Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Conociendo a fondo la cúbica básica
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Para este video sobre nuestra función cúbica me gustaría que conociéramos
a nuestra función cúbica más a fondo. ¿A qué me refiero con esto?
Bueno, pues necesariamente comenzaremos con una representación gráfica.
Y sobre ella me gustaría hacer algunas observaciones.
¿Me acompañan entonces?
ahorita estoy utilizando software que es Graphing Calculator.
Ustedes encuentran la referencia entre nuestros recursos.
Y lo que pueden ustedes hacer es, yo tengo
la licencia de este software, pero yo les voy a
poner los archivos que ustedes si bajan el viewer van
a poder observarlos igual como los estoy trabajando yo aquí.
Entonces, miren, ahorita lo que tengo ahí graficado es
nuestra función y igual x cúbica, en este tono rosa.
Y entonces observamos que este gráfica
está pues you haciendo siempre creciente, ¿cierto?
Y tiene un punto de inflexión aquí.
La cúbica nos ha permitido hablar you con precisión de este
punto de inflexión: un punto de la gráfica donde la concavidad cambia.
Y con ese cambio de concavidad, las características
del comportamiento de la magnitud que esa cúbica está
representando cambian también.
Por ejemplo, podríamos nosotros decir aquí independientemente de lo que la
ye represente es una ye que está creciendo cada vez más lento.
Y después sigue creciendo cada vez más rápido.
Y eso lo estoy haciendo interpretando la concavidad de la curva.
Bien.
El software este que estoy utilizando tiene
la ventaja de hacer acercamientos muy precisos.
Vean ustedes lo que hice.
Este botón acá abajo me permite hacer un zoom in, me acerco; y
entonces tengo una imagen más, como si estuviera viendo la curva de cerca.
No cualquier software puede hacer esto.
Hay que tener cuidado con los acercamientos porque a veces
es difícil que en el acercamiento se mantengan las escalas.
Este software es particularmente especial porque tiene esta ventaja
y nos permite hacer acercamientos certeros.
Entonces ahorita que lo está viendo en esta zona, me gustaría
invitarlos a ver cómo la curva se pega al eje horizontal.
Y luego se despega, se desprende del eje horizontal lentamente.
En esta zona de aquí prácticamente yo puedo
ver casi una recta horizontal en el gráfico.
¿Qué quisiera hacer de anotaciones al respecto en esta parte?
Ahorita aprovechando la zona en donde estamos, me gustaría que viéramos algo que
se me hace muy característico del comportamiento de esta gráfica.
Voy a ponerle aquí encima este otro software para que nos permita verlo.
Y entonces vamos a ver sobre
él algunas consideraciones de corte numérico.
Vean ustedes como esta gráfica en el 1 está a la altura 1.
O sea, me voy por aquí, creo que le atiné, este sería el punto (1,
1) ¿cierto? Y antes de este punto, tenemos puntos de
otros valores menores que 1. Todas las x que están aquí son
x que están entre 0 y 1. Y lo que está
pasando aquí cuando esas x están elevadas al cubo, lo que
yo interpreto aquí es la x cúbica. Aquí está x cúbica y así nos vamos.
¿De acuerdo?
Entonces, en esta zona, en la zona donde
estamos viendo, vean que cuando un número es pequeño,
cuando está entre 0 y 1, su valor x cúbica es un valor todavía más pequeño.
Vean ustedes ahorita por ejemplo para este x; este x.
La longitud de x sería donde ahorita tengo el lápiz remarcándose, todo esto es x.
Y vean x cúbica. Está más pequeño el segmento, ¿no?
Eso lo puedo hacer, les digo, porque estoy con este software
y estoy respetando las escalas. ¿De acuerdo?
Esto me está diciendo que cuando un número es
pequeño, por ejemplo, pequeña es entre 0 y 1.
1 entre 2, está entre 0 y 1, lo elevo al cubo.
Yo elevo 1 entre 2 al cubo y ¿qué me va a quedar?
1 entre, se eleva al cubo el 1, se eleva al cubo el 2 y me queda un octavo.
Comparen un un octavo con un medio, ¿quién es más pequeña?
El un octavo, ¿no?
you lo hemos chequeado también con anterioridad.
Cuando yo tengo una relación en este sentido: si 8 es más
grande que 2, un octavo el recíproco es más chico que un medio.
¿De acuerdo?
Entonces estamos viendo que este segmento, x cúbica es más pequeño que
este segmento, que es x. ¿Se fijan?
Eso es algo que yo quería remarcarles porque estamos como que nuestra mente
está acostumbrada a que si algo lo elevo al cubo lo hice más grande.
Porque a lo mejor nuestro espacio acá adentro me
dice que los números son 1, 2, 3, 4
5 y no estamos tomando en cuenta toda la
gama de números que hemos querido que ustedes ganen, digamos,
con este curso.
