Transformaciones geométricas. En el paso dos del método de rigidez se definió la matriz de rigidez "lambda" que permitÃa transformar desplazamientos locales a globales y fuerzas locales a globales o viceversa. En el paso dos, estas transformaciones se plantearon sobre la estructura sin deformar. En este video se abordarán transformaciones geométricas de desplazamientos y fuerzas, considerando la estructura deformada. Fuerzas locales a globales. Considere el elemento mostrado en la figura, el cual hace parte de una estructura que tienen los desplazamientos conocidos "Ul". El elemento tiene una longitud "L subcero" y ángulo "teta subcero". Por la acción de los desplazamientos "Ul", el elemento sufre desplazamientos "Ue" en sus extremos y desarrolla las fuerzas en coordenadas locales mostradas. El ángulo del elemento cambia de "teta subcero" a "teta". En esta condición deformada, las fuerzas en coordenadas locales "x ", "y", "z" se pueden descomponer para obtener las fuerzas "P1", "P2", "P3", "P4", "P5", "P6" en coordenadas globales "X", "Y", "Z". La fuerza "P1" serÃa igual a "P1" por "coseno de teta" menos "P2" por "seno de teta", la fuerza "P2" igual a "P1 seno de teta" más "P2 coseno de teta". Similarmente se obtiene las otras fuerzas internas. Organizando en vectores las fuerzas globales y locales, se obtiene la siguiente relación matricial: "P1" "P2" "P3" "P4" "P5" "P6" igual "lambda traspuesto" por "P1" "P2" "P3" "P4" "P5" "P6" donde la matriz "lambda" es "coseno", "seno", "cero", "menos seno" "coseno" "cero" "cero" "cero" "uno", "coseno" "seno" "cero" "menos seno" "coseno" "cero" "cero" "cero" "uno". Esta matriz es similar a la obtenida en el paso dos del método de rigidez. Sin embargo, ahora "c" y "s" corresponden respectivamente al "coseno" y "seno" del ángulo "teta", el cual se presenta en la posición deformada del elemento. Para diferenciar estas dos matrices se utilizará "lambda subcero" para la matriz de transformación obtenida usando el ángulo "teta subcero" y "lambda" cuando se usa el ángulo "teta". La tangente del ángulo "teta subcero" es igual a "delta y cero" sobre "delta x cero". Similarmente, la tangente del ángulo "teta" es igual a "delta y" sobre "delta x". "Delta y" y "delta x" se calcula usando los seis desplazamientos "Ue" en los extremos de los elementos de la siguiente forma: "delta x" igual a "delta x subcero" más "delta Ux", "delta y" igual a "delta y subcero" más "delta Uy" donde "delta Ux" es "Ue4 menos Ue1" y "delta Uy": "Ue5 menos Ue2". Los desplazamientos "Ue1" y "Ue2" son los desplazamientos horizontales y verticales del nodo inicial. "Ue4" y "Ue5", los desplazamientos traslacionales del nodo final. Se puede demostrar que la derivada parcial del vector "u" con respecto al vector en coordenadas globales "Ue" es igual a "lambda" donde "u" y "Ue" son los desplazamientos del elemento en coordenadas locales y globales, respectivamente. Al deformarse, el elemento sufre un cambio de ángulo "delta", "teta" igual a "teta menos teta subcero". Si este cambio de ángulo es pequeño, "teta" serÃa aproximadamente igual a "teta subcero" entonces "P" serÃa igual a "lambda subcero traspuesto por p" y "u" serÃa igual a "lambda subcero traspuesto" por "Ue", las cuales son las transformaciones lineales definidas en el paso dos del método de rigidez. Sin embargo, si estas transformaciones se hacen sobre el elemento deformado, "teta" es diferente de "teta subcero" y por lo tanto "P" serÃa igual a "lambda traspuesto" por "p" y la derivada parcial de "u" con respecto a "Ue" es igual a "lambda". Fuerzas básicas a globales. Como se mencionó en el módulo anterior, las fuerzas básicas "q" de un elemento lÃnea son la carga axial "q1", los momentos en los extremos "q2" y "q3". La carga axial "q1" se considera positiva si el elemento está sometido a tensión. Los momentos "q2" y "q3" son positivos y están orientados en sentido antihorario. Las