Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
De la teoría a la práctica.
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1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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Aplicamos: del Contexto Matemático de Nuevo al Contexto Real
Hablaremos ahora de la función lineal que hemos construido en el contexto matemático, y regresaremos con ella a nuevos contextos reales. De este modo vamos a practicar con la aplicación del conocimiento matemático.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
you saben que nuestra propuesta es importante, siempre regresar a contexto
real. De ahí venimos, de ahí generalizamos,
simbolizamos, ahí volvemos y aplicamos. En esta presentación me gustaría hacer un
recuerdo de eso porque cuando nos pusimos mucho a trabajar con Xs y Ys no quisiera
que olvidaran, que aún con todo lo tedioso que pudo haber sido lo otro, no
quisiera que olvidaran de donde venimos. Entonces, si me acompañan en esta
presetación les puse aquí seis imagenes. Seis imagenes que les evoquen lo que
hemos recorrido. Por un lado tenemos una partícula que se
mueve en línea recta. Cuando yo you veo esta expresión digo
"Función lineal" pienso, "la empezé a ver en la dos", "se movía a tres cuadros por
segundo" (De hecho se mueve a la derecha, ¿No?) Acá cuando veo este tanque veo la
expresion h(t) = 15 + 5t you puedo pensar en que había un nivel inicial de quince.
Aquí dice que el nivel ha estado aumentando a razón de 5cm por segundo.
Cuando veo acá esta imagen de la alpinista, tendríamos aquí que la
temperatura haciendo un recuerdo, la temperatura acá en el suelo era veinte.
Y que estaba disminuyendo a razón de seis grados cada kilómetro de altura.
En este caso tengo el resorte, y le ponemos un peso y podríamos decir que
originalmente que tenía diez centimetros y que al colocarle el peso se va a
deformar, bueno, no se va a deformar, se va a alargar (perdón) a razón de 2.5 cm
por cada kilogramo que se aumente. Tengo una taza de café que tenía una
temperatura inicial de 80 y que está disminyendo su temperatura a razón de 3
grados por, digamos por minuto. Y finalmente les puse una escena nueva.
Esta es una, digamos una varilla, una varilla que está hecha de cierto material
que tiene una densidad lineal de, o sea de cuatro, digamos cuatro gramos por
centímetro. Esto me estaría diciendo que hay una
razón de cambio. Aquí tendría yo que forzarlos a pensar en
que la varilla se estuviese creando a medida que "L" va creciendo.
Como si la masa se estuviera acumulando, como está esta zona, digamos, más gris...
a tener una longitud "L" esta "L" de aquí.
Tendríamos que hacer una multiplicación de la densidad que serían que 4 gramos
por centímetro multiplicado por el número de centímetros que tengo.
Y eso me calcularía el peso de la varilla correspondiente con esa longitud "L".
Entonces, esta forma de ver este fenómeno también pues invita a considerar una
función lineal donde necesariamente aquí pondríamos como el dato inicial de la
masa o del peso (perdón) igual a cero porque originalmente no había nada.
Esto es una, digamos, una generación de la varilla pensada en términos de nuestra
mente ¿Se fijan? o sea ahorita la producción aquí no tiene
ese sentido, pero se acopla bien a la situación.
Total, todas estas presentaciones que estan aquí todas estas vivencias que
hemos tenido, en matemáticas las convertimos en la función lineal, Y esto
que está aqui es nuestro modelo algebraico.
Esta es la única expresión que sustituye a todas las que teníamos abajo y esto
hace de la matemática algo bien especial. Por un lado, es ese poder de síntesis de
generalización y simbología que sintetiza todo lo que hemos visto con anterioridad,
y por otro lado, esa simbología sujeta a la teoría y demás pues nos va a permitir
volver sobre los otros medios para, con más elementos, conocer y predecir valores
de magnitudes, en este caso que se comportan en relación con un cambio
úniforme, donde la razón de cambio es este r (en ocasiones se los he puesto
como r subcero pero bueno, aquí no aparecía pero esta r es un valor
constante.) Me gustaría ahora, entonces, que nos vayamos a ejemplificar esta
vuelta de lo teórico a lo práctico con un problema particular que traigo aquí
preparado. Este problema lo estaríamos viendo en
esta filmina con un color verde para una versión teórica y un color rojo para una
versión práctica. En la versión verde dice así: "Dada la
ecuación lineal en su forma general 2x - 3y + 5 = 0, encuentra su pendiente y
ordenada al origen." ¿Se fijan? Es bien distinto cuando uno habla en
términos matématicos. Aquí esto exige un buen conocimiento de
geometría analítica un buen de terminología también, que la vamos a
estar utilizando. Ok, pero bueno, you que hemos practicado
con esto veamoslo en esta versión y después avanzaremos hacia la aplicación.
