[ЗАСТАВКА] Сегодня мы снова поговорим об отображениях. Мы теперь знаем, что такое базис, знаем, как умножать матрицы, и поговорим об отображениях, используя эти наши знания. Первое, что бы нам хотелось научиться делать, – это записывать отображения как-нибудь. Мы привыкли, что в математике мы имеем дело с формулами. Это не всегда правильно и не всегда самый удобный путь, думать об отображении, записать его как-нибудь при помощи формулы, однако нам хотелось бы уметь это делать. А как мы можем что-то записать про отображение, если мы не умеем записывать векторы в пространствах? Давайте введем обозначение и будем пользоваться базисами в первом и во втором пространстве. Итак, пусть у нас есть линейное отображение f из линейного пространства L в линейное пространство M. Чтобы записать векторы в первом и во втором линейном пространстве, нам потребуется ввести базисы в этих пространствах. Итак, пусть набор векторов l1, ..., ln является базисом линейного пространства L. Прежде всего, мы бы хотели узнать, куда линейное отображение f переводит эти базисные векторы, то есть найти образы векторов f(l1), f(l2), ..., f(ln). А что значит найти, куда переводит? Как мы покажем вектор, в который перешел вектор l1 при отображении f? Для того чтобы назвать векторы, в которые перешли векторы l1, ..., ln в пространстве M, нам нужно ввести координаты в пространстве M, а именно мы в пространстве M введем базис, выберем какой-нибудь базис m1, ..., mk. Я хочу обратить ваше внимание, что в базисе пространства L у нас n векторов, а в базисе пространства M у нас k векторов. Никто не обещал, что пространства L и M имеют одинаковую размерность. Они, вообще говоря, могут иметь разную размерность, и мы используем два разных числа, n и k, две разных буквы, чтобы обозначать размерность первого и второго пространства. Итак, давайте запишем в базисе m1, ..., mk образы векторов l1, ..., ln, образы базисных векторов пространства L. Хорошо, это будет просто некоторая запись: f(l1) = a11m1 + a12m2 +... + a1kmk. Смотрите, первый индекс в числе, у нас вот есть числа a i-тое, j-тое, первый индекс говорит, образ какого вектора мы рассматриваем, а второй индекс говорит, коэффициент при каком базисном векторе m обозначает это число. Хорошо. Образ каждого базисного вектора мы записали в координатах в базисе m1, ..., mk пространства M. Мы задали образы базисных векторов, но мы хотели не этого. Мы, собственно говоря, базис ввели для того, чтобы уметь описывать образ каждого вектора. Итак, как теперь найти образ любого вектора l из пространства L? У нас появился способ записать вектор l. Что это за вектор? Мы можем записать вектор l в координатах в базисе l1, ..., lk, представить как линейную комбинацию базисных векторов, единственным образом, иначе l1, ..., lk не был бы базисом пространства L. Итак, пусть вектор l, линейная комбинация базисных векторов l1, ..., lk, такая линейная комбинация x1l1 + x2l2 +... + xnln. Какой будет образ вектора l при линейном отображении f? Чтобы ответить на этот вопрос, мы воспользуемся линейностью линейного отображения f, ну и конечно, разложением вектора l по базису. Смотрите, нам нужно найти f от линейной комбинации базисных векторов. Мы знаем, что линейное отображение уважает сумму и произведение на число. Если мы возьмем f от суммы, f(a + b), мы получим f(a) + f(b). Воспользуемся, во-первых, этим свойством, и мы получим, что f(l) равно сумме некоторых n векторов в пространстве M. Дальше, каждый из этих векторов снова можно записать несколько иначе. У нас получилось, смотрите, первое слагаемое: f(x1l1). Что мы можем сделать? x1 – это число, а f – это линейное отображение. f(x1l1) – это будет x1 * f(l1). Итого, f(l), образ вектора l пространства L при отображении f равен x1f(l1) + x2f(l2) +... + xnf(ln). Мы представили образ вектора l как линейную комбинацию образов базисных векторов. Теперь мы можем воспользоваться выражениями для образов базисных векторов, мы же записали образы базисных векторов в базисе пространства M. Мы разложили образ каждого базисного вектора по базису m1, ..., mk линейного пространства M. Ну что же, сделаем это, подставим выражение для образов базисных векторов, и такое выражение, надо сказать, у нас уже встречалось, правда в другом контексте. Такое выражение у нас встречалось, когда мы переходили от одного базиса к другому, и сейчас мы увидим, насколько похожи эти вещи, которые мы делаем, выражение для образа вектора при линейном отображении и координаты и вектор, записанные в другом базисе, при переходе от одного базиса к другому. Мы хотим записать вектор f(l) в базисе m1, ..., mk, для этого нам нужно найти коэффициент при каждом базисном векторе: коэффициент при m1, коэффициент при m2, коэффициент при m3 и так далее. Для этого нам нужно сейчас вот в этом большом выражении, которое написано, перегруппировать члены, собрать вместе члены с m1, m2 и так далее и каждый из этих векторов вынести за скобку, воспользоваться дистрибутивностью умножения на число в линейном пространстве. Ну что же, сделаем это, и мы получили фактически координаты вектора f(l) в базисе m1, ..., mk. Пока что это у нас записано как линейная комбинация векторов, базисных векторов m1, ..., mk, а вот так мы можем записать это как вектор-столбец в базисе m1, ..., mk. Такое выражение у нас уже встречалось, когда мы обсуждали переход от одного базиса к другому, и чтобы ровно это выражение записывать проще, мы ввели в первый раз матрицу или во второй раз, может быть, вначале матрица возникла, когда мы решали линейное уравнение. Итак, смотрите. Координаты вектора f(l), у которого координаты в базисе l1, ..., ln будут x1, ..., xn, координаты образа этого