Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
¿Cuándo se llena? ¡Resolvemos cuadráticas!
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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De un MUA transferimos a un CUA
Hablaremos nuevamente de la importante acción de transferencia cuando aprendemos Matemáticas. El conocimiento generado en el contexto real del movimiento en línea recta lo vamos a transferir a otros contextos reales con la intención de, posteriormente, generalizar al contexto matemático.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues nos habíamos quedado en la vez pasada con aquel tanque
que se estaba llenando de agua, imagínense ustedes ahorita ¿Cuál sería esa situación?
Nuestro tanque tenía dos llaves.
you le habíamos puesto hasta colores, una llave roja, una azul.
Y con esas llaves, estábamos trabajando lo que habíamos conocido con anterioridad,
empezamos a hacer una construcción de lo que sería la
función que nos calcula el nivel del agua en el tanque,
estábamos razonando que ese nivel iba a estar subiendo, y
nos hicimos una pregunta, ¿Cuándo se va a llenar el tanque?
Quisiera regresar sobre lo que escribimos en esa ocasión para que retomemos
en que nos habíamos quedado y para que de nuevo veamos porqué necesitamos
el día de hoy, hablar de la ecuación cuadrática.
Tenemos entonces, en la filmina, si
ustedes recuerdan, habíamos hecho you algunas cosas,
tenemos aquí nuestras dos llaves, una con razón de cambio constante, esta razón
de cambio constante me está diciendo que el nivel de agua sube 2
centímetros cada segundo y la otra llave tiene una razón de cambio variable,
¿en que se nota que es variable?
en esta letra t, por que le doy distintos valores a t, obtengo distintos valores de
la R, esta llave es entonces una llave tal que se está abriendo paulatinamente,
está abriéndose con un ritmo constante y la aportación de esta llave
va a ser cada vez mayor para el nivel del agua por que cada vez va a entrar
más agua por culpa de esta llave.
Entonces habíamos visto que para la razón de cambio constante de 2 de la llave
roja, habría una aportación de 2t para el nivel del agua, para la llave de
color azul la aportación que le daría el nivel es un 2t cuadrada que obtuvimos
con lo que habíamos aprendido anteriormente en el
contexto del movimiento, o sea, el número 4
lo dejamos en la mismita posición que tenía y en lugar de esta letra t, pusimos
t cuadrada entre dos y entonces nos quedó
2t cuadrada haciendo la operación, tenemos entonces nuestra expresión
para el nivel del tanque, y luego nos
hicimos nuestra pregunta cuando se llena y entonces dijimos,
hay que igualar a 100, igualamos a 100,
y obtuvimos una ecuación cuadrática, la tareita fue investiga
que es eso de la ecuación cuadrática, o investígalo
en tu cabeza, ¿qué es lo que recuerdas de ella?
Lo hayan hecho o no, no importa, vamos a ver ahorita con detalle, ¿cuál es esa
cara de la ecuación cuadrática que probablemente ustedes
reconocieron en su investigación o en su cabeza?
Yo les voy a presentar la ecuación cuadrática con la
cara que digamos en todo el mundo se le conoce,
esa cara va más o menos así, tienes una a por una x
al cuadrado más una b por una x más una c
igual a cero, típicas letras que se utilizan para la ecuación cuadrática
a, b, c, vamos a llamarle el abc de la ecuación cuadrática.
¿Por qué es una ecuación cuadrática?
Por que mi variable x está al cuadrado aquí, aquí está
lineal, aquí no hay más que un número c, you no aparece la variable x,
y entonces el hecho de que sea aquí un cuadrado me dice, soy ecuación cuadrática.
¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?
¿Cómo se resuelve?
A parte de decir que con mucho cuidado, tendríamos que
hablar de diferentes formas que habrían ustedes abordado con anterioridad,
hay una forma que es para mi la buena, y
tan buena es que se le llama la fórmula general.
La fórmula general para resolver una cuadrática es
esa fórmula que vamos a recordar aquí, que vamos a
operativizar por que es la ideal, como su nombre lo indica es general.
A lo mejor ustedes aprendieron en la prepa o secundaria, formas de factorizar una
ecuación cuadrática yo les aseguro que esas
formas de factorizar estuvieron construidas porque las ecuaciones
cuadráticas que resolvieron son ecuaciones cuadráticas muy
simples cuya solución es 2 o 3 o
4, sin embargo en este curso, una cosa que hemos estado haciendo consciente es que
la continuidad de los números reales me hacen pensar, you no
nada más en los enteros, en los racionales, en los irracionales también.
Entonces vamos a tratar de que
nuestras cuadráticas, nuestras ecuaciones cuadráticas, no sean
ecuaciones cuadráticas muy bien comportadas, que no
sean construidas para que se resuelvan fácil.
Vamos a tratar de que cuando estemos
enfrentados a una ecuación cuadrática, esta
pueda ser de cualquier tipo, con soluciones
reales o con soluciones incluso, vamos aquí a recordar lo que son los
números imaginarios, cuando sean reales vamos
a distinguir si son enteros, racionales o
irracionales, entonces para eso les escribo
aquí la ecuación, la fórmula general, perdón.
