En este video desarrollaremos 5 ejemplos ilustrativos del procedimiento para obtener el vector de cargas usando el nuevo enfoque presentado en el video anterior. Ejemplo 1: carga distribuida. Calcule el vector P_0 de la viga de la figura. Paso 1: calcular V_0 sometiendo un elemento simplemente apoyado a las cargas actuantes sobre el elemento. En este caso, no hay elongación ni acortamiento de la viga, por lo que V_01 es igual a 0. V_02 y V_03 corresponden a los giros en el nodo inicial y final del elemento cuando se aplica la carga distribuida. Usando doble integración o algún otro método, se obtiene V_02 igual a menos WL al cubo sobre 24 EI y V_03 igual a doble W L al cubo sobe 24 EI. Paso 2: estimar q_0 igual a menos K_b por V_0. Para este caso, q_0 serÃa igual a menos EA sobre L 0 0, 0 4 EI sobre L 2 EI sobre L, 0 2 El sobre L 4 EI sobre L, multiplicado por 0 menos WL al cubo sobre 24 EI, WL al cubo sobre 24 EI, lo cual darÃa igual a 0 WL cuadrado sobre 12 y menos WL cuadrado sobre 12. Este último vector corresponde a las fuerzas básicas de empotramiento de una viga doblemente empotrada, sometida a una carga distribuida. Al multiplicar la matriz K_b por menos V_0, se aplican momentos en los extremos de la viga para garantizar la condición de doble empotramiento. Paso 3: usando equilibrio calcular las 6 filas del vector P_0. Usando sumatoria de momentos igual a 0, es posible calcular las reacciones verticales de la viga, las cuales dan igual a WL medios. Con esta información se puede armar el vector P_0 como: P_0 igual 0 WL medios, WL cuadrados sobre 12, 0, WL medios menos WL cuadrados sobre 12. Paso 4: determinar P_0 mayúscula igual Lambda tras puesto por P_0 minúscula. Dado que el elemento es horizontal, Lambda es igual a la matriz identidad y, por lo tanto, P_0 mayúscula es simplemente igual a P_0. Ejemplo 2: defectos de fabricación. Calcula el vector P_0 de la viga de la figura, suponiendo que la viga quedó con los siguientes defectos de fabricación. El elemento tiene una longitud Épsilon_0 L mayor a la esperada y no es perfectamente recto, sino que tiene una curvatura Fi_0. Paso 1: calcular V_0 sometiendo un elemento simplemente apoyado a las cargas actuantes sobre el elemento. En este caso, V_01 es igual a Épsilon_0 por L. V_02 y V_03 corresponden a los giros en el extremo inicial y final del elemento. Usando doble integración, se sabe que la curvatura es aproximadamente igual a la segunda derivada de la deflexión g. Esto es g doble prima igual Fi_0, integrando g prima igual Fi_0 x más C1. Integrando nuevamente, da g igual Fi_0 x cuadrados sobre 2 más C1x más C2. Las constantes C1 y C2 se calculan sabiendo que g en 0 y g en L son iguales a 0. Y da C2 igual a 0 y C1 igual a menos Fi_0 por L sobre 2. Con esto, V_02 serÃa igual a g prima evaluado en 0, es decir, menos Fi_0 L medios y V_03 se calcula evaluando g prima en L, para obtener Fi_0 L medios. El vector V_0 serÃa entonces igual a Épsilon 0 por L menos Fi_0 L medios y Fi_0 L medios. Paso 2: estimar q_0 igual a menos K_b por V_0. Para este caso, q_0 es igual a menos K_b por Épsilon 0L menos Fi_0 L medios Fi_0 L medios igual a menos EA Épsilon 0, EI Fi_0 menos EI Fi_0. Estas serÃan las fuerzas básicas de empotramiento que se generarÃan en una viga doblemente empotrada sometida a los defectos de fabricación de este ejemplo. Pasos 3 y 4: en este caso, no se producen fuerzas cortantes y, por lo tanto, el vector P_0 es simplemente P_0 igual EA Épsilon 0 0 EA Fi_0 menos EA Épsilon 0 0 E I Fi_0, el cual es igual al vector P_0, dado que el elemento es horizontal. Ejemplo 3: cambios de temperatura. Calcule el vector P_0 de la viga de la figura sometida a un cambio de temperatura axial Delta Ta y a un gradiente de temperatura Delta Tf sobre h, donde h es la altura de la sección transversal del elemento. Si se conoce la temperatura de referencia T_0 y las temperaturas arriba y abajo del elemento T_t y T_b, los cambios de temperatura se calculan como Delta Ta igual T_b más T_t sobre 2 menos T_0 y Delta Tf igual T_b menos T_t. Solución: los cambios de temperatura pueden ser interpretados como defectos de fabricación. En