i. Такое получилось комплексное число. a называется вещественной частью комплексного числа, b называется мнимой частью комплексного числа. С одной стороны, вещественные числа являются подмножеством множества комплексных чисел, ну просто все те числа комплексные, где b равно 0, где мнимая часть равна 0 — это вещественные числа. С другой стороны, комплексные числа существенно отличаются от вещественных чисел. Например, мы, вообще говоря, не можем сравнить два комплексных числа. Если мы возьмем два комплексных числа, мы не можем сказать, какое из них больше. Как про числа на плоскости, как про точки на плоскости: мы не можем сказать, какая из точек больше. Можно найти разные способы сравнивать, один способ будет лучше другого тем, другой способ будет лучше первого этим, нет никакого самого лучшего способа сравнить точки на плоскости. Точно так же нет никакого самого лучшего способа сказать, какое из комплексных чисел больше, а какое меньше. Поэтому комплексные числа бессмысленно располагать на прямой. Если мы не можем сравнить два числа, нелепо рисовать такую модель множества комплексных чисел, где больше и меньше задается моделью, где какие-то числа лежат правее других, какие-то — левее других, на прямой всегда числа сравнимы. Комплексные числа мы обычно рисуем на плоскости. Кстати говоря, эта комплексная плоскость, вот, множества комплексных чисел, они рисуются так, математики комплексную плоскость называют комплексной прямой. Математикам так удобнее, но мы так делать не будем. Как происходит сложение на комплексной плоскости, как изображаются числа на комплексной плоскости? Смотрите: число, комплексное число ab, a + ib, можно рассматривать просто как вектор с координатами a и b. И сумма двух комплексных чисел будет просто суммой двух соответствующих им векторов просто по правилу параллелограмма. И действительно, правило параллелограмма дает в точности то же самое, что правило сложения комплексных чисел. С умножением комплексных чисел на плоскости чтобы разобраться, нужно проделать некоторое количество действий. Ответ получается немножко более сложный, но не менее интересный. Точку на плоскости можно задать не только координатами этой точки, можно задать вот как, смотрите: можно посмотреть, чему равно расстояние от этой точки до точки 0 и чему равен угол вот этого радиус-вектора соответствующей точки и положительного направления оси 0X. Два этих данных задают точку однозначно. Если мы знаем, на какой угол нужно повернуть ось 0X, если мы знаем, как далеко нужно уйти по оси 0X, мы в точности однозначно определим точку на плоскости. То есть мы, с одной стороны, можем говорить, что комплексное число равно a + ib, а с другой стороны, мы можем сказать, что оно, что это же число равно r* (cosφ + isinφ), где φ — какой-то угол, какой-то угол, у которого можно найти косинус и синус, это именно тот угол, который образует радиус-вектор с положительным направлением оси 0X. Таки образом, мы нашли другое представление комплексного числа, немножко в другом виде его записали. Когда мы запишем комплексные числа в таком виде, уже интересно посмотреть, как соответствует умножение комплексных чисел тому, что происходит на картинке с комплексным числом. Смотрите: давайте умножим одно комплексное число на другое. Мы знаем, как это происходит, мы знаем, как это, как происходит умножение, чему равна вещественная часть произведения, чему равна мнимая часть произведения — давайте приведем это в соответствие с вот этой формой, где мы используем rcosφ + irsinφ. Когда мы перемножим эти выражения, мы увидим, что углы, соответствующие двум разным комплексным числам, сложились. Мы получим в выражении, когда мы умножим комплексное число r1*(cosφ1 + isinφ1) на другое комплексное число r2*(cosφ2 + isinφ2), что мы получим? Произведение будет иметь вид: r1r2 — модуль нового комплексного числа будет равен произведению модулей этих чисел, углы же сложатся, мы получим: r1r2*(cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2)). Итак, на комплексной плоскости умножение двух комплексных чисел происходит по следующему правилу: мы перемножаем модули комплексных чисел, а углы, соответствующие комплексным числам — их называют аргументами — мы складываем. Мы определили умножение комплексных чисел на комплексной плоскости. Что нам дает комплексное число? Ну, мы перестали изображать числа на прямой, хотя мы привыкли к этому; мы зачем-то ввели число i; мы для того, чтобы умножить два числа, всего лишь для умножения двух чисел вводим какие-то углы, рассматриваем какую-то тригонометрию, ради чего все это? Я приведу один пример: теперь нам не страшен никакой отрицательный дискриминант. Какое мы ни выпишем квадратное уравнение, у него будет хотя бы один корень. Или, как говорят математики, два корня с учетом кратности. Если дискриминант равен 0 — корень будет один, в любом другом случае корня будет обязательно два. Никаких «не существует корней» для нас теперь не существует. Действительно, посмотрите: вот у этого квадратного уравнения отрицательный дискриминант. Дискриминант равен −36. Среди вещественных чисел нет такого числа, квадрат которого равен −36. И мы бы сказали, решая это уравнение в действительных числах, мы бы сказали, что это уравнение никак не решается. Но мы решаем это уравнение в комплексных числах, и мы знаем число, квадрат которого равен −36, даже два таких числа — это 6i и −6i, и мы можем вычислить корень из этого дискриминанта, и таким образом мы можем решить это уравнение. Это чудесное свойство верно не только для квадратных уравнений. В комплексных числах решаются уравнения, алгебраические уравнения любой степени: 5-й, 7-й, 10-й, мы в вещественной плоскости мы легко себе представим, в вещественной области мы легко можем себе представить уравнение 10-й степени, у кого, у которого нет ни одного корня. Ну конечно: x в 10-й плюс 100. Это выражение всегда больше 0, ну какие уж тут корни? В комплексной области такое уравнение обязательно имеет, уравнение 10-й степени — у него будет 10 корней, может быть с учетом кратности в некоторых вырожденных случаях, как в случае квадратного уравнения, когда дискриминант равен 0, бывает, что два корня совпадут, но какие-то корни у любого уравнения есть обязательно. Ну и мы будем говорить, что количество корней любого уравнения равно степени этого уравнения с учетом кратности. [ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА]
