En esta ocasión me gustarÃa tomar en cuenta algo que conocemos como una competencia matemática: el transferir el conocimiento. Realmente es algo que importa mucho en el aprendizaje de las matemáticas: que todo esto que aprendamos dentro de las matemáticas sean cosas que apliquemos. Los estudios, las investigaciones educativa están llenas de ejemplos en donde los mismos estudiantes, los chicos, cuando ven un problema de matemáticas piensan que eso es en la clase de matemáticas. Es más, he estado leyendo un artÃculo en donde los chicos no dudan en que un ejercio de álgebra . pueda tener dos soluciones diferentes, que una ecuación tenga dos soluciones diferentes, una ecuación que no podÃa tenerlas. Ellos decÃan que eso se vale; o sea, en la clase de matemática se vale. Claro, si eso tuviera que ver con lo que yo tengo que pagar en el Mercado, o en un juego, o lo que sea, ahà sà las las cosas serÃan distintas. O sea, da la impresión de que el mundo de la matemática es un mundo abstracto, en donde ... ¡nada que ver con la vida real! Creemos nosotros que esta transferencia del conocimiento matemático en las aplicaciones, en los contextos reales, es algo que hemos dejado del lado en la enseñanza. Estamos tratando con esta propuesta de hacer algo al respecto. Y en esta ocasión me gustarÃa poder convivir con ustedes nuevamente nuestro contexto del movimiento, y mostrarles alli lo que veo como aquella escencia que vamos a poder transferir. Entonces, si me acompañan en la pantalla, voy a traer de nuevo a nuestro personaje. ¿Recuerdan ustedes? Aquà tenemos a nuestro chico que va caminando por aquÃ, por el Tecnológico de Monterrey. Estamos viendo ese movimiento que en este caso es una simulación de un movimiento con velocidad constante. ¿Cómo noto yo que el movimiento es con velocidad constante? Si viera solamente al chico caminar, es como la partÃcula que les mostré en la presentación de flash. Al hacer la animación de ese movimiento, hay que estar considerando que en intervalos iguales de tiempo la distancia que se recorre es la misma en cualquier par de intervalos de tiempo que yo tome, mientras éstos sean iguales, la distancia que recorre el objeto, o el personaje en este caso, tiene que ser la misma. Eso serÃa lo caracterÃstico de un movimiento rectilÃneo uniforme, como el que está desarrollando ahorita nuestro chico aquÃ. Eso me hizo decirles a ustedes que realmente ahorita lo que estoy viendo del chico es una foto. O sea, cuando estoy considerando un movimiento en este sentido -claro, estoy aquà acotando el tiempo- pero si él tenÃa una velocidad constante, él venÃa desde menos infinito, y se va a ir hasta más infinito. O sea, serÃa un movimiento del cual yo tomé solamente un cachito de la pelÃcula; donde este inicio es la foto inicial, donde empecé a capturar el tiempo en mi cronómetro. El tiempo pasa. Esto es lo bueno de Sincal, de este softwear. FÃjense en esto; bueno, una de las cosas buenas de tantas que tiene. Vean cómo esta rayita vertical hace que pase el tiempo. Estoy introduciendo el tiempo dentro de mi estudio. Pasa el tiempo. El chico se mueve. Esta representación es la velocidad.. Esta velocidad es constante. Este número 3 que está aquà me está diciendo que él se está moviendo 3 cuadros cada segundo. Y en esta parte de acá lo que tendrÃamos es la representación de todo el movimiento. Eso no quiere decir que él vaya por aquà caminando. Esto me está representando lo que está pasando en el tiempo. O sea, el eje horizontal otra vez es el tiempo. Si yo tomo ahorita una imagen de este movimiento, de hecho you la tenÃa yo por acá, se las voy a mostrar. en esta imágen del movimiento, sà yo podrÃa hacer lo siguiente con ustedes: Vean aquÃ. Puedo pensar en que aquà hubo un intervalo de tiempo. Voy a tratar de hacer un intervalo de tiempo no pequeño. Y voy a tratar de hacer acá un intervalo de tiempo también pequeño, de la misma longitud que el anterior. Espero que más o menos se vean de la misma longitud. Este intervalo de tiempo, este segmentito rojo. háganse cuenta que está diciendo lo que pasa entre los 2 y los 2.7 segundos. Este otro segmentito rojo que puse -yo creo que lo alargo un poquito- estarÃa diciéndome lo que pasa entre los 3.2 y los 3.9 segundos, para que sea la diferencia lo mismo que tenÃa acá. O sea, yo quiero que piensen que si éste mide .7, éste también