Venimos de una sesión anterior donde tuvimos ocasion de armar un rompecabezas. ¿De qué estamos hablando? Se supone que es una clase de matemáticas y hemos estado hablando de rompecabezas. Realmente esto es una intención muy clara de nuestra parte por tratar de hacer este aprendizaje de las matemáticas algo de cierta forma como un juego. Lo que hicimos con el rompecabezas fue realmente hacer una asociación entre gráficos. Eso es algo que a mi forma de pensar se puede hacer ahora en la actualidad gracias al uso de la tecnologÃa. Antes las clases de matemáticas estaban llenas de fórmulas y números. Y probablemente ustedesd estén diciendo ¿Y ahora cuando vamos a hacer los ejercicios? Sin embargo, como les digo ahorita, la matemática es plena de imágenes. Ahora podemos tener graficadores que no pueden estar diciendo, "diciendo" entre comillas lo que está pasando con una expresión algebraica. O podemos calcular valores numéricos gracias a que los vimos en ese gráfico y esos valores numéricos son importantes para algo. En ese sentido, encontrarán que este discurso siempre estaremos tratando de enfatizar aspectos visuales ó gráficos dentro de todo el desarollo. No como una cosa aparte sino como algo integrado detro del mismo aprendizaje. Entonces si venimos del rompecabezas y quedaron digamos un poco asustados de si eso es ó no es matemáticas, yo quisiera que me dieran la oportunidad de retomar este tipo de temas. A lo mejor posteriormente. Pero, es importante que ahorita hagamos un regreso. O sea vámonos a lo algebraico. Voy a pasar de lo gráfico que hemos aprendido, a un digamos parétesis algebraico y numérico que es útil porque nuestra intención es desarollar en ustedes una competencia. Una competencia de estar pasando, transitando de una representación a otra. ¿Cuáles representaciones? Pues la representación digamos del fenómeno real que estoy analizando, en nuestro caso el movimiento. La representación algebraica, la representación gráfica, y la representación numérica. Entonces, en este momento me gustarÃa que me acompañaran nuevamente con nuestro software SimCalc, donde tenemos a nuestra chica y aquà les voy a recordar a ustedes como es que construimos algunas de las piezas del rompecabezas. Por ejemplo, esta imagen que ustedes tienen. La idea serÃa evocar en ustedes you la sensación de lo que va a ser el movimiento de la chica. O sea, yo puedo pensar ahora viendo el gráfico de la velocidad, que esta chica, al tener una velocidad positiva se va a estar moviendo hacia la derecha. Y al tener una velocidad que aquà estoy viendo sus valores numéricos positivos que estan creciendo, puedo decir que la chica va ir a la derecha cada vez más rápido. Y lo puedo comprobar. O sea, si la pongo a caminar. Esta es la ventaja que tenemos en este software que nos está permitiendo ver en el tiempo la relación que existe entre los gráficos. Ahorita por ejemplo, estamos viendo que este gráfico y este gráfico tienen una relación entre sÃ, habÃamos visto en el rompecabezas. ¿A qué me refiero? Aquà veo un gráfico que está creciendo y con cambio hacia arriba. Por otro lado, si yo acciono la velocidad y la pongo de esta manera, vean ustedes como el gráfico de la posición también fue afectado. Esta manera de afectar el gráfico que ahora lo vemos cóncavo hacia abajo y decreciente, esa afectación también me esta diciendo algo del movimiento de la chica. Tengo ahorita velocidades negativas Eso me dice que la chica está volteando mal. DeberÃa de estar volteando para la izquierda. Bueno, inmediatamente la animación lo va a hacer. Tengo además valores de velocidad negativos pero que digamos son más negativos cada vez. O sea, realmente dentro de los números reales tengo que decir que esa es una sucesión digamos de valores numéricos de velocidad que está decreciendo ¿Ok? Sin embargo en términos de rapidez, uno tendrÃa que decir que hay más rapidez solo que a la izquierda. Nuestra chica efectivamente se va a ir hacia la izquierda cada vez más rápido. Y ahora observamos en esta relación de los gráficos que tenemos una velocidad negativa, una posición gráfica decreciente, una velocidad decreciente y una gráfica de