Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Los Números Reales…un Campo Ordenado y Completo
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From the course by Tecnológico de Monterrey
1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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Entre números y cálculos
Hablaremos de números y operaciones con ellos. Puedes considerar en este módulo un repaso de algunos contenidos de Aritmética, pero está dirigido intencionalmente a que adquieras familiaridad con el campo ordenado y completo de los números reales.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
[MUSIC].
Continuemos todavía trabajando con nuestro campo de los números reales.
you hemos ejemplificado suficiente sobre las operaciones.
Me gustaría que en este video pudiéramos aclarar un poco de lo que es "orden", y
lo que es la "complete" en nuestro campo ordenado y completo de los números
reales. Entonces, recordemos estas palabras, y
veamos ahora una línea recta. Vamos a tratar de simplificar - digo más
bien, de aclarar - lo que es "ordenado". Cuando yo pongo mi recta real; pongo mi
cero, pongo mi uno, pongo mi dos, pongo mi menos uno.
¿Dónde lo pongo? Lo pongo acá..
Pongo mi menos dos. you estoy hacienda uso de el orden de los
números reales. Yo puedo establecer ese orden justamente
porque los tengo ordenados en esta recta. O sea, es común representar esto de la
forma -2 menos que -1 menos que 0 menos que 1 menos que 2.
Este orden es transitivo; o sea, yo puedo decir que el número -2 es menor que el
número 1. Y ciertamente si lo refiero a acá, a la
recta, quiere decir que aquí está a la izquierda el -2 del 1.
¿Se fijan? Uno ubica los dos puntos correspondientes
a estos números, y encuentra que éste está a la izquierda, y éste está a la
derecha. El de la izquierda es menos que el de la
derecha. Ése es el order en los números reales.
Pasan cosas curiosas cuando uno empieza a trabajar con los negativos.
Por ejemplo, supónganse que aquí ponemos un número que esté cerquita del 1, a su
derecha. A la derecha del 1, yo pudiera pensar en
el 1.1, o 01, ¿por qué no? 1.01.
Ahí está a la derecha. A la izquierda del 1 está, por ejemplo
vamos a poner, el .99. Entonces, yo sé que .99 es menor que
1.01; .99 está a la izquierda de 1.01. Vamos a ubicar los inversos aditivos de
estos dos números; o sea, si los colocamos acá en los negativos, tendría
que hablar de él aquí, después de éste; o sea, más a la izquierda estaría el -0.01,
y aquí, a su derecha, estaría el -.99 Entonces, ¿qué está pasando ahora con
respecto al orden en ellos? Ahora tendríamos que -1.01 es menor que
-.99. Muchas veces en nuestra cabeza, como
vemos estas cantidades, no nos gusta este signo de menor.
¡Cómo que el 1.01 es más chico que el .99!
O sea, debería ser más grande. Lo que pasa es que cuando tenemos you
nuestro orden establecido en nuestra recta numérica, el signo negativo
importa. Y entonces, tendremos que restringirnos a
ser más cuidadosos en su ubicación geométrica, como para poder hacer
decisiones correctas sobre estos símbolos de < (menor que).
del orden de los números reales. De la misma manera me gustaría, por
ejemplo, mostrarles que cuando tomamos números enteros pasan cosas como las
siguientes: Todos están de acuerdo en que el 2 es menor que el 3, ¿cierto?
Si yo saco el recíproco de ellos, 1/2 y 1/3, ¿qué va a pasar?
El 1/2 es el .5, y el 1/3 es el .3, etc. ¿Quién es más grande 1/2 o 1/3?
La verdad es que 1/2 es más grande. Entonces, en este momento el símbolo de
la desigualdad se cambió. Cuando tenemos expresiones como 1/2
aislada de 1/3, : pudiera ser que nuestra mente esté solamente viendo lo que está
abajo: el 2 y el 3. Eso es lo que más destaca.
Y al decir 2 y 3, uno piensa: -¡Ah, pues 2 es menor que 3!
Pero este < (menor) que está aquí lo estoy poniendo porque estoy observando
solamente la parte de abajo. En ese sentido estoy cometiendo un error.