este caso, los cambios de temperatura generarÃan una deformación axial Épsilon 0 igual a Alfa T Delta Ta y una curvatura Fi_0 igual a Alfa T Delta Tf sobre h. Por lo tanto, el vector P_0 se podrÃa calcular usando el resultado del problema anterior, simplemente reemplazando Épsilon 0 y Fi_0 por Alfa T Delta Ta y Alpha T Delta Tf sobre h, respectivamente, para obtener P_0 igual EA Alfa T Delta Ta 0 EI Alfa T Delta Tf sobre h, menos EA Alfa T Delta Ta 0 EI Alfa T Delta Tf sobre h. Ejemplo 4: presfuerzo axial. Calcula el vector P_0 del elemento de la figura cuando es sometido a una carga de presfuerzo axial q_01. Solución: dado que en este caso ya se conoce la carga axial del elemento, el vector P_0 corresponde simplemente a los componentes de la carga de presfuerzo, es decir, P_0 es igual a menos q_01 0 0 q_01 0 0. Las cargas de presfuerzo son usualmente aplicadas usando gatos hidráulicos después de construir las estructuras. En estas condiciones, la carga que se aplica en el gato no corresponde a q_01, sino a la fuerza final que tendrÃa el elemento considerando las deformaciones de toda la estructura. Ejemplo 5: vigas de concreto postensado. Calcula el vector P_0 de la viga de concreto postensado mostrada en la figura. La carga de postensado f_0 se aplica en los extremos de un cable parabólico colocado dentro de un ducto preinstalado en la viga antes de fundirla. La ecuación del cable se muestra en la figura. Solución. Paso 1: calcular V_0 sometiendo un elemento simplemente apoyado a las cargas actuantes sobre el elemento. V_01 es el acortamiento de la viga de concreto, el cual se puede calcular como la carga axial promedio del elemento multiplicada por L sobre AE. Por simplicidad, se puede suponer que la carga axial promedio q_01 es igual a f de xi más f de xj sobre 2, donde f de x i y f de x j son los componentes horizontales de f_0 en los nodos inicial y final, respectivamente. V_02 y V_03 corresponden a los giros en el extremo inicial y final del elemento. El momento M a una distancia x es igual a f de x e, o simplemente, f_0 por e, si la derivada de e es pequeña. Estos momentos usualmente se denominan momentos primarios. Noten que en todos los ejemplos anteriores, los momentos en los extremos de la viga simplemente apoyada eran iguales a 0, pero ahora el cable genera momentos primarios que van a afectar el cálculo en la fuerza interna del elemento. Usando doble integración, da: g 2 prima igual a M sobre EI, lo cual es igual a EI g 2 prima igual a f_0 por e. Si integramos, EI g prima es igual a f_0 por ax al cubo sobre 3 más bx al cuadrado sobre 2 más cx más C1. Integrando por segunda vez, darÃa EI g igual a f_0 ax a la 4 sobre 2, como a bx al cubo sobre 6 más cx al cuadrado sobre 2 más C1 x más C2. Las constantes C1 y C2 se calculan sabiendo que g0 y gL son iguales a 0. Esto darÃa EI por g0 igual a 0, me conduce a que C2 es igual a 0 y EI por g en L igual a 0 me conduce a que C1 es igual a menos f_0 aL al cubo sobre 12 bL al cuadrado sobre 6 más cL sobre 2. Con esto, V_02 serÃa igual a g prima evaluado en 0, es decir, C1 sobre EI. Y V_03 se calcula evaluando g prima en L para obtener f_0 sobre EI aL al cubo sobre 4 más bL cuadrado sobre 3 más cL sobre 2. El vector V_0 serÃa igual al mostrado. Paso 2: estimar q_0 igual a menos K_b por V_0. Para este caso, darÃa el resultado mostrado. Estas serÃan las fuerzas básicas de empotramiento que se generarÃan en una viga doblemente empotrada con un cable de postensado parabólico, tensado a una carga f_0. Observe que si el elemento tiene pasadores en sus extremos inicial y final, la matriz K_b es diferente. Pasos 3 y 4: en este caso, se producen fuerzas cortantes que se pueden calcular por equilibrio para obtener P_0 minúscula igual a menos q_01 menos aL más b por f_0 menos f_0 sobre 6 aL al cuadrado menos 6C q_01 a L más b por f_0 menos f_0 sobre 6 por 5 aL al cuadrado más 6 bL más 6C. q_01 es igual a f de xi más f de xj sobre 2, como se explicó antes. p_0 minúscula serÃa igual al vector P_0 mayúscula, dado que el elemento es horizontal. Con esto concluimos los ejemplos del nuevo enfoque del vector de cargas.