mide .7. ¿De acuerdo? Menos de 1. Entonces, si yo tomo aquà un segmento vertical; este segmento vertical, y el que está dibujándose acá, van a tener que ser iguales por el hecho de que la velocidad ahorita es constante. O sea, esta longitud y ésta tendrÃan que ser la misma: iguales intervalos de tiempo, misma distancia recorrida. El lenguaje que vamos a utilizar nosotros al respecto va a ser un lenguje donde usamos la letra griega d (Δ) . Este Δt estarÃa significando el cambio del tiempo. Tengo un cambio de tiempo igual aquÃ. Y el correspondiente cambio de posición que es la distancia recorrida en este caso, sà serÃa también el mismo para cada uno de los intervalos. De tal manera que si yo divido - vamos a ponerlo acá- el cambio de posición entre el cambio del tiempo, lo que estoy obteniendo es la distancia recorrida en ese tiempo que estuvo transcurriendo. O sea, como que a los 2 segundos el chico estarÃa más o menos por aquÃ, y después caminó hasta acá. Entonces, aquà estarÃa significando yo un cambio de posición. Ese cambio de posición es el que estarÃa representado acá. ¿De acuerdo? Ahorita lo estoy señalando en un solo intervalo de tiempo, en un Δt, pero en ese Δt estarÃa en el cronómetro. Entonces, al hacer la división del intercambio de posición entre el cambio de tiempo lo que va a surgir aquà es el número 3. ¿De acuerdo? ¿Porque digo el número 3? Porque tengo acá esto que me está diciendo que la velocidad era de 3 metros por segundo, pensando que estuviéramos hablando de metros. Entonces, este número 3, que ahorita está representado en este eje vertical, es el número 3 que tendrÃa yo asociado acá con el Δx entre Δt. Entonces, tengo aquà un cambio de posición sobre un cambio en el tiempo. La idea de cambio de posición entre cambio de tiempo, ésa es una idea fundamental en esta situación; una idea fundamental que no importa si el movimiento hubiera sido hacia la derecha o hacia la izquierda. Por ejemplo, veamos nuestro software. Si me voy al software otra vez aquà - demen oportunidad de interactuar un poquito con él; voy a jalar los ejes para tener una situación en donde veamos . una velocidad negativa. Pongamos a nuestro personaje un poquito más acá. Por ejemplo, ahÃ. Si ponemos la animación vemos que el cambio de la posición ahora tiene que diferenciarse del caso anterior de alguna manera. ¿Cuál es esa manera? Vean ustedes ahorita que la velocidad es negativa. Vamos a tomar una imágen, la velocidad es negativa ahorita, ¡Vaya, se nos fue ahà de la pantalla! Pero bueno, vamos a tomarla ahà sin él. La velocidad ahorita es negativa; o sea, aquà lo que tengo es que la velocidad es -3; Y acá, si tomo un intervalo de tiempo - vamos a tomar este intervalo Δt; y este intervalo - fÃjense cómo cuando lo dibujé, siempre lo dibujo de izquierda a derecha como es que estamos nosotros acostumbrados a escribir. Este Δt va a traer un correspondiente Δx. ¿Qué notan ahora sobre este Δx? Este Δx tiene que ser negativo. Negativo porque lo que está pasando es que el personaje se fue hacia la izquierda. Entonces, necesariamente al hacer aquà Δx entre Δt nos va a tener que salir ese número -3. ¿Por qué yo veo ahorita en mi imágen de este Δx y este Δt como prácticamente iguales. O sea, yo los veo del mismo tamaño. Entonces, ustedes estarán pensando por qué dice que Δx entre Δt da -3; pareciera que da -1. Aquà es la cuestión fundamental de las escalas en los sistemas coordenados. Yo , soy netamente visual; pero entiendo que cuando uno ve las cosas, realmente visualizarlas requiere de otro tipo de interacción con lo que es la imágen. En mi imágen, observen que las escalas que tengo en el eje de la posición, es distinta de la escala que se tiende en el tiempo; es más pequeña en la posición, es más grande el 1. La unidad en el tiempo es más grande que la unidad en la posición. Esto produce este efecto, pues aún cuando mis ojos me hacen ver ahà unos segmentos casi iguales, tengo que aceptar que el Δx entre Δt no da -1, da -3. ¿Por qué? Porque lo estoy viendo ahorita en el gráfico de la velocidad. Esta idea del Δx entre Δt, ésta es la idea escencial. Si me permiten, quisiera pasarles una diapositiva en donde tomemos en cuenta esa idea. Esta diapositiva yo acostumbro pasarla con mis estudiantes en los cursos, porque estoy conciente que hay una dificultad intrÃnsica cuando uno empieza a estudiar