Lo que quería yo remarcales a ustedes es que cada vez que tengamos números como
éstos, naturales positivos, en donde tenga un orden establecido; por ejemplo,
el 5 es menor que el 8, el 1/5 va a ser mayor que 1/8.
Esto que está aquí a lo mejor ahorita no lo perciben tan tan claro, pero
transportarlo a su expansión decimal gracias a una calculadora -podemos tomar
una calculadora- les puede llevar a comprobar la certeza de cómo este símbolo
de < (menor que) se transforma en un > (mayor que) cuando tomó los recíprocos de
estos números. Entonces, ésas serían unas observaciones
acerca del orden de los números. Me gustaría también acabar pensando en el
orden, pero de una lista de números. Una lista de números en matemática se
llama una "sucesión"; una sucesión numérica.
Una sucesión numérica es una lista de números que podríamos trabajar de
distintas maneras. Por ejemplo, si yo tomo una lista que
creo que you la hemos estado manejando aquí.
Pensemos en la lista: 1, 1/2, 1/3, 1/4, .....
Sí, you así nos vamos. you saben cuál es el que sigue, ¿no?
Si yo ubico en mi recta numérica esta lista, El 1 va, y se pone aquí.
El 1/2 viene, y se pone aquí. El 1/3 viene, y se pone aquí.
El 1/4 viene, y se pone aquí. ¿Qué está pasando?
A medida de que los estoy asociando con la recta numérica, observo que el primero
es el que está más a la derecha, luego a la izquierda, luego a la izquierda, luego
a la izquierda. O sea, en mi dibujo hubo, en el tiempo,
un dibujo hacia la izquierda. Las cantidades que estoy aquí enumerando
son cantidades que están decreciendo. Éste es un caso de una sucesión que
decrece; o que es "decreciente". Son números que se están yendo más hacia
la izquierda cuando los ubico. Esto es con respecto a esta sucesión,
vista -digamos- en términos de quebrados. Es importante que en todo esto practiquen
también con la expansión decimal de esos números.
Si yo ahorita les escribo esta sucesión en términos de expansiones decimales,
diría: 1, .5, .3, y ahora sí le voy a poner esta barrita arriba para decir que
es un 3 interminablemente 3. En 1/4, ¿cuánto viene siendo en 1/4?
Vámonos ahorita si quiere a 1 entre 4. Nos va a quedar un .25.
you funcionó mi mente, ¿no? 1/5 es un .2, ¿que no?
1/6, ¡ah, caray! 1/6 you lo puedo comparar con esto.
No sería como que la mitad de éste. O sea, que nos va a quedar .....
¿un qué? Vamos a verlo ahora si vamos a usar
nuestra calculadora, ¿no? Ponemos aquí ....
este..... Vamos a poner 1 entre 6, y el igual nos
da esta cantidad. Sí, era de lo que me quería acordar.
¡Qué bueno que sale ahorita esto! Miren este 7 que puso la calculadora.
¿Por qué me puso un 7? Porque redondeó.
Nosotros sabemos que ésta era una lista interminable de seises, después de este
1, y aquí ella simplemente redondeó. Entonces, podríamos decir que nuestra
expresión acá sería 1. Perdón, era un 0.16, y con la barrita
aquí arriba para decir que es interminable 6.
Así nos podemos ir. Y a mí me gustaría que hicieran esta
lista en este sentido, para que ustedes observen cómo se van hacienda las
cantidades, las expresiones decimales, cada vez diferentes.
Algunas son finitas, otras son infinitas, periódicas.
Todas deberán de ser periódicas en el caso de ser infinitas, porque no estamos
trabajando para nada ahorita con los números irracionales.
Pero vean cómo se comportan estas listas. Es una forma muy ágil también de poder
mantener un contacto más cercano con los quebrados, y los números decimales si
simplemente le cambiamos el signo a nuestra sucesión.
Vamos a ponerlo en este otro papel. Le voy a cambiar el signo a esta sucesión
que you teníamos. Entonces, ¿qué sería?
-1, -1/2, -1/3 -1/4, -1/5, y así nos vamos.