Tenemos entonces esta ecuación lineal. Nos dice en su forma general, esa forma
general que tenemos escrita aquí y con esta ecuación lineal nosotros debemos de
ser capaces de calcular la pendiente y la ordenada al origen.
Cuando hemos visto en las sesiones pasadas estas utilidades de la forma que
hemos nosotros utilizado en nuestro discurso, me gustaría hacer uso otra vez
de el para volver a insistir en su funcionalidad y su versatilidad.
Tengo aquí la expresión 2x - 3y + 5 = 0, y tengo por acá el molde que nosotros
hemos estado produciendo. Pongamos aquí y igual a y subcero más r
por x. Entonces, cuando yo llevo ésto acá voy a
ser capaz de identificar y subcero como el número que está solo, aislado en el
sentido de que no es la "r" que está junto con la "x." No sé si me explico,
aquí esto es también muy visual. Lo algebraico, aunque algebraico, también
es visual. Entonces, cuando quiero darle esta forma,
a la expresión, debo de ser capaz aquí de despejar, este es un término muy
algebraico, despejar la variable "y", y lo vamos a hacer.
Como yo la tengo con un signo negativo, en el lado izquierdo de la igualdad,
entonces la voy a pasar del otro lado con signo positivo, entonces nos quedaría 2x
+ 5 = 3y ¿De acuerdo? Y aquí es donde yo lo he invitado a que
toda expresión matemática de este estilo la vean como en un espejo.
Ustedes pueden leer 2x + 5 = 3y, pero también la pueden leer 3y = 2x + 5, la
pueden leer de derecha a izquierda o de izquierda a derecha.
Matemáticamente es lo mismo. Entonces puedo escribir aquí 3y, 3y = 2x
+ 5 y finalmente este 3 que estamos multiplicando a la "y" va a pasar del
otro lado dividiendo, pero dividiendo a todo.
Atención con eso porque a veces los estudiantes comúnmente pasan el 3
dividiendo al 2x , nada más. Después hacemos lo correcto que sería
repartir. Aquí este 2x se divide entre 3 y el 5
entre 3 y nos queda 2 tercios de "x" más cinco tercios.
Aquí en este momento déjenme llamar la atención acerca de algo que tambié yo
hago de forma automatizada pero he notado que el paso anterior era 2x entre 3.
Vean la diferencia entre la escritura que tengo arriba y la que tengo aquí abajo de
2 tercios de "x". Si yo leo aca arriba digo, aquí 2x entre
3, si yo leo aquí abajo digo 2 tercios de "x", y son exactamente lo mismo.
Cuando se tiene una expresion donde hay un producto acá arriba, yo puedo dejar el
2 aislado, juntarlo con el 3, dejar la "x" afuera, o puedo incluso hacer una
expresión común de un tercio por 2x que es exactamente lo mismo también.
Todas estas son dificultades que hemos encontrado y que pueden hacer que ustedes
que batallen cuando se utiliza la simbología matemática.
yo los invito aprofundizar en esto. Ahorita se los he aclarado, estos videos
tienen esa intención de poderles transmitirles este tipo de cosas que
espero les sean de utilidad en su manejo de la simbología matemática.
Entonces automáticamente yo puse en lugar de 2x entre 3 yo puse dos tercios de "x"
más cinco tercios y entonces you tengo la forma que estaba buscando acá arriba.
En ese momento lo que puedo hacer es una, yo diría que es una identificación.
Identifico este "y" cero, con el número cinco tercios.
Vean que no lo hice con el primero porque el primero tiene la letra "x".
O sea, siendo estrictos, me hubiera faltado un paso en donde hubiera escrito
acá cinco tercios más dos tercios de "x". Pero igual, vamos a dejarlo en este
momento de esa manera. Entonces, en el momento que hemos ahorita
arribado you puedo identificar que "y" cero es igual (vamos a ponerlo por acá)
"y" cero es igual a cinco tercios. Y por otro lado la "r" cual sería nuestra
"r" ahora. Vamos a ponerle aquí con el resaltador
esta "r" que está aquí, la identificamos con el dos tercios que está acá.
