Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
El corral óptimo
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Como les decía, vamos a seguir trabajando con
variaciones de este problema de optimización, donde estamos
hablando de una longitud y de, en cierta
forma, una conexión con la formación de rectángulos.
Entonces, el problema que les voy a presentar,
lo vamos a llamar el problema del corral.
Vamos a verlo, es otra vez un problema de optimización, o sea, de sacar el máximo
provecho de algo.
Entonces, vamos a empezar planteando la situación, se
trata de que tenemos un terreno que va
a estar cercado; y que se va a usar esta barda (ya estaba construida esa barda).
Y entonces, vamos a acercarlo con este material de mil ciento cincuenta metros.
Ésta es la cerca y este muro va a quedar you, o sea esa barda va a quedar
como parte del terreno.
Entonces, si voy a formar un terreno
rectangular con esta cerca de mil ciento cincuenta
metros, o sea, tendría que hacer algo como lo que están haciendo las manitas ¿no?
O sea ¿qué están haciendo las manitas?
Están produciendo diferentes posibilidades para la
forma del terreno vista desde arriba.
Dice ahí: "Desde esta perspectiva es claro que los lados perpendiculares
al muro deben medir más que cero pero menos que quinientos setenta y cinco".
¿Por qué?
En esta evocación, no sé si se dieron cuenta, pasa algo como lo que les mostraba
con el listón. Vean ustedes cómo esa manera de variar la
longitud permite pensar en un terreno, digamos, donde
este lado, paralelo al muro midiera cero, pues entonces estaría completamente
alargado, ¿no? toda la cerca, ¿no?
Y este tendría justo su mitad, para ir y venir.
Y por otro lado, el valor máximo de la mitad sería como
haber tenido un terreno donde la cerca la pongo justo encima, ¿no?,
pegada en el muro. ¿Para qué quiero un terreno así?
Para nada, realmente ahorita son como las limitaciones, ¿no?,
los máximo y mínimo valor que podría tomar,
¿no?
En este caso la longitud de esta parte del terreno, de esta,
que podría ser la base del rectángulo cuando lo vimos desde arriba.
Entonces, vamos a hacer un ejemplo:
miren, ahorita por ejemplo tenemos cincuenta metros.
Vamos a cortar cincuenta metros aquí, cincuenta
metros acá (ahí viene la manita para
hacerlo) y entonces, cortando esos cincuenta, nos
quedaría un terreno como el que tenemos ahorita.
Vean esa multiplicación que se hizo: mil ciento cincuenta, menos
dos veces cincuenta, porque se quitaron los dos lados, ¿no?,
perpendiculares al muro, y entonces nos queda un área
de cincuenta, que sería ésta longitud, multiplicada por mil ciento
cincuenta menos dos por cincuenta por esta de acá, para
darnos en total cincuenta y dos mil quinientos metros cuadrados.
O sea, este terreno encerrado, ¿no?, son cincuenta
y dos mil quinientos metros cuadrados. Ahí hay un valor del área.
La cerca viene siendo otra vez mil ciento cincuenta metros, eso no lo modificamos.
Pero podemos pensar en otro terreno y no tendríamos por
qué juzgar que su área va a ser la misma.
Ahorita se eligieron cien metros aquí, cien acá.
Vean cómo el terreno se hizo un poco más angosto, se alargó la parte perpendicular
al muro. Se hacen las operaciones aquí, ¿no?,
este número cien, este número me daría la base.
Y ahí tendríamos otro dato del área, ¿no?, otro dato del área.
Y nos preguntaríamos ¿qué dimensiones debe tener el corral
para encerrar la mayor área posible con el material disponible?
Esta pregunta es pertinente ¿por qué?
Porque tiene sentido ahorita.
you vi que con cincuenta metros cuadrados me da un valor del
área, con cien metros cuadrados donde cortábamos, ¿no?,
en los lados, me daba otro valor del área.
Entonces podríamos pensar: me gustaría saber cómo acomodo la cerca ¿no?,
para tener la mayor área posible encerrada.