Vamos a ubicarla: Aquí está mi 0. Aquí está mi -1.
Empezamos aquí. Seguimos acá.
Seguimos acá. Seguimos acá.
¿Cierto? Cuando estoy hacienda esta asociación, yo
estoy pensándolo: -1/2, -1/3, .... ¿Qué podríamos decir de esta asociación?
Ésta es una asociación "creciente". Es una asociación que está creciendo.
¿De acuerdo? Es más, es una asociación que no se pasa
del 0. ¿Cierto?
No se pasa del 1. Puedo ponerle aquí una barra y decir: -De
aquí no se pasa esta asociación. Los estoy acercando a una idea matemática
que se conoce como una sucesión -en este caso- creciente y acotada.
Decir "acotada" es decir lo que les decía: no se pasa de aquí.
La "complete" es el hecho de que los reales sea un campo ordenado y completo,
quiere decir que toda sucesión creciente y acotada de números reales es
convergente. "Convergente" es un término muy
matemático también. Convergente quiere decir que esta
asociación se está acercando a un número. Aquí veo una tira interminable de puntos,
y puntos, y puntos; nunca voy a acabar. Pero puede hablarse de la certeza de un
final, un final; un final feliz en matemáticas, que nos diría cuál es el
número al que se están acercando todos esos números.
Yo pienso que esta imágen, esta imágen de nuestra recta numérica, no les haga
batallar en que podríamos decir que ese lugar al que tiende esta lista es
justamente el número cero. Eso matemáticamente se escribe: -bueno,
aún y cuando alguno no lo conocía- se escribiría de esta manera: límite cuando
n tiende a infinito de menos 1 en n es igual a 0.
Este concepto de el límite, y de este 0 al que es igual, que está aquí, nos está
dando la certeza de llegar a ese lugar; nos está dando la certeza de un final
feliz. O sea, de un número al que estamos
nosotros acercándonos cada vez más. Este número a veces es algo fácil de
descifrar; . a veces no lo es.
Por ejemplo, ¿se acuerdan ustedes de qué número 1/3 es un .333 ...
interminables treses, que matemáticamente se escribe como .3 con un guioncito
arriba para significarlo? Bueno, pues ahorita podríamos ver este
número 1/3 como el finalr lugar, o el final feliz al que converge la asociación
.3, .33, .333, .3333, ..... y así me voy.
you saben lo que estoy escrbiendo, ¿no? Este número 1/3 puedo verlo como el lugar
al que se llega en esta lista infinita. Ese lugar al que se llega en esta lista
infinita es un lugar que tiene una representación compacta, como lo tenemos
aquí. Vale la pena, ahorita estoy pensando, que
esto lo transporten a quebrados, Este .3 es 3/10, Este .33 es 33/100, Este .333 es
333/1000, y así me voy. Vean ustedes, comparen esta lista con
esta lista. Para nuestra mente tiene que ser
exactamente lo mismo. Espero que esto les ayude a no cometer,
digamos, una imprudencia numérica de decir que 1/3 es .33, porque en ese
momento ustedes estarían diciendo que 1/3 es lo mismo que 33/100, lo cual es
incorrecto. Una última lista que me gustaría
ponérselas como una asociación, creciente y acotada, es la lista que va a dar lugar
al número tan especial que ustedes podrán reconocer por sus primeras cifras o
aproximaciones: 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, .....etc, etc.
Estoy aquí, tratando de evocar una manera de aproximarme cada vez más ....
¿a quién? ....
al final feliz que va a ser el número raí de 2.
En ese momento gracias a las sucesiones, en este caso crecientes y acotadas, y la
certeza de que son sucesiones convergentes, podemos definir todo número
irracional como el límite de una de estas sucesiones.
En ese sentido, digamos, este número you tiene su carta de ciudadanía dentro del
conjunto de los números reales. Como bien lo decía mi professor, hemos
dado la carta de ciudadanía a raíz de 2, y a cualquier número irracional.
Hemos acabado entonces. ahorita con la aceptación de nuestro
conjunto de los números reales como un campo ordenado y completo.
Nos vemos en el siguiente video, donde trataremos de operar ahora con
exponentes.
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