Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Cuadrática con cúbica, derivada y antiderivada
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues regresamos entonces, a mi me gustaría
proponerles unas ecuaciones, no más bien funciones cuadráticas muy especiales ¿no?
que preparé especialmente para poder darles a entender cierta idea clave
en cuanto al comportamiento de la cúbica, que va a ser digamos la antiderivada
de estas funciones cuadráticas, ¿no?
Quiero regresar sobre la última imagen ¿no?
que les compartía la vez pasada.
Me gustaría sobre ellas hacer algunas precisiones.
Miren, porque no quisiera que esperaran ¿no?
que las funciones cuadráticas que les voy a dar son como estas.
Esta imagen yo se las compartí hace algunos
videos, en donde estudiábamos a la función cuadrática ¿no?
Y la veíamos en términos de su derivada lineal.
Utilizamos Graphmática para derivar y entonces las rectas que
ustedes ven son las derivadas de las parábolas ¿no?
Yo les comentaba que, en algún momento cuando
he mostrado esto a los estudiantes, y les pido
que me digan que es lo que observan,
que particularidades observan, ellos si me mostraron el digamos,
la visualización de la inclinación de las rectas.
Y el ancho de las parábolas, lo cual fue un aporte genial ¿no?
Era algo que salía ¿no?,
ahí entre los estudiantes a la vez habría otro tipo de participación
en donde se fijaban, más bien en los cortes de las parábolas.
De hecho me comentaban como
este corte ¿no? de la parábola con el eje horizontal ¿no?,
también esta acompañado de que este punto donde cruza su derivada está entre ellos.
Este corte de la parábola con el eje horizontal, que
es solamente en el cero es donde también la derivada cruza.
Y ahora este corte de, bueno en la parábola no hay cortes, se fijan.
Pero el cruce
de la derivada con el eje horizontal, está digamos fuera de la parábola ¿no?
Este tipo de observaciones, es lo que yo digo que
son aportes del uso de la tecnología a favor ¿no?,
de el aprendizaje de las matemáticas.
Entonces, de todas estas cuestiones que se están observando en ese
gráfico, yo creo que quiero que nos centremos solamente en eso de
los cortes.
No piensen ahorita en la inclinación de la derivada de las parábolas, porque
lo que voy a hacer es provocar que todas esas parábolas tengan el mismo ancho ¿no?
Osea sus derivadas tendrían la misma inclinación.
De hecho, vamos a verlo incluso algebraicamente.
Es un buen ejercicio también algebraico.
Entonces en ese sentido vamos a regresar ahorita a nuestra diapositiva
de la, de las funciones que yo quisiera yo proponer ¿no?
Esas funciones son las que tenemos ahorita en pantalla.
Ustedes me dirán pues si se parecen, pues si se parecen.
Quise meter algo de grados y no asustarlos para trabajar con grados también.
Y bueno, pues ahorita una primera observación que
me gustaría que hiciéramos es,, darnos cuenta de por
qué, por qué tienen el mismo ancho.
Si, ¿por qué tienen el mismo ancho estas parábolas?
Si hacemos la evocación de la imagen anterior, lo que diría yo es,
bueno pues tendría que derivar, vamos a derivar aquí y nos quedaría ¿qué?
menos dos x menos tres.
Y esta sería la recta que estaría graficada ¿no?
Y para graficar esa recta, lo que habíamos aprendido en este curso
es, este es su valor inicial y este menos dos es lo que me
está dando la razón de cambio de esa recta, la pendiente de esa recta ¿no?
Entonces la inclinación de la recta está dictada por este número menos dos.
¿Okay?
¿Qué pasa cuando derivamos ahora la que tenemos en rojo no?
Vamos a derivar este función. Nos quedaría menos dos x más tres.
Igual tenemos un corte diferente pero chequen ustedes como este
numerito me está dando la misma inclinación de esa recta ¿no?
Finalmente vamos a tomar el tono verde.
Derivamos esta función y nos quedaría y prima igual a menos dos x más nueve.
