Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Derivamos algebraicamente y gráficamente
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues, regresamos aquí a nuestro curso donde estamos
incursionando en esto de la ecuación cuadrática y la función cuadrática.
Yo les había prometido en este curso que íbamos a hacer uso de tecnología.
Y realmente, créanme que esa es una convicción que tengo.
En la actualidad, es necesario que nosotros podamos interactuar con la
tecnología que se está produciendo, que está
cambiando, que está emergiendo en cada día.
Y, quisiera que con esto viéramos una posibilidad
de interactuar con la matemática de una manera distinta.
you, yo pienso, que en cierto tiempo fue muy dado el ver
las cuestiones matemáticas muy algebraicamente con
letras y con números nada más.
Pero ahora que tenemos
este poder, este poder visual, incluso lo visual, tenemos
que utilizarlo en lo algebraico y en lo numérico.
Entonces, esa es nuestra intención aquí.
Yo quisiera poner nuevamente sobre la mesa con ustedes.
¿A qué me estoy refiriendo con esto de usar la tecnología?
Porque no es nada más porque la tecnología existe.
No.
Es también el modo en cómo se utilice la tecnología.
Entonces, en ese
sentido, déjenme hacer un intento.
Un intento por llevarlos nuevamente a nuestros graficadores, y
ver lo que estamos haciendo con letras y con números.
¿Dónde está allí?
¿Qué tiene que ver con ese dibujo?
Y, al mismo tiempo, el dibujo nos va a hacer nuevas preguntas
que vamos a contestar con fórmulas, con letras, con números y demás.
Entonces, si me acompañan, yo quisiera hacer
un recordatorio de lo que habíamos obtenido
en sesiones anteriores sobre la ecuación cuadrática.
Aquí yo tengo, el título.
Si ustedes se fijan, dice, La función cuadrática.
Bueno, ahí vamos a llegar. La parábola vertical.
Ahí vamos a llegar.
Pero un conocimiento previo del que hemos hablado es de la ecuación cuadrática.
Vean, esta es la ecuación cuadrática.
Cuando en matemáticas uno dice ecuación, hay un igual a cero.
No es solamente este término así. Sin el cero como se los estoy tapando.
No.
Es importante este hecho de que yo estoy haciendo una igualación con cero.
Las soluciones o raíces de la ecuación
cuadrática son los números reales o imaginarios complejos,
x, que satisfacen esta expresión donde a, b y c you son números reales dados.
Fue muy importante
en la historia de las matemáticas darse cuenta de que para tener
la solución de esta ecuación cuadrática, you nos bastan los números complejos.
O sea, los complejos que incluyen a los números reales.
you les había dicho yo que los números complejos
donde aparece esta raíz imaginaria pueden verse como complejos.
Quiere decir de compuestos de una parte real y una parte imaginaria.
A veces, la parte real puede
ser cero. Claro.
Pero entonces, mi punto es, que desde el punto de vista matemático, o
a lo mejor eso no es muy de interés de todo el mundo.
Pero desde el punto de vista de las matemáticas
fue importantísimo el hecho de saber que el mayor
conjunto que tengo que fabricar de números teóricamente, es
el de los números complejos incluyendo allí a los reales.
Y con eso se resuelve todas las ecuaciones
cuadráticas, cúbicas de cualquier grado. Esto es tema de álgebra.
La solución de cualquier ecuación con coeficientes reales
donde a, b, y c sean números reales,
esas soluciones siempre van a estar en el
conjunto a lo más de los números complejos.
O sea, pudieran ser reales y entre ellos pudieran ser racionales o irracionales.
A lo mejor tan simples como enteros y enteros positivos
o naturales. O a lo mejor negativos.
Pero, a lo mejor son imaginarios.
O sea, son de esos números que tienen esta
letrita allí que significa la raíz de menos uno.
O a lo mejor, tienen parte real y parte imaginaria.
Pero you no hay que construir un conjunto de números mayor.
O sea, como que esto es un como un descanso para los matemáticos.
Teóricamente, no necesitamos hacer una construcción
mayor que la de los números complejos.
Esto es muy importante desde el punto de vista de la teoría.
Recuerden que en este curso, la matemática no solamente es teoría.
Es un lenguaje simbólico difícil de manipular.
Y es una actividad de resolver problemas. A veces problemas reales.
A veces son problemas de la propia matemática.
Aquí, por ejemplo, les estoy hablando de un problema
de la propia matemática.
¿Cuál será el mayor conjunto de números que tengo que crear para que cualquier
ecuación, ahorita digamos cuadrática, con coeficientes reales,
´tenga solución en ese conjunto de números?
Ese es el problema matemático.
Les di la solución. La respuesta es los números complejos.
Entonces, you sabemos cómo encontrar
esas soluciones o raíces aunque sean complejas.
