Pues hemos entrado al tema de la ecuación cuadrática. Tuvimos que resolver una ecuación cuadrática para dar la respuesta a nuestras preguntas planteadas En el contexto de los tanques, incluso en el contexto del movimiento. you lo hemos hecho. Ahorita en esta ocasión me gustarÃa hacer un paréntesis de este tamaño. O a lo mejor de este tamaño. Depende de cómo nos vaya en el tiempo ¿no? acerca de las soluciones De una ecuación cuadrática. Tengo cosas importantes que decirles. Cuestiones que tienen que ver con esas complicaciones ¿no? que se dan cuando uno está trabajando Con la simbologÃa matemática. Entonces en esta ocasión me gustarÃa que me acompañaran en el papel. Voy a tratar de ser clara con ustedes en el sentido de facilitarles la solución De una ecuación cuadrática. Entonces en nuestro papel ¿qué es lo que vamos a poner? vamos a poner ahorita, o sea la imagen visual que yo les decÃa en la ocasión pasada. Voy a hablar de fórmulas y es una imagen visual. FÃjense nada mas. O sea una imagen visual para la ecuación cuadrática que dice asÃ. a x cuadrada mas b x más c igual con cero. Esta ecuación cuadrática Tiene siempre tradicionalmente la letra a como el coeficiente. Coeficiente, vamos a llamarle asÃ, Este es el coeficiente de la variable de x. La variable x que aquà está al cuadrado ¿no? Después de eso aparece, bueno un signo positivo y luego un coeficiente Que se lama b ¿no? que está multiplicado después por la variable x. Un signo positivo también y luego el coeficiente que está solito. Ese no tiene x ¿no? Y luego tenemos necesariamente esta igualación con cero. ¿Okey? Esto es una ecuación cuadrática. Vamos a ponerle aquà ecuación cuadrática. Y esta ecuación cuadrática se resuelve en general con la fórmula general. Pero habrá ocasiones en que de esto trata mi video ahora, en que las ecuaciones cuadráticas, algunas ecuaciones cuadráticas no merecen la fórmula general en el sentido que les voy dar a entender ahorita. ¿Si? Como quiera voy a escribir la fórmula general ahora que you lo estoy hablando ¿no? De la fórmula general valdrÃa la pena que la tengamos sobre nuestro papel Para no olvidar o sea, de lo que estamos hablando ¿no? La fórmula general dice asà ¿no? x es igual a menos b más menos raÃz cuadrada de b cuadrada menos cuatro a c sobre dos a. Estas son de las pocas fórmulas que yo me se de memoria ¿eh? Claro que Necesariamente para mà bueno pues, esto es el pan de cada dÃa. Yo entiendo perfectamente que ustedes no tengan que mantenerla en su memoria, pero realmente sà es un objeto muy utilizado, y bueno más que el recordar ¿no? la cancioncita del menos b más menos raÃz cuadrada ¿si? Yo los invito a que vean esta forma ¿no? Esta forma que tiene la expresión para que observen ustedes, digamos particularidades como este signo negativo, como este más menos Y como este eh, digamos cociente que está a todo lo largo de la expresión. Es común que los estudiantes eh, no lo consideren debajo digamos, del menos b. Es común que los estudiantes no olviden este signo negativo ¿no? Es común que los estudiantes cuando ven una b negativa dejen aquà un signo negativo, pero bueno, habrá ocasión de eh, recordarles sobre ese tipo de errores ¿no? que valdrÃa la pena eh, tomar en cuenta conscientemente para no cometerlos. Ahorita yo tengo entonces en mi pantalla la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática y que yo les digo, insisto, ésta es la buena. Ella, la general es la buena, pero aun sin embargo o sea, sà les voy a mostrar para algunos ejemplos en donde no se merece la ecuación, la aplicación de la fórmula general. O sea, son ecuaciones mucho más simples ¿eh? más simples. ¿A qué me refiero? Ahora sÃ, voy a tener esta hoja. Volveremos en ella, con ella al ratito ¿no? Pero por lo pronto les voy a inventar una ecuación cuadrática cuya solución no merece la fórmula general. Esa ecuación, vamos a ver, déjenme ver qué se me ocurre ahorita en mi cabeza. digamos que un, por decir algo, un tres por una x cuadrada ¿si? Pongamos ahora un menos, un dos por una x ¿okey? Igual a cero. ¿Qué fue lo que pasó aquÃ? Si ustedes recuerdan la ecuación cuadrática, acá la tengo ¿no?, a x cuadrada más b x más c. ¿Qué estoy haciendo cuando les estoy proponiendo esta? Les estoy haciendo que consideren que el valor de la c del coeficiente c sea cero. ¿Okey? O sea estoy haciendo, inventando una ecuación cuadrática que tiene dos términos nada más. Se vale ¿eh? Esta a, esta b y esta c son números reales. Y como números reales pueden tomar cualquier valor real. En particular el valor cero. Entonces inventé una ecuación cuadrática, aquà la tengo y en lugar de estar aplicando la fórmula general porque en donde la c valga cero, lo