la ciencia. Nosotros convivimos en un mnundo real. Tenemos un lenguaje cotidiano, el que usamos todos los dÃas para comunicarnos. Y yo digo que el aprendizaje del cálculo tiene relación con el lenguaje cotidiano. No es que voy a un salón de matemática, y me olvido de todo lo que sale allà afuera. Necesitamos traernos el mundo al aula. En ese sentido, para mà es importante hacer una actividad como ésta, con los estudiantes, les digo: -redacten una oración donde utilicen la palabra "razón". Y luego les pido: -redacten una oración donde utilicen la palabra "cambio". Esta actividad la hago con ellos en nuestro salón lleno de pintarrones, donde podemos ver sus construcciones de oraciones. Y a lo mejor ustedes están pensando you ahorita en lo que va a suceder. A lo mejor esto es muy dado de Méjico por el lenguaje que usamos, en Méjico puede que sea un tanto diferente a otro paÃs. Pero igual se lo voy a platicar como pasa aquà en Méjico. Cuando usan la palabra "razón" casi siempre van a decir: - Mi mamá siempre tiene la razón. Habrá estudiantes que lo dicen con certeza. Habrá estudiantes que lo dicen medio irónicamente: "siempre tienen la razón". Ésa es una frase tÃpica de usar con la palabra "razón". Sin embargo, ese tipo de significado de la palabra "razón" no es el que me sirve para cuando voy a estudiar cálculo. O sea, necesitarÃa acceder a un significado distinto. Con la palabra "cambio", cuando les pido que redacten una oración con la palabra "cambio", siempre hacen alución a cuestiones como: "ya me voy a cambiar de ropa", o "me voy a cambiar de Carrera", o "el mundo está cambiando"; cuestiones como ésas que realmente sà hablan de algo que era de una forma, y luego cambió a otra forma; pero que cuando estemos en el contexto matemático, y justamente al introducirnos al cálculo, necesitaremos también que esa palabra "cambio" tenga asociado un significado un tanto particular: particularizado para nuestro estudio. En la siguiente filmina, yo les voy a mostrar qué significa una "razón de cambio", que es algo que vamos a estudiar: esa razón de cambio de la posición entre el cambio del tiempo. Ahorita les separo la frase "razón de cambio". La palabra "razón" en matemática significa cociente, significa división. Y la palabra "cambio" en matemática significa una resta o una diferencia. La palabra "diferencia" también se refiere a resta. Acuérdense que estamos trabajando con números, con nuestra riqueza de los números reales, que you hemos visto , todo lo complicado y lo simple que pueden ser a la vez. Entonces, cuando estemos hablando de la palabra "razón", la palabra "razón" significará cociente, una división. Eso no quiere decir que ahora en la calle andemos diciendo en lugar de "tienes razón" , "tienes cociente". Se refiere más bien a que ahora, cuando estudio cálculo, tengo que estar tomando en cuenta que en mi cabeza la palabra "razón" no esté significando aquello que en el lenguaje coloquial significa, sino signifique "cociente", un cociente de números reales. Y en este cociente lo que voy a tener van a ser cambios. Es un cociente de cambios Δy entre Δx. Este sÃmbolo delta (Δ) se lee como "delta" o "cambio". Y podrÃamos este sÃmbolo asociarlo con la expresión Δy sobre Δx. Entonces, estamos hablando de una razón de cambios. Y yo esperarÃa de ustedes que estén pensando en un cociente de diferencias; o estén pensando en una división de resta; o estén pensando en un cociente de diferencias o una división de diferencias; o un cociente de restas. Total, you me estoy haciendo bolas aquà con todos estos términos. Éstos van a ser nuestros sinónimos de "razón". Éstos son nuestros sinónimos de "cambio". Y si nos intereza ahorita estudiar una razón de cambio es porque al menos en el contexto que hemos estudiado, you hablamos del Δx entre Δt: razón de cambio de la posición con respecto al tiempo. Y ese objeto, esa razón de cambio, sà tiene un significado un tanto más familiar para nosotros. ¿Por qué? Porque, ¿qué es lo que significa Δx entre Δt? Significa nuesta velocidad. La velocidad constante que estamos considerando en nuestro movimiento en lÃnea recta. Espero que con esta presentación se les haya quedado claro cuál es esa idea fundamental que nos vamos a llevar. Ésa es la que nos vamos a llevar. La vamos a transferir a otros contextos. Los espero para la siguiente presentación.