Vean ustedes que señalaron solamente la letra "r," no la letra "x", acá también
es dos tercios sin la "x" y entonces ahorita lo que podemos decir es que "r"
es igual a dos tercios. Lo he hecho con las letras con las que
nosotros estamos acostumbrandonos por nuestro acercamiento hacia el cálculo
pero traduciendo en términos de la pendiente y de la ordenada al origen, que
podemos decir la pendiente es "m" igual a dos tercios, y la ordenada al origen es
"b" (que coincide con nuestro valor mínimo inicial de la magnitud) igual a
cinco tercios. you estuvismos en este digamos terreno
que sería un terreno matemático. Vámonos al otro terreno.
En esta ocasión lo que vamos hacer es pensar en la situación siguiente.
Si "y" representa el nivel de agua en centímetros y "x" el tiempo en
segundos... ...recordemos de atrás de la filmina
anterior nuestra ecuación que decía que "y igual a dos tercios de "x" más cinco
tercios." Entonces vamos a escribirla acá.
"y igual a dos tercios de 'x' más cinco tercios." Ahora vamos a interpretar que
la "y" representa el nivel de agua, y la "x" representa el tiempo, en la situación
de un tanque de 30 centímetros de altura. Aqui no tengo mucha facilidad pero
supongamos que aquí tenemos un 30 centímetros de altura.
Ahí está mi tanque. Esta va a ser la función del nivel de
agua en el tanque, o sea esa "y" representa el nivel.
Entonces lo que podríamos nosotros interpretar es que cinco tercios sería un
nivel inicial ¿verdad? y que hay una razón de cambio de dos
tercios de centímetro por segundo, digamos.
La "r" sería "r igual a dos tercios de centímetro por segundo." you tenemos la
interpretación de la "b" y la "m" que en nuestro caso es un valor inicial del
nivel cuando empezamos a ver la situación, que es un cinco tercios de
centímetro, y una razón de cambio de dos tercios de centímetro por segundo.
La pregunta que se nos hace es: ¿Cuándo se llena el tanque?
¿Qué es lo que necesitaríamos hacer para responder cuándo se llena el tanque?
Tenemos nuestro modelo aquí. Nuestro modelo lineal.
Y entonces en este momento tenemos que evidenciar la dependencia del nivel con
respecto al tiempo transcurrido. La pregunta de un "¿Cuándo...?" se
refiere a un tiempo. O sea que se nos está preguntando
"¿Cuánto vale 'x'?" Y la pregunta que tenemos es "¿....para que se llene el
tanque?" La pregunta entonces, "¿Cuánto vale 'x'?
" se tiene que responder para que el valor de la "y" que es el nivel del
tanque sea igual a ¿Cuánto? Pues a la altura del tanque que viene
siendo un 30. Los 30 centímetros.
¿Qué es lo que haremos entonces en nuestra función?
O sea las cosas, se fijan, pues están you evidentes cuando you hemos escrito,
interpretado la pregunta y demás. Tengo una interrogación con la letra "x",
la variable "x." Y tengo un 30 asociado con la variable "y".
Entonces lo natural va a ser que nos estemos preguntando, o sea, ¿Cuándo "y de
x es igual a 30? Como que esta es nuestra pregunta.
¿Cuánto vale "x" para que y de x sea 30? Entonces tendríamos en nuestra letra "y"
un 30, y en nuestra letra "x" la dejamos ahí señalada para que procedamos a
sustituir el 30 en "y" y ahora despejar. Vamos a despejar de aquí nuestra "x."
¿Qué haríamos entonces? Yo como les he dicho, prefiero trabajar
esta parte, dos tercios de "x" you la voy a ver como si estuviese en el lado
izquierdo de la igualdad, y entonces me queda "dos tercios de "x" es igual a 30,
menos cinco tercios" lo cual nos daría que treinta por tres son noventa tercios,
menos cinco tercios, son ochenta y cinco tercios.
Y esto es dos tercios de "x", los números tres podrán cancelar y entonces nuestra
respuesta (vamos a ponerla acá arribita) sería (vamos a subirnos aquí) "x" es
igual a 85 entre 2." O sea sería 42.5. Entonces nuestra respuesta a la pregunta
de cuándo se llena el tanque sería decir: "Este tanque se va a llenar a los 42.5
segundos." Hemos hecho nuestro paso digamos de las "x" y "y" a un paso, a una
situación particular en donde you no cambiamos los nombres de las letras.
Nos quedamos con ellas, con "x" y "y." Pero en ésas pudimos interpretar la
situación que tenemos en el contexto práctico del llenado del tanque.
Y con esa interpretación y haciendo los procedimientos algebraicos necesarios
dimos respuesta a nuestra pregunta de cuando se llena el tanque.
Los invito a la próxima presentación donde profundizaremos aún más sobre
nuestro conocimiento de la función lineal.
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