que yo les invito es a hacer una factorización. ¿Qué quiero decir con factorización? Vean que aquà hay una x que está al cuadrado y aquà está la x solita, a la uno ¿no? Yo puedo sacar una x de factor, por eso se llama factorización ¿no? La palabra ahora es factorizo ¿no? factorizo la x ¿okey? Esa x que multiplica a a. Voy a poner aquà un tres para que x por tres de tres x, pero como está aquà al cuadrado entonces le pongo otra x ¿Si? De esta manera x por tres x me va a quedar tres x cuadrada, ¿okey? Luego pongo un signo negativo. Y luego pongo el número dos para que esta x por el menos dos me de menos dos x, como lo tengo acá arriba. ¿Okey? Y luego me queda igual a cero. Estoy haciendo en cierta forma al revés el procedimiento que consiste en la, que se llama la ley distributiva ¿no? Puedo multiplicar x por tres x y me queda tres x cuadrada, y x por menos dos me queda menos dos x. Se fijan, o sea puede hacerse el ejercicio algebraico. Probablemente lo hicieron alguna vez de aquà para acá, de abajo a arriba. Pero ahorita lo que yo les estoy invitando es a hacerlo de arriba a abajo ¿no? Esa reversibilidad en los procedimientos matemáticos es importantÃsimo para tener control de la simbologÃa matemática. Y que la podamos usar a nuestro favor. Entonces ahorita yo los invité a que hicieramos este proceso, asÃ, al revés ¿no? Factorizo una x. Me queda x por tres x menos dos igual a cero. Y en este momento yo los voy a invitar en, a hacer un pensamiento digamos, Simple pero que no nos lo hacemos. Comunmente no nos lo hacemos. Aquà en la expresión se ve una multiplicación. Es este factor x por el factor tres x menos dos. O sea yo necesito que en sus cabezas, o sea, ahorita se estén pensando en que este es un número. Este un número, y este es otro número ¿no? Pero vean donde puse la flecha. La puse aquà pero tratando de representar todo esto ¿no? Entonce tengo un objetito nada más que la x, y luego tengo el otro objeto que se ve más largo, que es tres x menos dos. Ambos son números ¿okey? Cuando la letra x, la variable x toma un valor numérico pues cada uno de ellos se hace un número ¿no? Por ejemplo, ahorita si le doy a la x el valor cinco ¿no? En este lugar tengo un cinco, cinco por, tres por cinco Son quince, menos dos son trece. Entonces nos queda cinco por trece. ¿Okey? si yo digo cinco por trece, no me da igual a cero ¿verdad? Entonces ahorita lo que hice fue provocar a ustedes ¿no? Que piensen que cuando uno resuelve una ecuación cuadrática lo que anda haciendo es buscando El valor del número x ¿no? El número x que satisface la ecuación. O sea, que al hacer la operación aritmética, me va a dar la igualación a cero en este caso ¿no? ¿Qué nos pasó? Les hice probar con el cinco y Nos dimos cuenta de que cinco por quince, menos, cinco por trece no da cero, ciertamente no. Entonces el cinco no es solución. No nos vamos a ir asà ¿verdad? A tratar de atinarle ¿no? a ver cuál es la solución. ¿Se fijan? Pero sà lo que quisiera despertar en ustedes es una idea que les decÃa, sencilla. Tengo el mapa, multiplicación de dos números. Y quiero que esa multiplicación me de cero. ¿Okey? Para que dos números al multiplicarse de igual a cero necesito a fuerza que uno de ellos sea cero. ¿A poco no? O sea, yo no puedo multiplicar un tres por un dos y que me de cero, o un siete por un menos uno y que me de cero. O un 100 por un menos 99 y que me de cero. La única manera que es posible ¿no? de obtener un cero es cuando yo multiplique y uno de ellos sea cero. Esto nos va a llevar a una alternativa. Yo le digo asà como una alternativa o es como una disyuntiva ¿no? O sea o esta x, este factor es cero ¿no?, o este factor o este número que es tres x menos dos es cero. ¿Okey? De aquà you encontré una solución. x igual a cero. De hecho yo creo que you la habÃan notado ¿no? X igual a cero me va a hacer que esto por esto me de cero ¿no? Y de esta otra parte podemos despejar. Tres x va a ser igual a dos. Pasamos el dos del otro lado sumando ¿verdad? con signo positivo. Y este número tres que multiplica a x va a pasar acá dividiendo. Entonces nos queda x igual a dos tercios. Hemos encontrado el otro valor numérico que satisface la ecuación cuadrática ¿no? ¿Okey? ¿Cómo llegamos a esos dos valores? Pensando que tengo el producto de dos números y quiero que ese producto me de igual a cero. Y para eso necesito que alguno de ellos sea cero. Entonces los forzo ¿no? con esta alternativas o disyuntiva, los forzo a que sean cada uno cero, y you la hice ¿no? you encontré esos dos valores numéricos que seguramente si lo metemos acá desde el principio nos van a dar el igual a cero. Ciertamente. Vamos a hacer un ejercicio mental. meto un cero aquÃ. Tres