Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
¿A qué nos Referimos al Decir Razón de Cambio?
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1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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Generalizando para hacer matemáticas
Hablaremos del importante proceso de generalización cuando aprendemos Matemáticas. Vamos a recorrer diferentes contextos reales que nos preparen mentalmente para realizarlo. El fruto de ello será la simbolización de la función lineal.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
En esta ocasión me gustaría tomar en cuenta algo que conocemos como una
competencia matemática: el transferir el conocimiento.
Realmente es algo que importa mucho en el aprendizaje de las matemáticas: que todo
esto que aprendamos dentro de las matemáticas sean cosas que apliquemos.
Los estudios, las investigaciones educativa están llenas de ejemplos en
donde los mismos estudiantes, los chicos, cuando ven un problema de matemáticas
piensan que eso es en la clase de matemáticas.
Es más, he estado leyendo un artículo en donde los chicos no dudan en que un
ejercio de álgebra . pueda tener dos soluciones diferentes,
que una ecuación tenga dos soluciones diferentes, una ecuación que no podía
tenerlas. Ellos decían que eso se vale; o sea, en
la clase de matemática se vale. Claro, si eso tuviera que ver con lo que
yo tengo que pagar en el Mercado, o en un juego, o lo que sea, ahí sí las las cosas
serían distintas. O sea, da la impresión de que el mundo de
la matemática es un mundo abstracto, en donde ...
¡nada que ver con la vida real! Creemos nosotros que esta transferencia
del conocimiento matemático en las aplicaciones, en los contextos reales, es
algo que hemos dejado del lado en la enseñanza.
Estamos tratando con esta propuesta de hacer algo al respecto.
Y en esta ocasión me gustaría poder convivir con ustedes nuevamente nuestro
contexto del movimiento, y mostrarles alli lo que veo como aquella escencia que
vamos a poder transferir. Entonces, si me acompañan en la pantalla,
voy a traer de nuevo a nuestro personaje. ¿Recuerdan ustedes?
Aquí tenemos a nuestro chico que va caminando por aquí, por el Tecnológico de
Monterrey. Estamos viendo ese movimiento que en este
caso es una simulación de un movimiento con velocidad constante.
¿Cómo noto yo que el movimiento es con velocidad constante?
Si viera solamente al chico caminar, es como la partícula que les mostré en la
presentación de flash. Al hacer la animación de ese movimiento,
hay que estar considerando que en intervalos iguales de tiempo la distancia
que se recorre es la misma en cualquier par de intervalos de tiempo que yo tome,
mientras éstos sean iguales, la distancia que recorre el objeto, o el personaje en
este caso, tiene que ser la misma. Eso sería lo característico de un
movimiento rectilíneo uniforme, como el que está desarrollando ahorita nuestro
chico aquí. Eso me hizo decirles a ustedes que
realmente ahorita lo que estoy viendo del chico es una foto.
O sea, cuando estoy considerando un movimiento en este sentido -claro, estoy
aquí acotando el tiempo- pero si él tenía una velocidad constante, él venía desde
menos infinito, y se va a ir hasta más infinito.
O sea, sería un movimiento del cual yo tomé solamente un cachito de la película;
donde este inicio es la foto inicial, donde empecé a capturar el tiempo en mi
cronómetro. El tiempo pasa.
Esto es lo bueno de Sincal, de este softwear.
Fíjense en esto; bueno, una de las cosas buenas de tantas que tiene.
Vean cómo esta rayita vertical hace que pase el tiempo.
Estoy introduciendo el tiempo dentro de mi estudio.
Pasa el tiempo. El chico se mueve.
Esta representación es la velocidad.. Esta velocidad es constante.
Este número 3 que está aquí me está diciendo que él se está moviendo 3
cuadros cada segundo. Y en esta parte de acá lo que tendríamos
es la representación de todo el movimiento.
Eso no quiere decir que él vaya por aquí caminando.
Esto me está representando lo que está pasando en el tiempo.
O sea, el eje horizontal otra vez es el tiempo.
Si yo tomo ahorita una imagen de este movimiento, de hecho you la tenía yo por
acá, se las voy a mostrar. en esta imágen del movimiento, sí yo
podría hacer lo siguiente con ustedes: Vean aquí.
Puedo pensar en que aquí hubo un intervalo de tiempo.
Voy a tratar de hacer un intervalo de tiempo no pequeño.
Y voy a tratar de hacer acá un intervalo de tiempo también pequeño, de la misma
longitud que el anterior. Espero que más o menos se vean de la
misma longitud. Este intervalo de tiempo, este segmentito
rojo. háganse cuenta que está diciendo lo que
pasa entre los 2 y los 2.7 segundos. Este otro segmentito rojo que puse -yo
creo que lo alargo un poquito- estaría diciéndome lo que pasa entre los 3.2 y
los 3.9 segundos, para que sea la diferencia lo mismo que tenía acá.