Esta fórmula general dice más o menos así,
voy a tomar otro color, esta x es como despejar la x, hagan
de cuenta que aquí estoy despegando la x, x es igual a
menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 ac sobre 2a,
esta es la famosa fórmula general para resolver una ecuación cuadrática.
Típico, vean como esta
raya de aquí, abarca toda la expresión, por que
es típico que los estudiantes la ponen aquí abajo, okay.
Y vean aquí, tenemos un más menos, este signo negativo es
importantísimo, a veces es muy muy olvidado en los estudiantes, ahora veamos
como se aplica esto en la situación que teníamos, me voy
a la hoja que teníamos antes, la pongo justo aquí y entonces
vean nuestra ecuación cuadrática color naranja y la ecuación cuadrática general
en color azul, okay. Si ustedes ahorita hacen una primera
observación dirían aquí tengo t y acá tengo x, ¿de acuerdo?
Es un primer cambio que estamos haciendo en los
nombres de las letras que estamos usando ¿por qué?
Porqué acá tenía sentido que la
t represente un tiempo, entonces aquí vemos t
cuadrada, aquí vemos x cuadrada, hagan esta identificación,
es una identificación muy visual, aquí tengo t,
aquí tengo x, aquí tengo menos 50 y aquí
tengo c, vamos haciendo las cosas entonces, poco
a poquito, vean ustedes esta letra a, esta letra
a está detrás de x cuadrada, me voy a ir a acá en t cuadrada y les
diría ¿qué ven detrás de t cuadrada? Y con buena razón ustedes me dirían,
no vemos nada porque no se ve nada, atrás de t cuadrada no hay nada, ¿cierto?
Curiosamente en matemáticas, se los he insistido, matemáticas
es un lenguaje también, y el lenguaje matemático es
muy importante para poder operar con las matemáticas,
¿ustedes no ven nada atrás aquí de t cuadrada?
Pues la necesidad
es de que ustedes vean un 1, cuando yo
digo 1 por t cuadrada, escribo solamente t cuadrada, entonces
en este momento mi letra a vale 1, a es
el número que está detrás de x cuadrada, aquí ese
número detrás de t cuadrada es un 1, de la
misma manera esta letra b es el número que está
detrás de la x, si me voy aquí a mi
ecuación es el número que está detrás de la t,
detrás de la t no hay nada, me van a
decir, y yo les voy a insistir, no vez nada,
pues ponle un 1, porque 1 por t es lo
mismo que t, entonces la letra t vale 1, okay.
Finalmente la letra c es este número que
está aquí solo, y acá tendríamos que decir este
50, pero cuidado pues ese 50 tiene un signo
asociado, entonces nuestra letra c va a ser justamente
menos 50, ¿qué fue lo que hicimos en este momento?
Hicimos una identificación de estas letras a, b y c, con los
números que están aquí en la expresión que construimos para el nivel
del agua en el tanque, bueno no para el nivel sino cuando
igualamos el nivel a 100, cuando andamos preguntándonos cuando se llenó el tanque.
Es importante que a estas letras les diga yo que se les llama coeficientes
pues a lo mejor al rato voy a estar diciendo el coeficiente de x cuadrada, o
de x o de c, y es bueno también tener ese lenguaje de los términos matemáticos que
se manejan en esta ecuación cuadrática, total, you
tenemos identificados nuestra a, nuestra b, nuestra c,
lo que nos sigue ahora es utilizar nuestra
fórmula general con esos valores, entonces vamos a hacerlo.
¿Qué es lo que tendríamos
en nuestro caso?
Tendríamos entonces que nuestra, voy a devolverme al color naranja, para recordar
que de acá venimos, entonces nuestra t, va a ser igual, tengo x puse t,
dice menos b, tengo la b aquí, entonces le pongo menos 1, más
menos, este es más menos raíz cuadrada de b cuadrada ¿quién es la b?
la b es un 1,
entonces ese 1 está al cuadrado, se los pongo
con este paréntesis por que muchas veces cuando la b
es negativa se les olvida poner ese paréntesis para
decir que todo el número se eleva al cuadrado ¿okay?
Entonces ahorita haré que en alguna ocasión nos aparezca esto,
entonces seguiría menos 4 veces la a, ¿cuanto vale la a?
La a vale 1 por la c.
¿Cuánto vale la c? La c vale menos 50
y todo esto sobre todo sobre, dos veces la a que vale un 1, ¿okay?
Entonces ahorita lo único que hicimos fue sustituir, fíjense esto
fue una sustitución de estos valores, en la fórmula general
y en este momento lo que haremos es operar aritméticamente
con estos valores, vamos a ponerla aquí, ahí está nuestra
sustitución, nuestro valor de t, seguimos entonces y nos quedaría t igual a menos
1 más menos raíz, un 1 al cuadrado es un 1, 4 por 50, ni
calculadora necesito esto es un 200, verdad, y aquí nos queda 2 por 1
es 2, total nos quedó un menos 1 más menos raíz de 201, entre 2.