fuerzas básicas se pueden descomponer para obtener las fuerzas "P1", "P2", "P3", "P4","P5", "P6" en coordenadas globales. Para esto es necesario, primero, calcular las fuerzas cortantes del elemento, las cuales son iguales a "q2" más "q3" sobre "L" más "qi" en el extremo izquierdo y "q2" más "q3" sobre "L" menos "qj" en el extremo derecho, donde "qi" y "qj" corresponden a las fuerzas cortantes producidas por las cargas colocadas sobre el elemento, considerándolo como simplemente apoyado. La fuerza "P1" serÃa igual a "menos q1 coseno de teta" menos "q2 más q3 sobre L seno de teta" menos "qi seno de teta". "P2" serÃa igual a "menos q1 seno de teta" más "q2 más q3 sobre L coseno de teta" más "qi coseno de teta". Similarmente se obtienen las otras fuerzas internas. Organizando en vectores las fuerzas globales y locales se obtiene la siguiente relación matricial para el caso en el que no hay cargas en el elemento. "P1" "P2" "P3" "P4" "P5" "P6" igual a "t traspuesto" por "q1" "q2" y "q3", donde la matriz "T" es igual a "menos c", "menos s" "cero" "c" "s" "cero" "menos s sobre L", "c sobre L" "uno" "s sobre L" "menos c sobre L" "cero" "menos s sobre L" "c sobre L" "cero" "s sobre L" "menos c sobre L" "uno", "c" y "s" corresponden respectivamente al coseno y seno del ángulo "teta", el cual se presenta en la posición deformada del elemento. Si se usa el ángulo "teta subcero" y la longitud "l subcero", la matriz de transformación es lineal y se denominará "T subcero". Adicionalmente, se puede demostrar que la derivada parcial de "V" con respecto a "Ue" es igual a "T", donde "V" y "Ue" son los desplazamientos básicos y globales, respectivamente. Si el cambio a ángulo es pequeño, "teta" se supone aproximadamente igual a "teta subcero". En este caso "P" es igual a "T subcero traspuesto" por "q" y "V" igual la "T subcero" por "Ue", las cuales son transformaciones lineales. Si estas transformaciones se hacen sobre el elemento deformado, "teta" es muy diferente a "teta subcero" y por lo tanto "P" es igual a "T traspuesto q" y la derivada de "V" con respecto a "Ue" es igual a "T". Si hay cargas dentro del elemento, el vector "q" tendrÃa dos filas adicionales "qi" y "qj", la matriz "T" tendrÃa dos columnas adicionales también. Desplazamientos globales a básicos. Formulación corrotacional. Los desplazamientos básicos son la elongación o acortamiento "V1" y los giros "V2" y "V3" en los extremos del elemento, medidos con respecto a la lÃnea recta que une el nodo inicial y final. Usando formulación corrotacional, la elongación o acortamiento "V1" del elemento se puede calcular como la longitud en la posición deformada "L" menos la longitud inicial "L subcero". Usando el teorema de Pitágoras, "L cuadrado" es igual a "delta x cuadrado" más "delta y cuadrado" y "L subcero cuadrado" es igual a "delta x subcero cuadrado" más "delta y subcero cuadrado". Los giros "V2" y "V3" se pueden calcular a partir de relación de ángulos. En la figura, observe que "V2" más "teta" es igual a "Ue3" más "teta sub cero". De esta ecuación se puede despejar "V2" igual a "Ue3" menos "teta" más "teta subcero", lo cual da "V2" igual a "Ue3" menos "delta teta" donde "delta teta" es el cambio de ángulo. Similarmente "V3" más "teta" es igual a "Ue6" más "teta subcero", de donde resulta que "V3" es igual a "Ue6 menos delta teta". Resumiendo, "V1" es igual a "L menos L subcero", "V2" igual a "Ue3 menos delta teta" y "V3" igual a "Ue6 menos delta teta". Las variables "L subcero", "L delta teta" se pueden calcular con las expresiones mencionadas previamente. Estas ecuaciones permiten calcular los desplazamientos básicos en la posición deformada para un elemento "tipo uno" en función de los desplazamientos globales. Para elementos "tipo dos", "tres" y "cuatro" se usan las siguientes expresiones "V01" "V02" y "V03" son los desplazamientos básicos producidos por las cargas aplicadas