O sea, yo quiero que piensen que si éste mide .7, éste también mide .7.
¿De acuerdo? Menos de 1.
Entonces, si yo tomo aquí un segmento vertical; este segmento vertical, y el
que está dibujándose acá, van a tener que ser iguales por el hecho de que la
velocidad ahorita es constante. O sea, esta longitud y ésta tendrían que
ser la misma: iguales intervalos de tiempo, misma distancia recorrida.
El lenguaje que vamos a utilizar nosotros al respecto va a ser un lenguje donde
usamos la letra griega d (Δ) . Este Δt estaría significando el cambio
del tiempo. Tengo un cambio de tiempo igual aquí.
Y el correspondiente cambio de posición que es la distancia recorrida en este
caso, sí sería también el mismo para cada uno de los intervalos.
De tal manera que si yo divido - vamos a ponerlo acá- el cambio de posición entre
el cambio del tiempo, lo que estoy obteniendo es la distancia recorrida en
ese tiempo que estuvo transcurriendo. O sea, como que a los 2 segundos el chico
estaría más o menos por aquí, y después caminó hasta acá.
Entonces, aquí estaría significando yo un cambio de posición.
Ese cambio de posición es el que estaría representado acá.
¿De acuerdo? Ahorita lo estoy señalando en un solo
intervalo de tiempo, en un Δt, pero en ese Δt estaría en el cronómetro.
Entonces, al hacer la división del intercambio de posición entre el cambio
de tiempo lo que va a surgir aquí es el número 3.
¿De acuerdo? ¿Porque digo el número 3?
Porque tengo acá esto que me está diciendo que la velocidad era de 3 metros
por segundo, pensando que estuviéramos hablando de metros.
Entonces, este número 3, que ahorita está representado en este eje vertical, es el
número 3 que tendría yo asociado acá con el Δx entre Δt.
Entonces, tengo aquí un cambio de posición sobre un cambio en el tiempo.
La idea de cambio de posición entre cambio de tiempo, ésa es una idea
fundamental en esta situación; una idea fundamental que no importa si el
movimiento hubiera sido hacia la derecha o hacia la izquierda.
Por ejemplo, veamos nuestro software. Si me voy al software otra vez aquí -
demen oportunidad de interactuar un poquito con él; voy a jalar los ejes para
tener una situación en donde veamos . una velocidad negativa.
Pongamos a nuestro personaje un poquito más acá.
Por ejemplo, ahí. Si ponemos la animación vemos que el
cambio de la posición ahora tiene que diferenciarse del caso anterior de alguna
manera. ¿Cuál es esa manera?
Vean ustedes ahorita que la velocidad es negativa.
Vamos a tomar una imágen, la velocidad es negativa ahorita, ¡Vaya, se nos fue ahí
de la pantalla! Pero bueno, vamos a tomarla ahí sin él.
La velocidad ahorita es negativa; o sea, aquí lo que tengo es que la velocidad es
-3; Y acá, si tomo un intervalo de tiempo - vamos a tomar este intervalo Δt; y este
intervalo - fíjense cómo cuando lo dibujé, siempre lo dibujo de izquierda a
derecha como es que estamos nosotros acostumbrados a escribir.
Este Δt va a traer un correspondiente Δx. ¿Qué notan ahora sobre este Δx?
Este Δx tiene que ser negativo. Negativo porque lo que está pasando es
que el personaje se fue hacia la izquierda.
Entonces, necesariamente al hacer aquí Δx entre Δt nos va a tener que salir ese
número -3. ¿Por qué yo veo ahorita en mi imágen de
este Δx y este Δt como prácticamente iguales.
O sea, yo los veo del mismo tamaño. Entonces, ustedes estarán pensando por
qué dice que Δx entre Δt da -3; pareciera que da -1.
Aquí es la cuestión fundamental de las escalas en los sistemas coordenados.
Yo , soy netamente visual; pero entiendo que cuando uno ve las cosas, realmente
visualizarlas requiere de otro tipo de interacción con lo que es la imágen.
En mi imágen, observen que las escalas que tengo en el eje de la posición, es
distinta de la escala que se tiende en el tiempo; es más pequeña en la posición, es
más grande el 1. La unidad en el tiempo es más grande que
la unidad en la posición. Esto produce este efecto, pues aún cuando
mis ojos me hacen ver ahí unos segmentos casi iguales, tengo que aceptar que el Δx
entre Δt no da -1, da -3. ¿Por qué?
Porque lo estoy viendo ahorita en el gráfico de la velocidad.
Esta idea del Δx entre Δt, ésta es la idea escencial.