De esa manera, con esa longitud de cerca y con ese muro atrás, ¿no?,
como una de las paredes.
Entonces, esa es nuestra pregunta ahorita ¿no?
Para contestarla, dice: necesitamos precisar la fórmula.
O sea, vamos a construir una función matemática.
Una función que nos calcule el área cuando
nosotros le digamos, por ejemplo, ¿cuánto mide esto?
O sea, lo que vamos a hacer ahorita es lo que se
llama una generalización, ese, otra vez, un poder de la matemática ¿no?,
que nos hace decir: vamos a considerar que el lado perpendicular al muro,
o sea del de aquí,mida. ¿Cuánto?
¿Qué se hace en matemáticas?
Como ahorita también dicen los muchachos x, ¿no?
X quiere decir agarra un valor general, no me digas cuánto es y con ese valor
x lo ponemos aquí, lo ponemos acá; aquí
nos quedan mil ciento cincuenta menos dos veces x.
Por los dos lados que quitamos como parte de la cerca, y entonces nos quedaría el
terreno, digamos cercado, como lo tenemos en nuestra figura.
¿Cuál sería el área de ese corral particular?
Pues lo que tendríamos que hacer, como es un rectángulo: multiplicar la
base por la altura, o sea, las dos dimensiones que se tienen.
Y you tenemos construida aquí una función, y es una
función cuadrática por ese número dos que está justo aquí ¿cierto?
Nos podemos
hacer la pregunta, una vez avanzado el
problema matemáticamente en este sentido, de: ¿qué
dimensiones debe tener el corral para encerrar
la mayor área posible con el material disponible?
Y para eso el terreno de lo gráfico va a ser lo importante, ¿no?
O sea, vean ustedes ahorita que les dejé
en esta parte el recuerdo, digamos, en nuestra
mente de lo que estamos haciendo.
Estamos optimizando el área de un terreno para un corral, ¿okay?
y tenemos de este lado la representación, digamos,
algebraica que sabemos que es una parábola y vamos
a proceder a hacer una gráfica, en el eje
vertical ahora tenemos la letra A representando el área.
Aquí se utilizó la letra A para representar el área.
Cambié de la
Y a la letra A.
Y en este eje horizontal tengo la
x, que significaría esta longitud del terreno ¿no?
Entonces, cuando vamos a dibujar la gráfica de la función,
aquí opté por tomar un valor de x igual a cero.
O sea, pensar, si x vale cero, que sería toda la cerca, estaría aquí pegada, ¿no?
pegada sobre el muro,
¿no?
el área de ese terreno tendría que ser cero; ahí no
me va a caber nada, no lo quiero para nada ese terreno.
Pero sí me interesa marcarles aquí un punto ¿no?
de referencia en donde you sé que ese es
un punto de la parábola que ando buscando dibujar, ¿no?
Si aparte de eso pienso después en el otro caso extremo, de doblar
la cerca nada más y meter una longitud quinientos setenta y cinco así nada más.
Acá está el muro ¿no?y aquí está la longitud.
Va y viene de la cerca.
Ese terreno no lo quiero para nada, su área es
cero, ¿okay?pero me marca éste punto que me sirve para decir
que voy a juntar estos dos puntos de tal manera que
se forme la parábola y ahí no hay de otra, ¿no?
O sea ¿qué es lo que hay que hacer? Pues hacer algo así, ¿okay?
Donde justamente va a quedar nuestro vértice;
justamente tiene que quedar en la mitad.
Doscientos ochenta y siete punto cinco, este valor nos lo traemos a acá.
Y ahora calculamos el valor de la área que sería
un nuevo dato que estaría aquí, en el eje vertical.
Y nos permite con eso trazar nuestra parábola.
Nuevamente acá hay un contexto real, se
hizo una acción matemática al construir la función.
Esto se utilizó su
representación gráfica para podernos hacer una idea visual ¿no?,
de lo que andamos buscando ¿qué andamos buscando?