posición cóncava hacia abajo. Y si solamente ahora hago el ejercicio mental de pensar en la gráfica de posición, yo deberÃa de interpretar que el hecho de verla decreciente me dice que la chica iba para la izquierda. Y el hecho de verla ahora cóncava hacia abajo, piensen en aquellos triangulitos que les he puesto a medida que pasa el tiempo, y comprueben entonces que puede uno interpretar que corre más distancia a medida que pasa el tiempo. Eso me dice que la chica va hacia la izquierda cada vez más rápido. Finalmente, si ahorita acciono el software y lo subo acá. Vean ustedes como se afectó el gráfico de la posición. Ahora vemos una gráfica de posición creciente y cóncava hacia abajo. El hecho de ver esta velocidad decreciente me implicó esta concavidad hacia abajo en el gráfico de posición. Puedo hacer mi interpretación con cualquiera de los dos gráficos. Si veo la velocidad, entonces lo que estoy viendo es que una velocidad positiva por ende la chica va ir a la derecha. Veo una velocidad que está decreciendo en valores positivos. Entonces puedo decir que la chica va cada vez más lento. ¿Ok? Eso lo estoy haciendo interpretando el gráfico de velocidad. Si interpreto el gráfico de la posición tendrÃa que ver un crecimiento y concavidad hacia abajo lo que me indica que el crecimiento de la chica va a la derecha y la concavidad hacia abajo pensando en esos triángulos viendo la posición, cuánto avanza, en cada instante posterior. PodrÃa decir entonces que la chica va cada vez más lento. Y el software, claro, me va a permitir poderlo decir. O sea, les digo ahorita tenemos como tres ventanas, tres ventanas para que nuestro pensamiento se ponga a funcionar. Esta, bueno, pues es más visual. Ver la animación. Esta es interpretar en términos de una velocidad lo que el movimiento va a hacer y éste se interpreta en términos de la gráfica de posición lo que el movimiento va a hacer. Por otro lado podemos decir que hay una relación entre ésta y ésta. Entonces, nuestra pieza del rompecabezas me dice que la pieza donde la velocidad tiene este tipo de comportamiento corresponde con una gráfica de posición como esta, donde quedamos en que la posición inicial era cero. ¿Recuerdan? Para no alterar ahorita digamos en ese sentido nuestros gráficos. Por otro lado lo que nos faltarÃa serÃa tener el caso de una velocidad que fuera, que sea negativa pero que estuviese creciendo. Asà como ésta. Y entonces ésta serÃa como un cuarto tipo de movimiento que serÃa, que dirÃamos nosotros al ser negativa las velocidades tendrÃa un movimiento hacia la izquierda. Al estar teniendo datos de velocidad cada vez más cercanos al cero dirÃamos que va cada vez más lento hacia la izquierda. Este gráfico de la posición también me lo indica. El decrecimiento del gráfico me dice que la posición de la chica va hacia la izquierda y por otro lado el hecho de que el gráfico sea cóncavo hacia arriba me está diciendo que la chica se esta moviendo cada vez más lento. Es este gráfico cóncavo hacia arriba que está decreciendo. FÃjense entonces que finalmente tenemos como que cuatro tipos de movimientos distintos sobre los que vamos a tener que accionar. Vean como este último que tengo you exige tener una velocidad inicial que no sea cero. Cosa que no habÃamos hecho cuando hemos trabajado con la representación algebraica y no me voy a pasar ahorita a considerar este caso. Quisiera que antes repasemos un poquito más aquella situación en donde la velocidad inicial sà era cero y entonces lo que voy a hacer ahorita es permitirme mover algo asà pensar an algo como esto. O sea pensar que es una velocidad negativa que está decreciendo. Pensar que nuestra chica va ir hacia la izquierda cada vez más rápido y moverle un poquito la posición inicial ahorita a ella, no a la velocidad. Vamos a dejar una velocidad inicial cero. Vamos a afectar la posición inicial de la chica para observar un tipo de movimiento como es este. Va a ser un movimiento hacia la izquierda que va ir cada vez más rápido y en este momento hagámosnos preguntas que podamos contestar con la representación algebraica y la numérica. Entonces para eso, voy a abrirles aquà un documento