Si me permiten, quisiera pasarles una diapositiva en donde tomemos en cuenta
esa idea. Esta diapositiva yo acostumbro pasarla
con mis estudiantes en los cursos, porque estoy conciente que hay una dificultad
intrínsica cuando uno empieza a estudiar la ciencia.
Nosotros convivimos en un mnundo real. Tenemos un lenguaje cotidiano, el que
usamos todos los días para comunicarnos. Y yo digo que el aprendizaje del cálculo
tiene relación con el lenguaje cotidiano. No es que voy a un salón de matemática, y
me olvido de todo lo que sale allí afuera.
Necesitamos traernos el mundo al aula. En ese sentido, para mí es importante
hacer una actividad como ésta, con los estudiantes, les digo: -redacten una
oración donde utilicen la palabra "razón".
Y luego les pido: -redacten una oración donde utilicen la palabra "cambio".
Esta actividad la hago con ellos en nuestro salón lleno de pintarrones, donde
podemos ver sus construcciones de oraciones.
Y a lo mejor ustedes están pensando you ahorita en lo que va a suceder.
A lo mejor esto es muy dado de Méjico por el lenguaje que usamos, en Méjico puede
que sea un tanto diferente a otro país. Pero igual se lo voy a platicar como pasa
aquí en Méjico. Cuando usan la palabra "razón" casi
siempre van a decir: - Mi mamá siempre tiene la razón.
Habrá estudiantes que lo dicen con certeza.
Habrá estudiantes que lo dicen medio irónicamente: "siempre tienen la razón".
Ésa es una frase típica de usar con la palabra "razón".
Sin embargo, ese tipo de significado de la palabra "razón" no es el que me sirve
para cuando voy a estudiar cálculo. O sea, necesitaría acceder a un
significado distinto. Con la palabra "cambio", cuando les pido
que redacten una oración con la palabra "cambio", siempre hacen alución a
cuestiones como: "ya me voy a cambiar de ropa", o "me voy a cambiar de Carrera", o
"el mundo está cambiando"; cuestiones como ésas que realmente sí hablan de algo
que era de una forma, y luego cambió a otra forma; pero que cuando estemos en el
contexto matemático, y justamente al introducirnos al cálculo, necesitaremos
también que esa palabra "cambio" tenga asociado un significado un tanto
particular: particularizado para nuestro estudio.
En la siguiente filmina, yo les voy a mostrar qué significa una "razón de
cambio", que es algo que vamos a estudiar: esa razón de cambio de la
posición entre el cambio del tiempo. Ahorita les separo la frase "razón de
cambio". La palabra "razón" en matemática
significa cociente, significa división. Y la palabra "cambio" en matemática
significa una resta o una diferencia. La palabra "diferencia" también se
refiere a resta. Acuérdense que estamos trabajando con
números, con nuestra riqueza de los números reales, que you hemos visto ,
todo lo complicado y lo simple que pueden ser a la vez.
Entonces, cuando estemos hablando de la palabra "razón", la palabra "razón"
significará cociente, una división. Eso no quiere decir que ahora en la calle
andemos diciendo en lugar de "tienes razón" , "tienes cociente".
Se refiere más bien a que ahora, cuando estudio cálculo, tengo que estar tomando
en cuenta que en mi cabeza la palabra "razón" no esté significando aquello que
en el lenguaje coloquial significa, sino signifique "cociente", un cociente de
números reales. Y en este cociente lo que voy a tener van
a ser cambios. Es un cociente de cambios Δy entre Δx.
Este símbolo delta (Δ) se lee como "delta" o "cambio".
Y podríamos este símbolo asociarlo con la expresión Δy sobre Δx.
Entonces, estamos hablando de una razón de cambios.
Y yo esperaría de ustedes que estén pensando en un cociente de diferencias; o
estén pensando en una división de resta; o estén pensando en un cociente de
diferencias o una división de diferencias; o un cociente de restas.
Total, you me estoy haciendo bolas aquí con todos estos términos.
Éstos van a ser nuestros sinónimos de "razón".
Éstos son nuestros sinónimos de "cambio". Y si nos intereza ahorita estudiar una
razón de cambio es porque al menos en el contexto que hemos estudiado, you
hablamos del Δx entre Δt: razón de cambio de la posición con respecto al tiempo.
Y ese objeto, esa razón de cambio, sí tiene un significado un tanto más
familiar para nosotros. ¿Por qué?
Porque, ¿qué es lo que significa Δx entre Δt?
Significa nuesta velocidad. La velocidad constante que estamos
considerando en nuestro movimiento en línea recta.
Espero que con esta presentación se les haya quedado claro cuál es esa idea
fundamental que nos vamos a llevar. Ésa es la que nos vamos a llevar.
La vamos a transferir a otros contextos. Los espero para la siguiente
presentación.
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