El punto más alto, porque eso significa el
área mayor y entonces el problema está interpretado acá.
Pero realmente el problema se encontraba acá.
¿Okay?
Y entonces nos llevamos lo que tenemos aquí.
Por ejemplo, si pusiéramos aquel terreno de una longitud
cincuenta acá, vean cómo ese valor estaría representado.
Aquel cincuenta y dos mil quinientos estaría aquí con
esta longitud y con un punto en el gráfico.
Si aparte de ese tomamos el de...
¿cuánto era?
Aquí estaría la de cincuenta y dos mil quinientos.
Si tomamos ahora que la x valga cien, entonces también
se nos fabrica un terreno acá, en nuestro problema real,
pero por otro lado.
se pone esta longitud acá y nos queda un valor de un área aquí, .¿no
?
Bueno, una longitud, pero que acá significa un área.
Vean ustedes cómo cada vez que yo elijo un valor ¿no?
para la longitud de ésta del terreno, se construye un terreno
en mi imaginación, acá, y se calcula el valor del área.
Es como éste archivo, you me acuerdo que también les quería
mostrar este archivo que también utilizo en el curso porque podemos
jugar un poco, para ver qué es lo que está pasando.
El archivo you está fabricado, vean cómo you
el lado paralelo al muro está aquí tecleado, ¿no?
Si yo le pongo aquí que el lado junto
al muro fueron un cincuenta, como lo que hice en
la animación (ahí está el cincuenta y dos mil
quinientos), vean cómo apareció aquí el lado paralelo al muro.
Aquí se hizo la resta de mil ciento cincuenta menos dos veces cincuenta.
Si aquí pongo un setenta y cinco, por ejemplo, ¿no?
tengo otro valor acá para el área.
Y lo importante es que aquí les
estoy poniendo estos puntitos, para que vean ustedes
cómo esta representación numérica del área del corral
la traigo a un gráfico como una altura.
Y entonces puedo jugar con ello
y estar pensando, a medida que estoy
avanzando los puntos estos están subiendo, ¿no?
Le doy un valor, por ejemplo, de ciento cuarenta también.
Y entonces lo que obtengo es...
otra vez está subiendo ¿se fijan?
Me dan ganas de subirle más, vamos
a ponerle un ciento sesenta; subió más, vamos
a ponerle un doscientos, de una vez;
you está subiendo más, bueno, pues vamos grandes,
vamos a un trescientos y vean. Ahorita, lo que pasó.
Aquí vamos a poner un doscientos cincuenta mientras las operaciones
las haga Excel, pero vean ustedes ahorita qué está pasando.
Ahorita you parece ser que esta como que you
no quiere subir tan rápido como estaba subiendo, ¿no?
Vamos a ponerle un trescientos veinticinco, y vean
ustedes lo que pasó, ahora el nuevo punto
yo estoy poniendo acá un valor numérico, pongo un trescientos setenta y
ocho, doy un enter y miren el punto que apareció acá.
Esto you me está diciendo de que, si yo empiezo a aumentar este valor ¿no?
del lado que es perpendicular al muro, no
necesariamente voy a esperar que el área sea mayor.
Vean ahorita como está descendiendo, de hecho
you sabíamos que cuando llegáramos al quinientos
setenta y cinco, creo que era, nos iba a quedar
un área de cero ¿ven cómo se puso ese punto acá?
De hecho, si yo quisiera pasarme y decir, bueno, voy a ponerle que el lado
perpendicular al muro sea seiscientos, you ahorita
me va a dar un dato negativo, ¿no?,
negativo para el área y aquí you
no tendría sentido para lo que estamos haciendo.
O sea ¿qué es lo que hice con este archivo de Excel?
Traté de darles a ustedes
otra vez la sensación de cómo lo numérico, lo algebraico y lo gráfico se conectan.
Entonces tenemos aquí simulada, digamos, una forma gráfica
que nos hace pensar en un valor máximo.
Ese valor máximo lo tenemos acá ubicado, en este lugar.