Lo que tendríamos que hacer es usar nuestra fórmula general.
Aquí tenemos nuestra fórmula general, que les he tratado de decir.
Incluso que tengan una imagen visual de ella.
A veces eso es muy importante. Así también lo es en los gráficos.
Entonces veamos que, en esta fórmula es importantísimo esta
parte que tengo resaltada y que llamamos el discriminante.
Y ese discriminante nos va a permitir decidir si la ecuación tiene dos
raíces reales distintas, si la ecuación tiene una raíz real repetida, o doble.
También se dice así.
O si la ecuación tiene dos raíces complejas.
O imaginarias también se puede decir.
Entonces, el signo del discriminante que sea cero, o que sea
positivo o negativo, eso nos va a permitir hacer esas decisiones.
Entonces, esto es desde un punto de vista de álgebra.
Pero, como les digo, o sea, nosotros estamos tratando de que estas conexiones
entre el álgebra y el cálculo sean evidentes para ustedes.
Y entonces, nos estamos pasando la función cuadrática y a la parábola vertical.
Y esta función cuadrática se obtiene cuando yo hago algo tan simple como esto.
Miren.
Hagan de cuenta que tomo esta tarjetita que tengo aquí.
Y yo me atrevo a ponerle aquí una letra y, y un igual.
Sí. Y luego le quito esto.
O sea, porque esto no me interesa ahorita. Si digo, y igual a x cuadrada más b x más
c, you estoy en una función cuadrática. Y you estoy en un gráfico que
va a ser una parábola vertical. Y este hecho de haber tenido
antes un igual a cero va a tener una interpretación en esa función
cuadrática. Estoy igualando a cero el valor de la y.
Recuerden que, en las aplicaciones en el contexto
real, y es una magnitud que yo estoy estudiando.
Que me interesa estudiar.
Y que depende de x. A lo mejor ese x es el tiempo.
Mi magnitud depende del tiempo.
Y en determinado momento, este igualación a cero significaría
que yo estoy pensando cuándo, mi magnitud y vale cero.
Eso puede ser una pregunta importante tanto en el contexto
real, en donde estemos aplicando esta idea de la función cuadrática.
Entonces, habiéndole puesto aquí
esta y, you la cosa cambia. you estamos, en lugar de un eje real
nada más, ponemos otro eje real así, aquí las Xs, acá las Ys.
Y entonces empezamos a trabajar con puntos en un plano.
En un plano cartesiano.
Como se conoce por el matemático Descartes.
Entonces, yo quisiera que ahora pasemos a la
computadora para que vean la imagen que tengo,
avanzado donde también hemos avanzado un poco en este sentido.
En ese sentido de you tener nuestra función
cuadrática, tenemos aquí uno del pasado de movimiento.
Por eso nuestro curso se llama, Matemáticas y movimiento.
Porque ha sido el contexto del movimiento un contexto en donde
hemos trabajado como para darle sentido, sentido o significado a lo que
estamos haciendo matemáticamente.
Por eso dice sabíamos que, o sea, you habíamos
nosotros construido nuestra función cuadrática con x y t.
Nuestra velocidad también, que es una función lineal.
Y a partir de ello, hicimos como una, yo diría, una generalización.
Pensar en general. Eso es, una acción bien matemática.
O sea, es un
pensamiento, o una acción en nuestro pensamiento
que es muy dada en las matemáticas.
O sea, yo pienso aquí en x, La voy a rellenar.
Y acá pienso en y. Yo pienso aquí en t.
Y acá voy a pensar en x.
Y aunque no lo crean, no me lo crean, esto
desde el punto de vista conectivo you es una dificultad.
O sea, no está nuestra mente acostumbrada
a andar cambiando así de las letras.
O sea, yo les estoy hablando de investigación
educativa donde se han visto este tipo de dificultades.
Entonces, trato de hacerlas explícitas cuando estoy hablando de matemáticas.
Porque se que esto puede, en su
mente, estar obstaculizando un poco el aprender matemáticas.
Entonces, ahora sí, you que estoy en este contexto, incluso la óvela la llamamos r.
Y no fue r casual, sino porque quiero evocar razón de cambio.
La razón de cambio de la magnitud y, con respecto a la magnitud x.
Y acuérdense que esa razón de cambio, la palabra razón en matemáticas es cociente.
Y cambio es diferencia.
Entonces, tengo un cociente de restas. Un cociente de diferencias.
Esa es la idea fabulosa
de Newton que tuvo para poder predecir valores de las magnitudes.
Hay una razón de cambio de la magnitud.
Y esa razón de cambio me va a decir cómo es la magnitud.
¿Cuál es el, digamos, la forma de decir
cómo es la magnitud ahorita en las matemáticas?
