[ЗАСТАВКА] Когда мы говорим о матрице отображения, матрица отображения связана с базисом. Для того чтобы записать матрицу отображения или матрицу линейного оператора, нам надо выбрать базис в пространстве, в двух пространствах, ну или в одном пространствах, если речь идет о линейном операторе. Мы умеем, мы знаем, как меняются координаты вектора при замене базиса, если мы знаем, как связаны между собой эти базисы. Теперь вопрос такой. Хорошо, мы знаем, как меняются координаты вектора, а если мы записали линейное отображение в каком-то базисе, а теперь хотим его переписать в другом базисе, — ну, может, по отношению к линейному отображению не все базисы одинаково хороши, может, есть какие-то базисы лучше или хуже, или нам что-то удобно рассматривать в одном базисе, а что-то удобно рассматривать в другом базисе. Как осуществить переход от одного базиса к другому при линейном отображении? Итак, пусть мы знаем матрицу оператора, пусть это матрица A, линейного отображения f при отображении из линейного пространства L в линейное пространство M. Эта матрица записана в выбранных базисах: в пространстве L выбран базис l1,..., ln, в пространстве M выбран базис m1,..., mk. Мы эту матрицу знаем, мы знаем, что эта матрица зависит от базисов, а теперь мы хотим понять, как будет меняться матрица, если мы будем менять базисы в пространстве L, в пространстве M. Если мы будем переходить в другие базисы, как будет меняться матрица линейного отображения. Итак, мы хотим перейти к другим базисам в пространстве L и в пространстве M. Выберем в пространстве L другой базис: l1′, l2′,..., ln′, и в пространстве m выберем другой базис: m1′, m2′,..., mk′. Давайте сначала перейдем к другому базису в пространстве M. Смотрите, что мы знаем. Мы знаем координаты образов базисных векторов f(l1), f(l2),..., f(ln) в базисе m1,..., mk. Для того чтобы получить матрицу отображения в паре базисов l1,..., ln (в первом пространстве мы пока не меняем базис) и m1′, m2′,..., mk′, нам нужно записать координаты образов базисных векторов в новом базисе, m1′, m2′,..., mk′. У нас есть координаты векторов в базисе m1,..., mk, и нам нужно записать координаты этих векторов в базисе m1′, m2′,..., mk′. Мы умеем решать эту задачу, мы умеем переходить от одного базиса к другому. Что для этого нужно сделать? Итак, мы знаем координаты векторов некоторых интересных нам в базисе m1,..., mk, а нам нужно записать координаты этих векторов в базисе m1′,..., mk′. Мы знаем, как это делать. Для этого мы составим матрицу перехода от базиса m1,..., mk к базису m1′,..., mk1′. Как составляется эта матрица? По столбцам этой матрицы, мы обозначим ее буквой b, мы запишем координаты векторов m1,..., mk в базисе m1′,..., mk′. Запишем матрицу b перехода от базиса m1,..., mk к базису m1′,..., mk′. Фактически мы решили задачу о замене базиса в пространстве M. Смотрите, пусть x — вектор-столбец вектора l в координатах в базисе l1,..., ln. У нас есть некоторый вектор l и его координаты в базисе l1,..., ln. Это вектор-столбец x, который мы обозначаем, он состоит из чисел x1,..., xn. Мы его обозначаем просто x, вектор x. Тогда вектор Ax — мы матрицу A, матрицу линейного отображения, умножили на вектор-столбец x, получили некоторый вектор-столбец. Это образ линейного отображения, образ вектора l при линейном отображении f, записанный в базисе m1,..., mk. Чтобы переписать вектор из базиса m1,..., mk, его надо умножить на матрицу B. Тогда мы получим координаты этого же вектора в базисе m1′,..., mk′. Итого, вектор BAx даст нам координаты образа вектора l в базисе m1′,..., mk′. Мы перешли к новому базису в пространстве M. Осталось перейти к новому базису в пространстве L. Что бы нам хотелось сделать? Что значит заменить базис в пространстве L? Мы хотели бы, зная координаты вектора в базисе l1′,..., ln′, найти образ этого вектора при отображении f и записать его еще в базисе m1′,..., mk′. Мы