Y entonces podríamos you concluir que en éste lugar,
para tener el área mayor posible, la mayor posible,
lo que necesitaríamos es encontrar este lugar, ¿no?
Y este lugar lo voy a encontrar con el doscientos ochenta y siete punto cinco, y
ese valor es el que me va a producir el terreno o el corral de área máxima, ¿no?
Volvemos a nuestra situación original, sin olvidar de dónde venimos, vean
ustedes aquí, no les quito la parábola porque quiero que en
esta conclusión del corral óptimo recordemos
cómo fue posible que la encontráramos, ¿no?
Este valor máximo...
you llovieron vacas del cielo, tenemos una vaca enorme, bien.
Y se llenó el corral con el máximo de vacas posibles ¿no?
porque estamos seguros de que encontramos el corral de área máxima.
Nuevamente, antes de terminar, aunque you se llenó
el corral, yo quisiera que nos hiciéramos otra
vez la pregunta: bueno ¿y la derivada dónde está?
Nuevamente es un problema que en un contexto tiene una solución muy visual.
¿Por qué?
Porque es una parábola y porque yo you sé cierta información de ella, ¿no?
como estos puntos donde vale cero, ¿no? lo que significaría el área.
Pero si no lo hiciera de esa manera, acompáñenme aquí en el papel, un minuto,
y hagamos nuestras operaciones ¿Cómo las haríamos?
Sin pensar de que se trataba ¿no?
de esta parábola tan simétrica.
Entonces, tenemos nuestra función, nuestra función es A de x igual a mil ciento
cincuenta, x menos dos x cuadrada ¿verdad? La derivamos
y al derivarlo nos queda el mil ciento cincuenta menos cuatro x.
Igualamos nuestra derivada a cero y nos queda
mil ciento cincuenta menos cuatro x igual a cero.
De ahí cuatro x es igual a mil ciento cincuenta y x es igual a mil ciento
cincuenta entre cuatro ¿cuánto nos va a dar mil ciento cincuenta entre cuatro?
Vamos a ponerlo acá con nuestra calculadora,
creo que aquí la tengo, vamos a poner
mil ciento cincuenta entre cuatro, y nos da el doscientos ochenta
y siete punto cinco. Este doscientos ochenta y siete punto
cinco nos dice que en ese lugar hay que poner el vértice de nuestra parábola ¿no?
Ahorita pondríamos aquí un doscientos ochenta y siete punto cinco para
calcular la altura a la que hay que poner este punto.
Tendríamos que evaluar nuestra función área en doscientos ochenta
y siete punto cinco; meterla aquí, en esta x, ¿verdad?,
y entonces nos va a salir el valor que teníamos con la animación.
Ahorita, en el graficador, yo les he tecleado, vean ustedes, la función
derivada, la función original, al ver el gráfico no veo nada, ¿verdad que no
veo nada?
Pero yo sé que ahí están las cosas como deben de estar,
entonces estoy moviendo, moviendo, moviendo y
moviendo, hasta que tenga una idea ¿no?
de lo que está pasado.
Vamos a alargar un poco acá, a achicar un
poco acá y vean que you, prácticamente está logrado ¿no?
¿Qué es lo que estoy viendo ahora?
Estoy viendo nuevamente una parábola y aquí,
bueno, quedó casi sobre el eje ¿se fijan? Por la escala que se maneja pero ahí está
la evidencia de unos valores positivos, cero y negativos para la derivada.
Hemos entonces resuelto un problema más de optimización, hemos
encontrado el corral óptimo que se puede cercar con una, este cerca de
mil ciento cincuenta metros ¿no?, y que tenga uno de esos muros ¿no?
como parte de la cerca, ¿no?
Y, este me gustaría que en la próxima, en la próxima de nuestros vídeos
hagamos nuevamente una variación sobre este corral óptimo ¿no?,
en donde veremos ciertos cambios, por eso le llamo una variación.
Sin embargo, seguiremos hablando de parábola
porque estamos justamente trabajando el modelo cuadrático.
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