En este momento yo diría ese número me cae que va a ser un número irracional,
para hacer esta operación pues ahora
tenemos nuestra calculadora, ahora nos trajimos la
calculadora de los números chiquitos, aquí tenemos
nuestra calculadora, pues sí si están chiquitos.
Fíjense como me encanta en esta calculadora
que podemos hacer la misma escritura que tengo
yo acá arriba, salvo ese entre 2,
pero pude también haber utilizado un entre aquí,
entre 2, se ha hecho la operación, y noten que yo puse un más no puse
el menos, si le ponemos ese mas, entonces aquí nos va a dar una solución, voy a
anotarla de este lado, esa solución la voy
a aproximar porque vean ustedes todos los decimales,
seguramente esto va a ser un irracional, nos
queda un aprox, voy a poner el aprox, 6.58,
vamos a poner tres decimales 6.588 ¿okay? ¿Qué otro valor me falta?
El otro valor sería que yo aquí le quite fíjense en este
más, lo quito y le pongo un signo de menos, you apareció
ahí signo de menos, y le decimos respuesta no, respuesta no, le vamos a decir
que simplemente calcule el igual, nos quedó un menos 7.588
aproximadamente, menos 7.588, quedaron los
dos valores que tenían que salir, por que aquí tenemos un más menos,
las dos opciones dan los dos valores. ¿Cuál de estos valores es el bueno?
A todas luces uno tendría que decir este para fuera.
¿Porqué lo sacaríamos de nuestras respuestas?
Pues por que es un tiempo,
y un tiempo ahorita negativo no tiene sentido,
lo pasado pasado dijimos, entonces nos quedamos con
la respuesta 6.588, una respuesta aproximada por el
tipo de número que salió en la solución.
Vamos, podríamos entonces concluir, con nuestro trabajo diciendo, vamos
a traernos nuestra pregunta, ¿cuál era nuestra pregunta?: ¿Cuándo
se llena el tanque? Entonces aquí
respondemos a los
aproximadamente
6.588 segundos, que rápido
estuvo esto no, a lo mejor debieron de haber sido minutos mejor,
el tanque se llenó.
Okay, el tanque se llenó, ¿qué hemos hecho?
hemos podido resolver esta pregunta, una pregunta que nos
hicimos aquí, habiendo planteado la situación real del llenado de
los tanques, el hecho de haber considerado esta situación
real nos permitió conectar que hay dos razones de cambio,
una por cada llave, y cada una de ellas va a
aportar a lo que es el nivel del agua en el tanque.
Entonces con cada una de ellas, tuvimos una aportación
para la construcción de la función del nivel, ¿qué hicimos?
al preguntar igualamos a 100, al igualar a 100 salió
esta ecuación cuadrática, hemos recordado lo que es la ecuación cuadrática,
hemos recordado lo que es su fórmula general para
resolverla y finalmente, pudimos dar respuesta a nuestra pregunta
calculando, bueno fue necesariamente un valor aproximado, los 6.588
segundos en que tendríamos que el tanque se llenó.
Yo los voy a dejar en esta ocasión
con esta imagen, me gustaría mucho que pensaran
ustedes en esta imagen visual realmente también mucho de lo algebráico es visual,
o sea las nuevas investigaciones que se
están haciendo o que estamos también nosotros
tratando de fomentar usan como lo visual es muy determinante en el aprendizaje de
las matemáticas, me gustaría que esta imagen fuera como un sello en su
cabeza, en donde distingan ustedes como el mismo ordenamiento de las
letras es importante, si yo les pusiera la ecuación cuadrática, voy a hacer
una prueba nada más, para dejarlos con ella, fíjense si yo digo que mi ecuación
cuadrática por azares del destino se escribió con las letras
por x menos z por x cuadrada
igual a vamos a poner aquí una
s, esto que está aquí es una ecuación cuadrática para la
variable x cuadrada. ¿Quién es a, quien es b, quien es c?
En este momento,
ustedes necesitan en su cabeza ordenar esta
expresión algebráica para que tome esta forma que está abajo.
Si lo han pensado you deberían de estar viendo por ejemplo,
la expresión menos z x cuadrada, mas wx menos
s igual a 0 y en ese momento mi letra a estaría
identificada con menos z, mi letra b estaría identificada con w, y mi letra
c estaría identificada con menos s, en este sentido, con esta ecuación la lectura
de la fórmula general sería muy distinta de la que tenemos, esta es una
habilidad que en nuestra mente tiene que
funcionar, es una habilidad que no es innata,
traten ustedes de lograr lo que les decía aquí, y
expresen la fórmula general con las letras que están acá, cuando lo
hayan logrado habrán hecho una
interiorización de la representación que tenemos
para la fórmula general cuando se está resolviendo cualquier ecuación cuadrática.
Yo los espero en el siguiente video, los dejo con
ese encargo de que you sea algo muy visual su solución de la ecuación cuadrática con
la fórmula general, y la vamos a aplicar en distintas ocasiones para distintos
problemas, necesariamente seguiremos un buen rato con los tanques.
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