Si yo tengo un número pequeño, entre 0 y 1.
Un séptimo.
Y eso lo elevo al cubo. Un séptimo al cubo.
Me quedaría 1 entre 7 al cubo, la cantidad que obtengo es todavía más pequeña.
No porque elevo al cubo tengo que pensar que las cosas se hacen más grandes.
¿okay? Cuando estamos
en números mayores que 1, que sería en la zona de acá, estoy de acuerdo, ahí sí,
elevar al cubo hace la cantidad de x cúbica más grande de lo que esperábamos.
Entonces, esa es una observación de corte numérico
que quería hacer con ustedes sobre este gráfico.
Este gráfico podría yo interpretarlo así, miren.
Si yo, espero tener buena puntería,
si yo junto esta recta. No la tuve, no tanto.
Quiero ponerles la recta y igual a x, que junte el (0, 0) y el (1, 1).
Cada vez que yo tengo aquí x cúbica, el valor de x, que se lo señalé con el
segmento horizontal, es igualitito que pensar aquí en x hasta arriba, ¿cierto?
Cada vez que yo tengo una cantidad menor que 1, por ejemplo
me voy a poner aquí en este. Vean como topo con
la curva rosa y luego voy y topo con la recta que acabo
de dibujar negra. Esto que estoy viendo aquí me está
diciendo que x cúbica, que es hasta llegar hasta la curva roja, digo
perdón, rosa es más chico que x. Porque toda esta longitud
sería x, que es la misma longitud que acá, puesto que estoy en la recta y igual a x.
Esta es una manera visual de ver que x cúbica es menor
que x. Acá lo vimos aritméticamente, ¿de acuerdo?
Bien.
Vamos a quitar ahora esta pantalla, vamos a cerrar esto.
Nos vamos a quedar con la imagen del software.
Y yo quisiera que, nuevamente, enfatizar esto de ver a la curva de cerca nada más
que, como ven ustedes aquí, el eje horizontal,
el eje x, se nos amontona con la curva.
Lo que voy a hacer es tratar de que esta curva rosa, ponerla en otra zona.
Voy a hacer algo así.
Hagan de cuenta que copio la curva y la muevo una unidad a la derecha
y luego la subo una unidad.
De tal manera que voy a lograr que este punto quede en el (1, 1).
Me voy a regresar en el acercamiento para que tengamos la idea más clara.
Y entonces, eso que les dije visualmente, no lo puedo hacer
con la curva, esta no la muevo mover, aquí no puedo usar mi dedo para trasladarla.
Pero ahí es en donde lo que podemos aprender nos ayuda.
Esta expresión: x cúbica, si yo le pongo aquí un menos 1 estoy
haciendo que todas las x se corran una unidad hacia la derecha.
¿Por qué?
Porque cuando x valga 1, me va a quedar 1 menos 1 cero,
o sea, lo que pasaba antes en el 0, ahora pasa en el 1.
Entonces si ahorita le digo que me la dibuje, vean ustedes
lo que pasó.
La gráfica que tenía aquí originalmente se movió una unidad a la derecha.
¿De acuerdo?
Entonces you logré moverla una unidad a la derecha.
Ahora quiero subirla una unidad.
Entonces lo que voy a hacer es salirme aquí de
la expresión, estoy trabajando aquí arriba, y le digo más 1.
O sea, le estoy diciendo, todas las yes
que tenías antes, súbelas una unidad, aunméntales un 1.
Y vean el gráfico que tenemos.
you tenemos un gráfico que se movió una
unidad a la derecha y una unidad hacia arriba.
Y entonces nuestro 0 está por aquí. Nuestro 0 de antes, eh.
ahí está nuestro punto de inflexión.
Si me muevo un poquitito, dejen ver, no ando
con muy buen pulso ahora, pero you, you le atiné.
¿Ven ustedes aquí como está la coordenada (1, 1)?
En el (1,1), ahí tenemos señalado ese punto.
Y puedo hacer acercamientos.
Voy a darle clic aquí, una vez, dos veces, tres veces.
Vean ustedes lo que está pasando con la curva.
O sea la estamos viendo de cerca.
Y al verla cada vez más de cerca, miren lo que va a pasar.
Ahí está prácticamente en una horizontal.
Eso es lo que yo quería mostrarles, como para decirles, la estamos
viendo a la curva a profundidad. Una cúbica, y igual x cúbica, nuestra
famosa y igual x cúbica es una curva que, cuando la vemos ahí cerquita donde está
ese punto azul, se ve prácticamente horizontal, ¿de acuerdo?
Esto, obviamente, lo vamos a relacionar con nuestra idea
de la derivada o de la razón de cambio.
Lo que yo quería era que lo vieran
ahorita aquí en la pantalla.
Entonces la voy a devolver realmente, ahorita
bueno voy a prescindir de esta curva.
