Pues, regresamos aquí a nuestro curso donde estamos
incursionando en esto de la ecuación cuadrática y la función cuadrática.
Yo les había prometido en este curso que íbamos a hacer uso de tecnología.
Y realmente, créanme que esa es una convicción que tengo.
En la actualidad, es necesario que nosotros podamos interactuar con la
tecnología que se está produciendo, que está
cambiando, que está emergiendo en cada día.
Y, quisiera que con esto viéramos una posibilidad
de interactuar con la matemática de una manera distinta.
you, yo pienso, que en cierto tiempo fue muy dado el ver
las cuestiones matemáticas muy algebraicamente con
letras y con números nada más.
Pero ahora que tenemos
este poder, este poder visual, incluso lo visual, tenemos
que utilizarlo en lo algebraico y en lo numérico.
Entonces, esa es nuestra intención aquí.
Yo quisiera poner nuevamente sobre la mesa con ustedes.
¿A qué me estoy refiriendo con esto de usar la tecnología?
Porque no es nada más porque la tecnología existe.
No.
Es también el modo en cómo se utilice la tecnología.
Entonces, en ese
sentido, déjenme hacer un intento.
Un intento por llevarlos nuevamente a nuestros graficadores, y
ver lo que estamos haciendo con letras y con números.
¿Dónde está allí?
¿Qué tiene que ver con ese dibujo?
Y, al mismo tiempo, el dibujo nos va a hacer nuevas preguntas
que vamos a contestar con fórmulas, con letras, con números y demás.
Entonces, si me acompañan, yo quisiera hacer
un recordatorio de lo que habíamos obtenido
en sesiones anteriores sobre la ecuación cuadrática.
Aquí yo tengo, el título.
Si ustedes se fijan, dice, La función cuadrática.
Bueno, ahí vamos a llegar. La parábola vertical.
Ahí vamos a llegar.
Pero un conocimiento previo del que hemos hablado es de la ecuación cuadrática.
Vean, esta es la ecuación cuadrática.
Cuando en matemáticas uno dice ecuación, hay un igual a cero.
No es solamente este término así. Sin el cero como se los estoy tapando.
No.
Es importante este hecho de que yo estoy haciendo una igualación con cero.
Las soluciones o raíces de la ecuación
cuadrática son los números reales o imaginarios complejos,
x, que satisfacen esta expresión donde a, b y c you son números reales dados.
Fue muy importante
en la historia de las matemáticas darse cuenta de que para tener
la solución de esta ecuación cuadrática, you nos bastan los números complejos.
O sea, los complejos que incluyen a los números reales.
you les había dicho yo que los números complejos
donde aparece esta raíz imaginaria pueden verse como complejos.
Quiere decir de compuestos de una parte real y una parte imaginaria.
A veces, la parte real puede
ser cero. Claro.
Pero entonces, mi punto es, que desde el punto de vista matemático, o
a lo mejor eso no es muy de interés de todo el mundo.
Pero desde el punto de vista de las matemáticas
fue importantísimo el hecho de saber que el mayor
conjunto que tengo que fabricar de números teóricamente, es
el de los números complejos incluyendo allí a los reales.
Y con eso se resuelve todas las ecuaciones
cuadráticas, cúbicas de cualquier grado. Esto es tema de álgebra.
La solución de cualquier ecuación con coeficientes reales
donde a, b, y c sean números reales,
esas soluciones siempre van a estar en el
conjunto a lo más de los números complejos.
O sea, pudieran ser reales y entre ellos pudieran ser racionales o irracionales.
A lo mejor tan simples como enteros y enteros positivos
o naturales. O a lo mejor negativos.
Pero, a lo mejor son imaginarios.
O sea, son de esos números que tienen esta
letrita allí que significa la raíz de menos uno.
O a lo mejor, tienen parte real y parte imaginaria.
Pero you no hay que construir un conjunto de números mayor.
O sea, como que esto es un como un descanso para los matemáticos.
Teóricamente, no necesitamos hacer una construcción
mayor que la de los números complejos.
Esto es muy importante desde el punto de vista de la teoría.
Recuerden que en este curso, la matemática no solamente es teoría.
Es un lenguaje simbólico difícil de manipular.
Y es una actividad de resolver problemas. A veces problemas reales.
A veces son problemas de la propia matemática.
Aquí, por ejemplo, les estoy hablando de un problema
de la propia matemática.
¿Cuál será el mayor conjunto de números que tengo que crear para que cualquier
ecuación, ahorita digamos cuadrática, con coeficientes reales,
´tenga solución en ese conjunto de números?
Ese es el problema matemático.
Les di la solución. La respuesta es los números complejos.
Entonces, you sabemos cómo encontrar
esas soluciones o raíces aunque sean complejas.
Lo que tendríamos que hacer es usar nuestra fórmula general.
Aquí tenemos nuestra fórmula general, que les he tratado de decir.
Incluso que tengan una imagen visual de ella.
A veces eso es muy importante. Así también lo es en los gráficos.
Entonces veamos que, en esta fórmula es importantísimo esta
parte que tengo resaltada y que llamamos el discriminante.
Y ese discriminante nos va a permitir decidir si la ecuación tiene dos
raíces reales distintas, si la ecuación tiene una raíz real repetida, o doble.
También se dice así.
O si la ecuación tiene dos raíces complejas.
O imaginarias también se puede decir.
Entonces, el signo del discriminante que sea cero, o que sea
positivo o negativo, eso nos va a permitir hacer esas decisiones.
Entonces, esto es desde un punto de vista de álgebra.
Pero, como les digo, o sea, nosotros estamos tratando de que estas conexiones
entre el álgebra y el cálculo sean evidentes para ustedes.