donde you tenÃa yo un caso en particular para meter ahorita los números apropiados y podamos observar que estamos llegando a lo correcto. Esa también es una de las ventajas de estar transitando entre lo algebraico y lo gráfico y lo numérico, que uno tiene la oportunidad de ver en lo gráfico si lo que está saliendo en los procesos algebraicos ó numéricos es o no es correcto. Entonces si ahorita me acompañan en la pantalla tengo una imagen en donde la chica va a moverse a partir de la posición inicial 15 y se mueve hacia la izquierda cada vez más rápido. Vamos a encontrar por ejemplo este lugar. Si ustedes están viendo ahorita el cursor donde yo lo tengo, se trata del lugar en donde que en donde la chica pasó justamente por el origen. de la recta en que se mueve. ¿Por qué? Porque estarÃa haciendo yo que la posición sea cero. Si yo animo ahorita (vean ahorita lo van a ver con la chica), es justo cuando pase por aquÃ. El momento en que ella pase por aquÃ, ése es el momento que nosotros anamos buscando aquÃ. Ahà fué. O sea donde podrÃamos tratar de mover esta recta, hacerlo paso por paso para ir viendo más o menos por donde es. Se va a ver como en slow-motion a la chica, tratando de capturar el momento ahÃ. Hasta me pasé un poquito el momentito donde iba a pasar por ahÃ. Bueno, ese momentito lo vamos a sacar pero con números con formulas algebraicas. Entonces para eso es importante que sepamos construir primero la función de velocidad. ¿Cuál es la función de velocidad que tenemos en este caso? Ahà necesito observar muy bien los números que estan en el gráfico. Esta velocidad, si ustedes me permiten, vamos a tomarle aquà una foto para que la podamos llevar a otro lado y poder escribir sobre ella. Esta velocidad tiene digamos un dato inicial, digamos de ser una velocidad inicial igual a cero. Cierto. Sabemos que es una recta. También eso lo sabemos. Entonces nuestra velocidad tiene un valor inicial que es un cero, más y luego aquà lo que tendrÃamos que es la razón de cambio de la velocidad que es algo constante y que es justamente la pendiente de la recta, o sea su razón de cambio. Esa razón de cambio la podrÃamos percibir como un delta v entre un delta t. Y esa delta v entre delta t lo andamos buscando en el gráfico sabiendo que tenemos este punto. El punto este que les estoy ahorita señalando, lo acomodé para que fuera un diez coma menos siete. Pensemos que es diez coma menos siete y entonces tratemos de construir lo que serÃa la razón de cambio de v con respecto a t. Si ustedes piensan por ejemplo en, fÃjense en los triángulos que yo les he trazado son como éste o como éste, puedo trazar un triángulo enorme, que vaya de aquà de aquà hasta acá. Este triángulo tiene su respectiva delta v que es menos siete, y su delta t que es un diez. ¿Entonces del delta v entre el delta t cuánto nos quedó? Menos siete sobre diez ¿no? Entonces aquà pondrÃamos menos siete entre diez, por la t. ¿Ok? Por otra parte, en el gráfico de la posición, you hemos aprendido que esta posición que corresponde con una velocidad igual a a por t, es igual a la posición inicial más un medio de la aceleración, la letra a. En este caso serÃa menos siete entre diez. Menos siete entre diez por, ¿que nos faltarÃa aquÃ? Nos faltarÃa t cuadrada. Esa serÃa nuestra expresión para la posición. Si hacemos un poquito de las operaciones, me gustarÃa que me acompañaran aquà en el papel para ver como podrÃamos con una poca más de simplicidad las expresiones. Entonces yo las voy a copiar de las que tengo aquà en la ventana. Tengo una velocidad v de t, que es igual justamente con ¿que dijimos? cero más menos siete sobre diez por t. Vean como esta expresión parece complicada. Voy a simplificar siete entre diez, este es un punto siete ¿no? Entonces aquà me queda un menos punto siete por t. A veces no es costumbre trabajar con los decimales, con los quebrados. Igual vamos a hacerlo ahorita y de una manera tratando de hacer que sea natural y fluido. La posición por su parte, la posición la tenemos igual, dijimos acá a la posición inicial más un medio ¿de qué serÃa? del menos punto siete por t cuadrada. ¿Ok? O sea en este caso ese valor