sobre el elemento como se explicó en la primera lección del módulo anterior. Observe que estas relaciones son altamente no lineales. Usando estas ecuaciones es posible confirmar la derivada parcial de "V" con respecto a "Ue" es igual a "T". Si "delta teta" es pequeño, "V" podrÃa aproximarse como "T subcero" por "Ue". En algunos ejemplos desarrollados más adelante se utilizan edificios de cortante. En este caso las columnas no tienen deformaciones axiales, es decir, "delta Uy" es igual a cero ni giros en sus extremos, es decir, "Ue3" y "Ue6" son iguales a cero. Para este caso, "V1" es igual a cero, "V2" igual a "menos delta teta" igual "delta Ux" sobre "L subcero" y "V3" serÃa igual a "V2". Por simplicidad, para estos casos se supondrá que solo existe un único desplazamiento básico que corresponde a la deriva de piso normalizada por la longitud. Determinación de estado. Si se conoce "Ul" para cada elemento "i" se pueden definir los desplazamientos "Uei". Usando transformaciones geométricas, se pueden calcular los desplazamientos básicos "Vi". Trabajando sobre el sistema básico del elemento con esta información se puede determinar la matriz de rigidez básica "Kbi" y el vector de fuerzas "qi". Para esto es necesario conocer el vector "V subcero" de cada elemento. El vector "q" y la matriz "K subb" pueden ser llevadas a coordenadas globales usando nuevamente transformaciones geométricas para obtener "Kei" y "Pi". Este proceso se realiza para todos los elementos. Finalmente se determina el vector de fuerzas resistentes "Pl" y la matriz "Kll" para toda la estructura. Ejemplo. Para la estructura de la figura, grafique la variación de la carga de "F" con respecto al desplazamiento "U1". Solución. En este problema se deben inicialmente determinar las fuerzas resistentes de la estructura para un valor variable de "U1". Para esto se usará el procedimiento explicado previamente. Iniciaremos con el elemento "ab". Lo primero es determinar el vector "Ue", el cual serÃa igual a "cero" "cero" "cero" "cero" "U1" "cero". Con esta información se pueden determinar los desplazamientos básicos "V", los cuales son iguales a "L menos L subcero" "cero" "cero". Usando las ecuaciones desarrolladas en la lección anterior, "L al cuadrado" es igual a "ocho al cuadrado" más "uno más Ub al cuadrado". "L subcero al cuadrado" es igual a "ocho al cuadrado" más "uno", reemplazando da "V" igual "raÃz de 64" más "uno más Ub al cuadrado" menos "raÃz de 65" "cero" "cero". Ahora se pueden calcular la matriz "K subb" y el vector "q". Posteriormente se calcula la matriz "T" y después las fuerzas resistentes del elemento "P" igual "T traspuesto q". En este problema no se requiere realmente calcular la matriz de rigidez "KE". Este mismo procedimiento se utiliza para obtener las fuerzas resistentes del elemento "bc". En resumen, las fuerzas resistentes de los elementos de la estructura son las mostradas. Las fuerzas resistentes "Pl" de toda la estructura se obtienen sumando las fuerzas resistentes de cada elemento de acuerdo a los grados de libertad de la estructura para obtener "Pl" igual "sq1" más "sq1" igual "2sq1". Para relacionar las fuerzas resistentes con las fuerzas aplicadas en el nodo "b", se puede aplicar equilibrio para obtener "Fn" menos "Pl" igual a cero, es decir, "f" "menos 2sq1" igual a cero o simplemente "f" igual a "2sq1". Reemplazando los valores de "q1" y "s" se obtiene la ecuación mostrada, la cual se puede graficar variando el valor absoluto de "U1". La fuerza axial también se puede graficar. Observe que estas gráficas son altamente no lineales y muestran que la fuerza "F" es máxima cuando el desplazamiento es cercano a cero cinco y es cero para "U1" igual a un metro. Note también que los dos elementos de la estructura permanecen en compresión para valores de desplazamiento entre cero y dos metros. Con esto concluimos el video de transformaciones geométricas.