El corte con el eje vertical es diferente pero aquí tenemos la misma inclinación
de esas rectas.
Las tres rectas que tenemos allí en medio son las
derivadas de las funciones cuadráticas que teníamos antes de ellas.
Esas tres rectas tienen la misma inclinación y aunque no usemos un software
ahorita, nosotros podemos estar seguros de que
esas parábolas tienen su mismo ancho ¿no?
No va a ser una variante de las parábolas el ancho ¿no?,
que ellas tienen.
¿Cuál va a ser la variante?
La variante como les digo, como les quiero
proponer en ese sentido de los cortes ¿no?,
con el eje horizontal.
Lo cual va a tener sus
consecuencias cuando trabajemos con sus antiderivadas ¿no?
Cuando las veamos a esas parábolas como las derivadas de otras cosas, ¿okay?
de otras funciones.
Entonces para sacar esos cortes, yo creo
que vamos a necesitar un poquito de espacio.
Osea, vamos a poner aquí la conclusión. Todas igual, de,
vamos a ponerle de anchas ¿no? Esa no es una variante.
Y vámonos para acá.
Y ahora utilicemos este color para, azul, para encontrar los cortes.
Osea como que nuestra cabeza ahorita está la pregunta de cortes con el eje x ¿no?,
de estas parábolas. ¿Okay?
Para sacar los cortes con el eje x, lo que debemos de hacer es igualar a cero ¿no?
Y al igualar a cero entonces lo que obtenemos es una
ecuación cuadrática ¿Y cómo se va a resolver esta ecuación cuadrática?
Ciertamente con la fórmula general ¿no? .
Al resolver la cuadrática con la fórmula general, voy a recordarles aquí ¿no?,
es el menos b más
menos raíz cuadrada de b cuadrada menos cuatro a c entre dos a.
you hemos visto ¿no?,
como este término, el que esta aquí, el b cuadrada menos
cuatro a c, es el que se conoce como el discriminante.
Y ese término es importante porque me va a hacer que tome la decisión, si la parábola
correspondiente corta o no corta el eje. ¿Por qué?
Porque me habla del tipo de soluciones de la ecuación cuadrática en consideración.
Entonces vamos ahorita a economizar un poco en ese
sentido y que les parece si vamos a checar como sale el discriminante.
Vamos a usar la letra d para el discriminante,
para lo que tenemos aquí con el resaltador amarillo.
Tendríamos que tomar nuestra b. ¿Quién es nuestra b?
Bueno pues valdría la pena que aquí hagamos una
entradita Nuestra a es menos uno. Nuestra b es menos tres.
Y nuestra c es menos cinco cuartos ¿no? .
Entonces vamos a hacer la operación aquí
del discriminante, y sería igual a b cuadrada.
menos tres al cuadrado, menos cuatro por la a que
es menos uno, por la c que es menos cinco cuartos.
¿Okay? Y en este caso entonces nos va a quedar
un ¿qué?
nueve, porque menos tres al cuadrado está todo elevado al
cuadrado el signo negativo se hace positivo, es un nueve.
Y luego aquí nos quedaría menos por menos da más, por menos da menos.
Tengo tres negativos.
Este cuatro podríamos cancelarlo con este de acá y entonces ¿cuanto nos va a quedar?
Nueve menos cinco ¿no?
Nueve menos cinco así exactamente nos queda un cuatro.
Salió bonito ¿verdad? .
Entonces aquí nos quedó que el discriminante es un cuatro.
Puedo sacar las soluciones, pero ahorita lo que me importaría es concluir que,
corta dos veces ¿no? .
De acuerdo, el eje horizontal. Vámonos con la roja ¿no?
. Vamos a hacer cambiamos
el color y aquí otra vez vamos a tratar de calcular al igualar esto a cero, y andar
buscando los cortes, vamos a encontrar nuestro discriminante ¿no?,
que sería que, en este caso mi a vale menos uno,
mi b vale tres y mi c vale menos nueve cuartos ¿no?