inicial de la posición si recuerdan ustedes en el software donde tenÃamos a la chica, era una posición inicial de quince y aquà nos quedaria menos un punto siete entre dos t cuadrada. De acuerdo, hice la multiplicación de un medio por menos punto siete. Me queda menos punto siete entre dos. O sea esto serÃa un quince menos punto treinta y cinco t cuadrada. ¿De acuerdo? Entonces esta serÃa nuestra expresión de la posición. Y ésta es nuestra expresión de la velocidad. Estas dos expresiones juntas me estan modelando lo que pasa en el movimiento de la chica, que es que su movimiento hacia la izquierda es cada vez más rápido. ¿Que nos vamos a preguntar? Nuestra pregunta fué: ¿Cuándo, cuándo pasó por el origen? ¿Cuál origen? O sea el origen de la recta en que se mueve. Acuérdense que estamos hablando de un rectilÃneo. ¿Entonces cuándo pasó por el origen de la recta en que se mueve? Esa serÃa una pregunta que tendremos que contestar utilizando estas dos informaciones. Es importante en este momento que cuando tengamos la pregunta sepamos interpretar. ¿La pregunta de un cuándo está haciendo alusión a qué? "Cuándo" está haciendo alusión a un tiempo. Y la condición que yo tengo, o el dato, es que pasó por el origen de la recta en que se mueve. O sea, la x va a ser igual a cero. O sea la x que depende del tiempo va a ser cero. ¿Ok? Eso nos está forzando a que volteemos a ver a esta expresión. Y en esta expresión lo que vamos a hacer es una igualación. Una igualación a cero en la expresión. Esto nos lleva a que quince menos punto treinta y cinco t cuadrada igual a cero. O sea, voy a pasar éste como es negativo al otro lado. Quince es igual a punto treinta y cinco t cuadrada. ¿De acuerdo? ¿Cuál serÃa el siguiente paso? Este punto treinta y cinco que multiplica a t cuadrada va a pasar dividiendo al quince y entonces nos queda quince entre punto treinta y cinco es igual a t cuadrada y finalmente you podrÃamos nosotros pues escribir, (vamos a escribir acá) que nuestra t es igual a más menos la raÃz de quince entre punto treinta y cinco. Puse más menos por sacar un radical pero siendo justos con la situación ¿qué vamos a decir? Ese menos no nos interesa porque no estamos en el pasado, no son tiempos negativos y lo único que nos resta ahora es traer nuestra pequeña calculadora para hacer la operación y comprobar que nuestros trazos algebraicos fueron los correctos. Vamos a poner aquà la calculadora. ¿Entonces que es lo que vamos a decirle a la calculadora? Calculadora saca la raÃz de un cociente. ¿Ven como esta calculadora tiene esta ventaja. Nos está escribiendo perfectamente lo que queremos hacer. Vamos a poner aquà un quince. Nos bajamos. Ponemos un punto 35 y yo creo que será suficiente. A ver. Igual a seis punto cinco cuatro seis cinco tres seis siete cero siete cero ocho. Uy. Será ése un número racional? Probablemente sÃ. Me gustarÃa que este momento volteemos nuevamente a nuestra pantalla en la computadora. Y comprobemos que ese número, ese número que sacamos es ese número que anda por aquÃ. Yo tengo ahorita este viendo mi calculadora. Entonces puedo ponerle aquà aproximadamente seis punto cinco cuatro seis cinco y etcétera y etcétera. Pero ahorita podemos hacernos a la idea de que hemos hecho nuestras operaciones correctamente. ¿Por qué? Pues porque estamos viendo que incluso en el gráfico se nota que es el valor que esperabamos. Siendo exactos tendrÃamos que decir que t es igual a la raÃz de quince entre punto treinta y cinco ¿no? Ok, que es algo que incluso podrÃamos nosotros interpretar y poner en términos de radicales de un quebrado de enteros como, podrÃamos poner mil quinientos entre treinta y cinco. Esta serÃa una manera de para que podamos nosotros expresar digamos como la raÃz de un número racional. Seguramente se va a tratar entonces de un número irracional hemos dado una aproximación de él , y con esto hemos hecho ahorita un pequeño repaso donde lo gráfico nos llevó a lo algebraico y de lo algebraico pasamos a lo numérico. Después regresamos a lo gráfico para comprobar que nuestro procedimiento fué correcto. Nos vemos en la próxima presentación donde ahondaremos en este tema.