все умеем делать, почти что все. Единственное что, сейчас мы умеем справляться с этой задачей, только если вектор записан в базисе l1,..., ln, а у нас есть координаты вектора только в базисе l1′,..., ln′. Что нам нужно сделать? Нам нужно найти координаты вектора в базисе l1,..., ln, если мы знаем его координаты в штрихованном базисе, если мы знаем его координаты в базисе l1′,..., ln′. Что для этого нужно сделать? Для этого нужно составить матрицу перехода от базиса l1′,..., ln′ к базису l1,..., ln. Как это делается? Мы запишем координаты векторов l1′,..., ln′ в базисе l1,..., ln и составим такую матрицу, где по столбцам записаны эти координаты. Итого, мы берем сначала вектор l1′, находим его координаты в базисе l1′,..., ln′. Это будет первый вектор-столбец матрицы перехода. Берем вектор l2′, находим его координаты в базисе l1′,..., ln′, будет второй столбец матрицы перехода и так далее. И когда мы найдем координаты всех векторов базиса l1′,..., ln′ в базисе l1,..., ln, мы получим матрицу C перехода от базиса l1′,..., ln′ к базису l1,..., ln. Я хочу сказать, что мы записывали здесь координаты штрихованных векторов относительно нештрихованных векторов. А на прошлом слайде, когда мы делали замену в пространстве M, мы поступали наоборот: мы находили координаты нештрихованных векторов относительно штрихованного базиса. Здесь важно не запутаться. Тем временем задача полностью решена. Если у нас есть x′, вектор-столбец координат вектора l в базисе l1′,..., ln′. Умножая этот вектор на матрицу C, мы получим его координаты в базисе l1,..., ln. Умножая снова этот вектор получившийся на матрицу A, мы получим координаты образа вектора l при отображении f в базисе m1,..., mk. И умножая снова получившееся выражение на матрицу B, мы получим координаты этого вектора в базисе m1′,..., mk′. Это и значит, что матрица BAC задает матрицу отображения в базисах l1′,..., ln′ и m1′,..., mk′. Смотрите, что получилось. Мы действительно научились находить образ вектора, записанного в одном штрихованном базисе, этот образ чтобы тоже был записан в штрихованном базисе. На самом деле, в этой матрице, которая получится умножением трех матриц, по столбцам будут записаны координаты векторов li′ в базисе mi′, потому что это и есть матрица линейного отображения: матрица линейного отображения устроена именно так. А что будет, если мы хотим поменять базис при линейном операторе, базис линейного оператора? У нас есть какой-то базис, фиксирован в пространстве l некоторый базис l1,..., ln. Мы в нем, в этом базисе, записали линейное отображение, линейный оператор, он записывается матрицей A, допустим. А теперь мы хотим записать матрицу того же самого линейного отображения в другом базисе. Смотрите, когда мы говорили про матрицу линейного отображения, мы выбирали два новых базиса, l штрихованный и m штрихованный. Опять, новый базис линейного оператора снова будет один и тот же. Если мы выбрали новый базис для прообраза, значит мы выбрали новый базис и для образа, поэтому задача немножко меняется. У нас были две независимые матрицы B и А теперь эти матрицы безусловно будут связаны, потому что базисы l1', …, ln' и базисы m1', …, mk' теперь, они раньше были абсолютно независимыми, мы брали их независимо друг от друга, а теперь они оказались связанными. Не то, что связаны, а оказалось, что они совпадают. Давайте посмотрим, что в данном случае представляют из себя матрицы C и B? C, как и раньше, у нас матрица перехода от базиса l1', …, ln' к базису l1, …, ln. Хорошо. Мы так и обозначили, пусть останется матрицей С. Что такое матрица B в этом случае? Помните, матрица B — это матрица перехода от базиса m1, …, mk к базису m1', …, mk'. В нашем случае эти базисы будут снова l1, …, ln и l1', …, ln', то есть получается, что матрица C — это матрица перехода от одного штрихованного базиса к не штрихованному базису, а матрица B — это матрица перехода