вектора при действии отображения f в базисе m1, ..., mk можно найти следующим образом. Мы запишем матрицу отображения f. Матрица записывается следующим образом. Мы возьмем координаты образов базисных векторов, векторов l1, ..., ln, мы запишем образы базисных векторов в базисе m1, ..., mk. У нас получится набор из n векторов, из n векторов-столбцов, в каждом столбце будет ровно k элементов, потому что у каждого вектора в пространстве M будет k координат, ведь базис в этом пространстве состоит из k векторов. Хорошо. Мы получили матрицу, вообще говоря, прямоугольную. Никто не обещал, что она будет квадратной. Иногда она случайно может оказаться квадратной, вообще-то она прямоугольная. Мы не знаем, больше n, чем k, n = k или меньше n, чем k, неизвестно и может быть по-разному, по существу, может быть по-разному. Хорошо, вот эту прямоугольную матрицу нужно умножить на вектор-столбец с координатами вектора l в базисе l1, ..., ln. Это будет вектор-столбец, содержащий ровно n элементов. Хорошая вещь состоит в том, что эту матрицу можно умножить на этот вектор, мы помним, что не любые две матрицы можно перемножить, но здесь в каждой строчке ровно n элементов и в столбце ровно n элементов, значит, эту матрицу можно умножить на этот вектор-столбец. Так получилось не случайно, так, конечно, получилось не случайно, а наоборот, мы увидели, какой получается результат, и этот результат мы записали при помощи умножения подходящей матрицы на вектор-столбец. Конечно, эту матрицу можно умножить на этот вектор-столбец, мы ровно этого и хотели, ровно такую матрицу и строили. Итак, матрицей линейного отображения мы назовем матрицу A, в которой по столбцам записаны образы базисных векторов при отображении f. Для того чтобы записать матрицу отображения, нам нужно фиксировать два базиса: один базис в пространстве L и другой базис в пространстве M. Если мы возьмем другие базисы, матрица отображения получится другая. Матрица отображения, она зависит не только от самого отображения, но и от того, какие базисы мы выбрали в линейных пространствах L и M. Нам бывает легко думать о матрице отображений, когда мы обсуждаем отображения из одного векторного пространства в другое. Например, мы берем векторное пространство на плоскость... векторов двумерных на плоскости, отображаем в плоскость или в трехмерное пространство, и записываем это отображение при помощи матрицы. Однако мы обсуждали, что линейные пространства бывают очень разные. Бывают совершенно абстрактные. Многие вещи, с которыми мы сталкивались вне контекста линейной алгебры, тоже образуют линейные пространства. И когда мы обсуждаем линейные отображения в таких линейных пространствах, почему-то бывает сложно оперировать именно с матрицами. Давайте рассмотрим такой пример. Давайте пусть у нас L — это линейное пространство многочленов степени не выше 3. Мы помним, что они образуют... это множество образует линейное пространство, и размерность этого линейного пространства равна четырем. Пусть M — линейное пространство многочленов степени не выше двух. Это тоже линейное пространство, и степень этого... и размерность этого линейного пространства равна трем. Линейное отображение f будет задаваться при помощи дифференцирования. Мы будем... Линейное отображение f переводит многочлен в его производную. Как раз если у многочлена Р степень была не выше 3, то его производная степень будет не выше 2. Это линейное отображение, потому что сумма... производная сумма двух многочленов равна сумме производных, и производная произведения многочлена на число равна произведению производной и этого числа. Линейное отображение, и у этого линейного отображения, как и у любого другого линейного отображения из одного конечномерного пространства в другое конечномерное пространство, должна быть матрица. В пространстве L и пространстве M мы рассмотрим самые естественные базисы. В пространстве многочленов степени не выше 3 у нас будет базис, состоящий из многочленов 1, x, x², x³ и в пространстве M, пространстве многочленов степени не выше 2, будет базис из многочленов 1, x, x². Самый стандартный базис в этих пространствах. Для того, чтобы записать матрицу линейного отображения, нужно найти образы базисных векторов при этом линейном отображении. Что значит «образы базисных векторов»? Как действует линейное отображение? Оно переводит многочлен в его производную. Ну давайте продифференцируем каждый из базисных векторов в пространстве L. Мы видим, что один из базисных векторов перейдет просто в 0, это значит, что ядро нашего линейного отображения не пусто, в ядре есть нетривиальный вектор. Ну и все остальные базисные векторы мы продифференцируем. Теперь мы можем записать матрицу отображений. Мы просто запишем по столбцам координаты базисных... координаты образов базисных векторов при отображении f. Получается такая матрица. Первый столбец у нее нулевой, второй столбец такой: 1, 0, 0, потому что x... когда мы продифференцируем многочлен x, получится единица. В базисе пространства М он запишется векторным столбцом 1, 0, 0. 1 * 1 + 0 * x + 0 * x² и так далее. Мы получили, действительно, мы получили матрицу отображения. Если мы умножим эту матрицу на какой-то вектор, мы действительно получим производную многочлена. Мы запишем многочлен в виде вектора-столбца, умножим матрицу на этот вектор-столбец, получим новый вектор-столбец. Когда мы расшифруем запись в базисе пространства M, мы получим многочлен — производную исходного многочлена. Действительно, несложно проверить, что ответы при умножении вектора столбца на матрицу и про... просто при дифференцировании многочлена совпадают. Мы получили действительно матрицу линейного отображения. [МУЗЫКА]