Pues, hagan de cuenta que, vean esta flecha que acabo de poner.
Si conozco la razón de cambio, voy a poder conocer
la expresión matemática de la magnitud. Como, pues, con un proceso, ahorita,
you lo hemos visto más tipo algorítmico. Que, incluso les di el nombre.
Aquí sería el proceso de anti derivación.
Lo que pasa es de que, matemáticas, cuando uno viene de aquí para acá, allí está.
Cuando uno viene de aquí para acá, uno dice, yo derivo.
Y para nosotros ahora derivo, ¿qué quiere decir?
De esta fórmula, ingéniatelas para derivar de ella,
o sea, para traer de ella, otra fórmula.
La de su razón de cambio.
Y, ¿cómo la vamos a traer?
Pues, una acción que vimos que es muy,
digamos algorítmica o mecánica es, agarrar este dos, sí.
Y trátelo y multiplícalo con la, aquí está, el dos a.
Y a la x que tenías, you no está el dos, le quitas uno.
Y entonces, you te queda un uno, te queda la x solita.
Esa es una acción mecánica digo yo.
O sea, como que yo nada más pienso, la receta.
Bajo el dos, lo multiplico por la a, y a la x
que estaba que tenía un dos arriba, a ese dos le quito uno.
Entonces me quedó x a la uno, y x a la uno es x.
Entonces nos quedo dos a x.
Por otra parte, cuando tenga b por x, puedo hacer
algo tan mecánico como decir, me quedo con la b.
Me quedo con la b y la pongo aquí.
Otra cosa es, como pasa mucho en matemáticas, que uno diga, pues,
es que tiene un uno la x, entonces, hago la misma acción.
Bajo el uno. Lo multiplico por la b.
Me queda b.
Y a la x que tenía, me quedaría la uno menos uno.
Pero uno menos uno es cero. Y, x a la cero es, uno.
Total, de ambas maneras llegamos a que la respuesta va a
ser, dos a x más b. Para derivar.
Estamos en derivo.
Bueno, pero esta mecánica, que hemos hecho también, tiene su, su reversa.
Sí.
Es como un proceso de reversibilidad en nuestro pensamiento.
O sea, pensar hacía atrás. O sea,
pensar, ¿qué pongo aquí arriba? O sea, ¿dónde?
Aquí arriba.
¿Qué pongo en esta expresión? En esta.
Como si no la tuviera.
Si la que conozco es la de abajo. Si la que conozco es dos a x más b.
Y allí lo que estuvimos platicando la vez pasada es,
tómate de aquí, o sea, vamos a intentar a antiderivar.
Por eso también se llama anti. Antiderivar.
Antiderivo. Ahora, voy a pensar al revés.
Voy a pensar, ¿qué pongo acá arriba?
¿Que fórmula pongo? Si la que yo conozco es esta de abajo.
Y entonces, la mecánica que dijimos es, bueno, tomemos el dos a.
El dos a que you lo teníamos.
Hagan de cuenta que esto que estoy escribiendo aquí está en mi cabeza.
Tomo el dos a que estaba aquí. Y a la x que estaba le pongo el cuadrado
y divido entre 2.
Algo que nos surgió cuando estuvimos viendo
el contexto del movimiento con nuestro software Sincalc.
Y, después de eso, ahí lo dejamos, ese término, nos vamos con la b.
Y a esta b que estaba aquí solita, esta b, a esta b,
lo que le voy a hacer es que lo pongo tras una x.
Bueno, adelante.
Porque está a la derecha. b por x.
¿De acuerdo? Y, finalmente, no debo de
olvidar que tengo que agregar un otro dato.
Una c.
Donde este valor de c es justo el valor inicial de la magnitud.
O sea, es el valor que sale, cuando aquí en la x, en la letra x, pongo un cerito.
Un cero.
Entonces, para predecir a la magnitud lo que voy a hacer
es antiderivar la razón de cambio, y agregarle, en este caso,
el dato de. ¿De qué?
Del valor inicial de la magnitud. Cuando hicimos esta acción este dos se va
con este dos y you nos quedó a x cuadrada más b x, más c.
Entonces, esa sería la mecánica de antiderivar.
¿De acuerdo?
Si ahorita la accionamos desde un punto de vista algebraico, bueno pues, lo
que tendríamos es un juego de yo derivo y luego antiderivo y derivo
y luego antiderivo.
Eso es bien recomendable que ustedes lo puedan hacer.
Lo pueden hacer con diferentes ejercicios. Hay muchos en la red.
Está llena la red de páginas en donde se encargan de derivar o de antiderivar.
Se puede usar software también para eso.
Hay muchas calculadoras que traen integrado.
Estos sistemas de computación algebraica que permiten
hacer este tipo de regresos, o no,
algorítmicos, o de derivaciones algorítmicas.