Y entonces, nos estamos pasando la función cuadrática y a la parábola vertical.
Y esta función cuadrática se obtiene cuando yo hago algo tan simple como esto.
Miren.
Hagan de cuenta que tomo esta tarjetita que tengo aquí.
Y yo me atrevo a ponerle aquí una letra y, y un igual.
Sí. Y luego le quito esto.
O sea, porque esto no me interesa ahorita. Si digo, y igual a x cuadrada más b x más
c, you estoy en una función cuadrática. Y you estoy en un gráfico que
va a ser una parábola vertical. Y este hecho de haber tenido
antes un igual a cero va a tener una interpretación en esa función
cuadrática. Estoy igualando a cero el valor de la y.
Recuerden que, en las aplicaciones en el contexto
real, y es una magnitud que yo estoy estudiando.
Que me interesa estudiar.
Y que depende de x. A lo mejor ese x es el tiempo.
Mi magnitud depende del tiempo.
Y en determinado momento, este igualación a cero significaría
que yo estoy pensando cuándo, mi magnitud y vale cero.
Eso puede ser una pregunta importante tanto en el contexto
real, en donde estemos aplicando esta idea de la función cuadrática.
Entonces, habiéndole puesto aquí
esta y, you la cosa cambia. you estamos, en lugar de un eje real
nada más, ponemos otro eje real así, aquí las Xs, acá las Ys.
Y entonces empezamos a trabajar con puntos en un plano.
En un plano cartesiano.
Como se conoce por el matemático Descartes.
Entonces, yo quisiera que ahora pasemos a la
computadora para que vean la imagen que tengo,
avanzado donde también hemos avanzado un poco en este sentido.
En ese sentido de you tener nuestra función
cuadrática, tenemos aquí uno del pasado de movimiento.
Por eso nuestro curso se llama, Matemáticas y movimiento.
Porque ha sido el contexto del movimiento un contexto en donde
hemos trabajado como para darle sentido, sentido o significado a lo que
estamos haciendo matemáticamente.
Por eso dice sabíamos que, o sea, you habíamos
nosotros construido nuestra función cuadrática con x y t.
Nuestra velocidad también, que es una función lineal.
Y a partir de ello, hicimos como una, yo diría, una generalización.
Pensar en general. Eso es, una acción bien matemática.
O sea, es un
pensamiento, o una acción en nuestro pensamiento
que es muy dada en las matemáticas.
O sea, yo pienso aquí en x, La voy a rellenar.
Y acá pienso en y. Yo pienso aquí en t.
Y acá voy a pensar en x.
Y aunque no lo crean, no me lo crean, esto
desde el punto de vista conectivo you es una dificultad.
O sea, no está nuestra mente acostumbrada
a andar cambiando así de las letras.
O sea, yo les estoy hablando de investigación
educativa donde se han visto este tipo de dificultades.
Entonces, trato de hacerlas explícitas cuando estoy hablando de matemáticas.
Porque se que esto puede, en su
mente, estar obstaculizando un poco el aprender matemáticas.
Entonces, ahora sí, you que estoy en este contexto, incluso la óvela la llamamos r.
Y no fue r casual, sino porque quiero evocar razón de cambio.
La razón de cambio de la magnitud y, con respecto a la magnitud x.
Y acuérdense que esa razón de cambio, la palabra razón en matemáticas es cociente.
Y cambio es diferencia.
Entonces, tengo un cociente de restas. Un cociente de diferencias.
Esa es la idea fabulosa
de Newton que tuvo para poder predecir valores de las magnitudes.
Hay una razón de cambio de la magnitud.
Y esa razón de cambio me va a decir cómo es la magnitud.
¿Cuál es el, digamos, la forma de decir
cómo es la magnitud ahorita en las matemáticas?
Pues, hagan de cuenta que, vean esta flecha que acabo de poner.
Si conozco la razón de cambio, voy a poder conocer
la expresión matemática de la magnitud. Como, pues, con un proceso, ahorita,
you lo hemos visto más tipo algorítmico. Que, incluso les di el nombre.
Aquí sería el proceso de anti derivación.
Lo que pasa es de que, matemáticas, cuando uno viene de aquí para acá, allí está.
Cuando uno viene de aquí para acá, uno dice, yo derivo.
Y para nosotros ahora derivo, ¿qué quiere decir?
De esta fórmula, ingéniatelas para derivar de ella,
o sea, para traer de ella, otra fórmula.
La de su razón de cambio.
Y, ¿cómo la vamos a traer?
Pues, una acción que vimos que es muy,
digamos algorítmica o mecánica es, agarrar este dos, sí.
Y trátelo y multiplícalo con la, aquí está, el dos a.
Y a la x que tenías, you no está el dos, le quitas uno.
Y entonces, you te queda un uno, te queda la x solita.
Esa es una acción mecánica digo yo.
O sea, como que yo nada más pienso, la receta.
Bajo el dos, lo multiplico por la a, y a la x
que estaba que tenía un dos arriba, a ese dos le quito uno.
Entonces me quedó x a la uno, y x a la uno es x.
Entonces nos quedo dos a x.
Por otra parte, cuando tenga b por x, puedo hacer
algo tan mecánico como decir, me quedo con la b.
Me quedo con la b y la pongo aquí.
Otra cosa es, como pasa mucho en matemáticas, que uno diga, pues,
es que tiene un uno la x, entonces, hago la misma acción.
Bajo el uno. Lo multiplico por la b.
Me queda b.
Y a la x que tenía, me quedaría la uno menos uno.
Pero uno menos uno es cero. Y, x a la cero es, uno.