por cero menos dos por cero da cero ¿okey? Si metemos el dos tercios va a estar un poquito más difÃcil, pero vale la pena porque esta aritmética,o sea tenemos que tomarla digamos, este, tomar el control de ella. Vamos a meter el dos tercios acá ¿les parece? Entonces tendÃamos el tres por dos tercios al cuadrado menos dos por dos tercios ¿si? No tengan miedo, son quebrados, pero no pasa nada ¿no? Los quebrados son tan fáciles de manipular a veces, o sea vean ustedes como ahorita, que tengo un dos al cuadrado pues you puedo poner un cuatro. Y aquà este tres al cuadrado, pues puedo poner el nueve aquÃ, este dos por este dos tercios, o sea el dos está como que en el numerador, ¿se fijan? Arriba. El dos se multiplica con este dos y me queda un cuatro. Y acá abajo queda el tres, y ahorita que lo tenemos asÃ, esta expresión que tengo ¿no? aquÃ. Tres por cuatro entre nueve, lo ideal es que uno piense matemáticamente y diga este tres y este nueve se pueden simplificar ¿no? ¿Cómo? Pues sacando tercera. O sea vamos a sacar tercer y también me saco yo de aquà para poder hacer la operación allà abajo. ¿Si? Entonces tenemos una tachita aquÃ. Tenemos una tachita acá. Y entonces lo que obtenemos es un cuatro entre tres, menos otro cuatro entre tres. Y ahora obtuve un cero. A donde debÃamos de llegar. ¿Okey? Entonces operamos con los quebrados también. Ese es un buen repaso también de nuestra aritmética ¿no? Y hemos encontrado que esta ecuación cuadrática no mereció la fórmula general, no la aplicamos para nada. Fue una simple factorización que nos llevó después a la disyuntiva de igualar a cero. Me gustarÃa que en el siguiente, eh, en la siguiente hoja trabajemos con el otro tipo de ecuación cuadrática, en donde les digo no se merece la fórmula general. ¿Okey? Esta ecuación va a ser tal. Vamos a ponerle los mismos números. ¿Se acuerdan cuáles tenÃamos? Tres x cuadrada, pero ahora les voy a cambiar y en lugar de decir menos dos x, voy a decir menos dos. Y no le pongo la x. ¿Okey? Igual a cero. ¿Okey? Me traigo mi molde de la ecuación cuadrática. Aquà está. Y vean ustedes qué fue lo que hice. Les estoy poniendo que la a valga tres y la b, que es la que está detrás de x you no está aquÃ. Eso quiere decir que la b vale cero. ¿Okey? Y la c que está aquà solita, es este menos dos que está solo ¿no? Entonces estoy otra vez inventando una ecuación cuadrática que tiene dos términos nada más, en lugar de los tres. Y entonces no va a merecer la fórmula general. ¿Por qué? A lo mejor you ustedes mismos es están imaginando qué es lo que tendrÃamos que hacer. En esta expresión es bien simple decir voy a pasar El menos dos del otro lado de la igualdad como un dos. Me queda entonces que x cuadrada es igual a un dos entre tres, y en este momento espero que recuerden ustedes que para quitar este cuadrado lo que se hace es sacar raÃz cuadrada en ambos lados ¿no? Pero siempre, siempre hay que tener la precaución de decir más menos raÃz de dos tercios. ¿Si? Este más menos raÃz de dos tercios nos está dando las dos soluciones . ¿Cuáles son? Una serÃa eh, raÃz de dos entre raÃz de tres. Puedo separar los radicales. Les estoy recordando que cuando tengo raÃz de, el cociente de dos números se pueden separar las dos raÃces ¿no? Y en la otra serÃa x igual a menos raÃz de dos entre raÃz de tres. ¿De acuerdo? Hemos encontrado los dos números que satisfacen esta ecuación. Me gustarÃa acabar con este video haciendo la sustitución, ¿si? Sin miedo vamos a cerrar una de ellas. Agarremos esta que es la más complicada. La vamos a meter acá y entonces nos va a quedar tres por menos raÃz de dos entre raÃz de tres al cuadrado menos dos ¿si? Esto va a ser igual a tres. Observen que este signo negativo al elevarse al cuadrado va a quedar positivo. RaÃz de dos al cuadrado nos va a quedar un dos. RaÃz de tres al cuadrado nos va a quedar un tres. Y aquà le quitamos dos. Y en este cociente que tenemos aquà inmediatamente en esta multiplicación el tres está arriba, este tres está abajo. Se cancelan y nos va a quedar un dos menos dos lo cual da igual a cero. Lo que querÃamos mostrar ¿verdad? O sea you llegamos a mostrar que este número realmente satisface esta ecuación. Como ven hemos hecho algún repaso you de aritmética. Hemos hecho también en algún repaso de álgebra y hemos resuelto ecuaciones cuadráticas que no merecen la fórmula general. Yo pienso que nuestro paréntesis va a durar incluso en el siguiente video. Lo vamos a hacer un poquito más grande porque quisiera que ahora tratemos con ecuaciones de estas mismas, en donde deberemos como los números imaginarios van a tener inevitablemente que surgir en los procedimientos matemáticos. Los espero entonces.