Pero, más que todo les digo, lo que yo
quisiera es que vayamos más allá, hacia la interpretación gráfica.
Entonces, ahorita he estado preparando, digamos, el camino, ¿para qué?
Hay un contenido de álgebra que you conocemos.
Hay un contenido de cálculo que you conocemos.
Y ahora, vamos a ponerlo en un software y ver
qué es lo que pasa.
Me gustaría dejarlos en este vídeo con una imagen.
Y volvemos en el siguiente para hacer las cosas más a fondo.
Entonces, ahorita, les voy a recordar lo que les había pedido yo.
De qué trajeran el software Grafmática. Que es un software libre.
En la red, you saben ustedes
dónde encontrarlo, según nuestro lugar de recursos.
Y en este software yo les pedí, les voy
a recordar, que en el graph paper, que estoy en el menú de options.
En graph paper les pedí que accionaran en colores, en el
menú de colores, la opción de esta de tener en blanco.
En blanco nuestro fondo para que no quede gris.
Que no se vea, digo, que se vea más clara.
Y les pedí que acá en este menú,
donde está gráfica uno pongamos el color azul oscuro.
En gráfica dos pongamos rojo oscuro. En gráfica tres, verde oscuro.
En gráfica cuatro ahora repetimos azul oscuro.
En la cinco, rojo oscuro.
Y en la seis, azul oscuro, digo verde oscuro.
you iba a decir green.
Y en la gráfica siete dejé un azul, para darme cuenta que you acabé.
Entonces, en este momento, para acabar este video me gustaría que teclearan
y iguala dos más tres x más punto dos por x al cuadrado.
Hay que poner esta acento para que tome el cuadrado.
Si no lo encuentran en su teclado, lo que pueden
hacer es poner x por x, que es lo mismo.
Y entonces veamos lo que nos grafica Graphmática.
O sea un simple clic, nos dio esta imagen.
Vean ustedes lo que
está pasando ahorita. Estoy viendo una parte de la curva.
¿De acuerdo?
Y esta parte de la curva me esconde, digamos,
la información que yo hubiera esperado de la gráfica.
Hay maneras en el software de estarse alejando o acercando.
Vean este botón de zoom in, zoom out. Voy a hacer un zoom out.
Y en este primer zoom out, you tuve una imagen mejor.
O sea, mejor porque
veo la curva completa, o más completa. Bueno, completa nunca la voy a ver.
Pero, más completa.
Veo cosas interesantes. Como son los cortes con el eje.
Veo aquí lo que se llama el vértice de la parábola.
O lo que hemos llamado nosotros el mínimo.
La ventaja de Graphmática en este momento es que vamos
a poder decirle con este botoncito de aquí, encuentra la derivada.
Pero, es una, vamos a derivar, gráficamente,
digamos. Eso es lo que digo yo.
Derivo gráficamente y vean la recta que nos quedó.
Nos quedó esta recta.
O sea, allí, la gráfica la hizo
Graphmática cuando, internamente, y calculó la derivada.
Y, aquí lo tienen porque aquí se ve el botoncito,
en el menú que calculó la derivada y la graficó.
Y entonces, tenemos esta recta, y lo que quiero yo que veamos, en esta
recta es, el conocimiento que hemos producido.
Con anterioridad y en el contexto del movimiento.
Vean ustedes ahorita cómo en este lugar donde la derivada es
cero, o donde cruce el eje, tenemos justamente el valor mínimo.
Y vean ustedes cómo nuestra derivada es negativa.
Y eso hace que este gráfico venga decreciendo.
Luego la derivada es positiva, y esto hace que esta gráfica venga creciendo.
Por último, otra información que hemos estado
construyendo en el curso, No lo había recordado
ahorita, es que esta recta que está aquí, yo tengo que decir que es creciente.
¿Por qué?
Porque el dibujo hay que hacerlo de izquierda a derecha.
O sea, acuérdense, you yo you les dije una alumno
me decía, mire, mire, es decreciente, ve como va decreciendo.
Sí, porque lo estaba dibujando de derecha a izquierda.
Pero en esto está la coordinación. ¿Se fija?
La coordinación tiene que decirnos, hago esto.
Y veo que crece.
Y entonces observo acá que la concavidad de la parábola es hacía arriba.
Yo quiero que el software, ahora, nos ayude a comprobar
todo eso que hemos estado viendo. Y que sea un aliado en este sentido.
Cuando estemos interpretando gráficos, y cuando estemos haciendo el
álgebra necesaria para dar respuestas a diferentes preguntas de predicción.
¿Predicción de quién?
De la y.
De la y que es la magnitud que me interesa estudiar.
Los veo en el próximo vídeo para profundizar sobre lo gráfico.
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