Y...
o bueno, podríamos dejarla y quitarle las cosas que le habíamos hecho, déjenme ver
si le puedo quitar rápidamente esto y que nos quede solamente nuestra x al cubo.
Entonces you tenemos otra vez nuestra imagen original.
¿Y ahora qué vamos a hacer con ella?
¿Qué vamos a hacer?
Los voy a invitar a que hagamos
esa traslación hacia arriba de una manera dinámica.
Aquí tengo expresada esta función: y igual a x cúbica más k.
Voy a ponerles este tono azul, ¿de acuerdo?
esto es algo que ustedes pueden hacer con el viewer que nos ofrece este paquete.
Ahorita están viendo que estoy produciendo
la gráfica x cúbica más k.
Si yo muevo ese parámetro k como lo ven aquí abajo.
Al moverlo vamos a tener una animación en el gráfico.
Ahí viene, ¿ven? Va bajando y luego va subiendo.
Bueno, todavía no va, no sube, you viene de regreso.
¿Se fijan?
Estamos haciendo, voy a pararlo aquí en un lugarcito, qué tal aquí.
you lo paré.
Vean ustedes esta gráfica y esta gráfica.
Realmente es la gráfica morada que se subió, o lila subida cuántas unidades.
Hasta este lugar.
Y ese lugar está dado aquí por el parámetro.
¿De acuerdo?
Estarán también de acuerdo conmigo en que cualquiera de las que les ponga aquí.
Cualquiera de estas, cualquiera, cualquiera, cualquiera.
Tiene que tener la misma
derivada que la moradita. ¿Por qué?
Porque lo único que afectamos fue esta constante k.
O sea la hicimos una suma de una constante positiva.
Y, si yo derivo, x cúbica más k, la derivada es 3x cuadrada.
Nada más.
En cualquiera de ellas.
Entonces si ponemos ahorita, vamos a ponerlo, vamos a
quitar nuestra cúbica original, pensando en que you nos
la sabemos, you la conocemos. Y vamos a poner aquí nuestra 3x cuadrada.
Vean ustedes este 3x cuadrada es la derivada de todas las azules.
Entonces cuando hacemos nuestra animación,
ahorita, estamos produciendo una animación en
donde la roja no se mueve y la azul sí se mueve.
Pero ese movimiento de la azul es un movimiento rígido de traslación vertical.
Cualquiera de ellas que detengamos en algún
lugar, vamos a ver, en este, por ejemplo.
Estamos en menos 2.4.
¿Qué es lo que estamos viendo ahorita en la pantalla?
Vamos a ver si podemos traernos esta imagen de nuevo.
Entonces en esta que por ejemplo tenemos ahorita, vean ustedes.
El parámetro k es menos 2.4.
Entonces qué es lo que estaríamos nosotros leyendo
como la función.
La función que estamos leyendo es x cúbica menos 2.4.
La derivo.
Me queda 3x cuadrada.
Vean ustedes ahora, teniendo su derivada ahí, como el hecho de que
la derivada de 0 me está diciendo de este punto de inflexión.
Algo que pasa en este punto de inflexión. Vean ustedes.
La derivada es 0. Pero no hubo ni máximo
ni mínimo en la gráfica de la función. ¿Por qué?
Porque aquí la derivada no cambió de signo.
Por otro lado, la gráfica de la derivada decrecía y luego crecía.
Entonces aquí tenemos concavidad hacia abajo y luego hacia arriba.
Entonces este punto que está aquí que, es un mínimo de la
derivada, es un punto de inflexión de la gráfica de x cúbica.
Y el hecho de que haya llegado aquí a ser 0 esa derivada, me hace
entender que cuando nos acercamos a esta gráfica en esta zona, lo que
vamos a ver es prácticamente un comportamiento de recta horizontal.
¿Qué es lo que hicimos con este gráfico de y igual x cúbica en este video?
Lo comenzamos a trasladar, a hacer traslaciones verticales.
Observamos el comportamiento de su derivada.
Y, con base en ese comportamiento, entendimos
lo que pasa en este punto de inflexión.
Un punto donde si me acerco
veo prácticamente la curva como una horizontal.
Pero que, sin embargo, el hecho de tener la derivada que decrece y
luego crece, me está diciendo de que el gráfico originalmente era cóncavo
abajo y luego cóncavo arriba.
Solamente que en esa zona central se comporta prácticamente como una recta.
Estamos tratando nuevamente de hacer una relación entre el comportamiento de la
derivada y el comportamiento de la función de la cual es derivada.
Yo los espero en el próximo video.
Me parece que es conveniente que sigamos manejando esto,
que hagamos otro tipo de agregados a nuestra función y igual x cúbica
que nos permitirán fortalecer el aprendizaje
que you hemos estado desarrollando con anterioridad.
Los espero entonces en el próximo.
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