Y entonces nos va a quedar aquí que b cuadrada, que es un tres al cuadrado,
menos cuatro por a que es menos uno, por la c que es menos nueve cuartos ¿no?
Aquí nos va a quedar ¿qué? un nueve ¿cierto?
Otra vez un negativo, este cuatro con este cuatro
se va y nos va a quedar menos un nueve,¿okay?
y nos dió tanto como cero.
Cuando esa función es cero, vean es como si este, si aquí yo le pusiera
arriba, no se si está viendo o no pero si yo pongo aquí un cero,
you lo puse.
Me quedaría raíz de cero y entonces este más menos que está
aquí actuando en la fórmula general, diría más cero y menos cero.
Pero más cero y menos cero da lo mismo.
Entonces eso hace que solamente sea una solución real repetida.
La que sale como la solución de esa ecuación cuadrática.
Y en cuanto a la interpretación de cortes con el eje x, decir una solución real
repetida, quiere decir que es un corte que podríamos hasta decirle tipo toque ¿no?
Osea como que toca y luego se regresa ¿no?,
es un corte si la parábola fuera de esta manera toca y luego se regresa.
Entonces ese tipo toque quiere decir que es un corte una vez, una sola vez.
Y por último
vamos a hacerlo para nuestra última parábola ¿no?,
la de tono verde.
Vamos a calcular aquí, si hacemos esto igual
a cero su discriminante seria igual a ¿qué?,
menos b, bueno vamos a poner nuestra a menos uno, nuestra b es nueve y nuestra
c es menos ochenta y cinco cuartos ¿no? .
Y entonces tendríamos que el discriminante es nueve
al cuadrada menos cuatro por menos uno, por menos ochenta y cinco cuartos ¿no?
Nos llevamos este cuatro con este cuatro y aparte
de eso el nueve por nueve son ochenta y uno.
Le quitamos pues, lo que le quitemos, ese cuatro por ochenta y cinco es bastante.
Tenemos que veinte, treinta y cuatro creo, cuatro por cinco veinte, creo
que lo hice bien, lo que importa es que es negativo ahorita ¿verdad?
A todos entonces es un número negativo y entonces nuestra conclusión ¿qué va a ser?
Soluciones imaginarias y entonces no corta el eje ¿no?
No corta el eje.
Nuestras tres parábolas tienen esa diferencia.
La azul corta dos veces el eje horizontal.
La roja una sola vez, es más lo toca y se regresa y la verde no corta.¿Okay?
Bueno, esas parábolas you tienen su diferencia pero ahora el siguiente
ejercicio sería que tratáramos de que ellas sean la derivada de otra función.
Se fijan, ahorita yo me atrevería a ponerle aquí un y prima.
Osea ahora voy a ver esta parábola como la derivada de una función, de una y.
Osea ando buscando aquí quien
es esa y, de tal forma que cuando la derive
me quede la función que tengo a mi izquierda ¿no?
Entonces cuando tengo menos x cuadrada you hemos
practicado un poquito en cuando a eso ¿no?
you hemos visto bueno o intuido ¿no?,
que aquí sería un menos x cúbica entre tres.
Este tipo de razonamiento es un razonamiento de ida y de venida ¿no?,
es como un regresar ¿no?
Vean ustedes que si aquí se me ocurre en mi cabeza
derivar, tengo la expresión menos un tercio de x cúbica ¿no?
Entonces cuando derivo, lo que yo hago es dejar el menos un tercio.
El tres que está de exponente lo bajo con la x y me queda al cuadrado.
Y entonces nos quedaría el menos x cuadrada
que es justamente lo que tenemos acá ¿no?
De acuerdo,
entonces ahí vamos bien para el término menos tres x.
Lo que diríamos es menos tres x cuadrada entre dos, si.
Para el término menos cinco cuartos le pondríamos una x, porque
al derivarlo menos cinco cuartos por x, la derivada sería menos cinco cuartos.
Entonces lo que estamos haciendo ahorita es una anti derivada ¿no?