обратно, от не штрихованного базиса к штрихованному базису. Я хочу сказать, что это значит, что матрица B просто равна матрице C в минус первой. Что произведение этих матриц равно 1. Ну безусловно, если мы возьмем какой-то вектор, запишем его координаты в матрице, в базисе l1', …, ln', потом при помощи умножения на матрицу, перейдем к базису l1, …, ln, запишем его координаты в том базисе, потом снова умножим на некоторую матрицу и получим опять координаты этого вектора в штрихованном базисе. Мы же получим те же самые координаты. Значит произведение двух матриц, переход от одного базиса к другому базису, и переход от другого базиса обратно к первому базису, осуществляется обратными матрицами — B = C c в минус первой. Если мы знаем, как выглядит матрица линейного оператора в базисе l1, …, ln, если мы хотим записать матрицу этого линейного оператора в другом базисе l1', …, ln', если матрица перехода от штрихованного базиса к базису без штрихов, от базиса l1', …, ln' к базису l1, …, ln, это матрица C, тогда матрица линейного оператора в базисе l1', …, ln', будет C1AC. Это непосредственно следует из того, что мы доказали. Мы просто вместо матрицы B подставили матрицу C в минус первой. Теперь давайте обсудим, зачем это все вообще нужно? Ну нашли матрицу линейного оператора в каком-то базисе, зачем уметь переходить к другому базису? В каком-то нашли, будем с этим работать. Я хочу сказать, что линейные операторы, которые в одном базисе записаны очень просто, могут оказаться в другом базисе… Их матрицы в другом базисе могут выглядеть вовсе не так красиво, могут выглядеть криво и сложно. Давайте себе представим такой линейный оператор. Возьмем первый базисный вектор и пусть под действием линейного оператора этот базисный вектор растягивается в 5 раз, увеличивается в 5 раз. Под действием этого же линейного оператора, пусть второй базисный вектор, сжимается в 3 раза. Я хочу сказать, что… Ну таким образом линейный оператор определен, мы можем определить значения этого линейного оператора, образ этого линейного оператора… Этого линейного оператора от любого вектора плоскости, но в этом конкретном базисе, в стандартном базисе, сейчас матрица этого линейного оператора выглядит очень просто. Это будет диагональная матрица, у которой на диагонали написано: «5 и 1/3». Если вы посмотрите на эту матрицу, она действительно первый базисный вектор увеличивает в 5 раз, а второй базисный вектор сжимает в три раза. Это замечательная матрица диагональная, с ней легко работать, она хорошо выглядит со всех сторон приятно. Что будет, если мы запишем тот же самый линейный оператор в другом базисе? Ну, например, возьмем векторы, (1, 1), (1, – 1). Они образуют базис линейного пространства. Посмотрим, как на них действует этот линейный оператор. Всё. Под действием линейного оператора эти векторы перейдут в какие-то совершенно другие векторы, уже матрица линейного оператора в этом базисе уже не будет диагональна. Вопрос: зачем нам рассматривать матрицу линейного оператора в каком-то базисе, где она не диагональна, если можно рассмотреть ее в базисе, где она диагональна? Мы не знаем, любой ли линейный оператор можно записать при помощи диагональной матрицы, для любого ли линейного оператора найдется такой базис, в котором она диагональна, но мы точно видим, что в некоторых ситуациях такая работа имеет смысл. Имеет смысл найти базис, в котором матрица линейного оператора выглядит как-то просто. Ну вот в нашем случае получилась диагональная. Это не случайно, диагональна. Довольно часто можно найти базис, в котором матрица диагональна. Мы решили, что будем рассматривать линейный оператор в том базисе, в котором его матрица выглядит самым простым образом. А в том базисе, в котором матрица линейного оператора выглядит сложно, мы не будем рассматривать матрицу этого линейного оператора. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