Osea estamos encontrando aquella expresión cuya derivada
es lo que está a la izquierda ¿no?
Yo estoy de acuerdo, probablemente ustedes you estén pensando
y por qué no le agrego una constante c ¿no?
Ciertamente, yo puedo encontrar digo, calcular ahí o
más bien sustituir esa c por cualquier valor.
Pero los voy a invitar a que en este caso, para que todos tengamos la misma ¿no?,
vamos a ponerle
un cero ¿no? .
Osea pongamos cero y entonces quedémonos con nuestras ecuaciones cúbicas asi como
que le evito con una este x de factor en todos los términos.¿Okay?
Vamos a antiderivar la roja. Para antiderivar la roja ¿qué haríamos?,
osea es una derivada y ahora aquí vamos a poner
nuestra y que sería menos x cúbica entre tres, más tres
x cuadrada entre dos, menos nueve cuartos de x,
y así la dejamos pensando que la grafica esa va
a pasar por el origen necesariamente porque una solución
va a ser cero, porque su valor inicial es cero.
Pasa por el origen en el eje x y en el eje y.
¿Okay?
Tenemos you nuestra antiderivada y finalmente vamos a antiderivar
en la verde ¿no?
Para la verde tomamos el tono verde y esta va a ser la derivada.
Y ahora encontramos la antiderivada que sería que, menos x cúbica entre tres,
más nueve x cuadrada entre dos, menos ochenta y cinco cuartos de x.
¿Okay?
Igual, le dejamos el valor cero en el valor inicial y entonces
hemos encontrado la antiderivada. Hemos hecho esta práctica también ¿no?
de antiderivar, y ahorita es un buen ejercicio que ustedes
sean capaces de ir, de digamos de
esta a esta, pero también de esta a esta ¿no?
Esa sería como ese ejercicio en reversa ¿no?,
puedo ir de aquí para acá pero también puedo ir de aquí para acá.
Mi mente puede actuar de aquí para antiderivar pero también mi mente
puede actuar para que de aquí llegue a esta de acá ¿no?
Igual de aquí puedo llegar a acá y de acá puedo llegar a acá.
Este tipo es una práctica que yo les he, no sé si
le he llamado en otras veces una práctica de corte algorítmico ¿no?
Una práctica
muy algebraica, muy algorítmica. Yo le digo
algorítmica en el sentido de que es muy, como les diré, como que mecánico.
Uno nada más you sabe como le hace, se baja el exponente, se multiplica por
el número que estaba antes, cuestiones así donde
ahorita el significado se fijan no está presente.
Me olvidé de los tanques de repente, you no hay tanques, you no hay partículas.
Simplemente son funciones, son parábolas
que estamos antiderivando para formar cúbicas.
Y esas parábolas tenían su derivada que eran funciones lineales ¿no?
Entonces ahorita que hemos llegado a construir estas funciones ¿no?,
cúbicas, a partir de las funciones cuadráticas que
yo les propuse viendo a estas como derivadas.
Yo los invito a que usemos un poco Graphmática
y pues dejarles una tareíta ¿no? .
Qué les parece si retoman estas funciones, no se si las alcanzaron a
anotar o no mientras estábamos haciéndolo. que bueno que la ponemos ahí otra vez.
Retomen estas funciones.
you la antiderivada No grafiquen en Graphmática estas no.
Grafiquen las que están del lado derecho. Osea grafiquen la función en azul,
función en rojo, función en verde ¿si?,
Incluso traten de mantener los colores ¿no?,
como los tenemos ahorita.
Y qué les parece si en el próximo de nuestros videos,
ustedes you tienen su archivo de Graphmática preparado con esas funciones.
Y vamos a utilizar Graphmática para ver con ella,
cuales van a ser las diferencias entre estas gráficas.
Entonces pues yo creo que hasta aquí podemos dejar este video.
La tarea es graficamos en Graphmática las funciones cúbicas
que hemos construido a través del proceso de antiderivación.
Y veamos ahora you con Graphmática como
esas parábolas van a aparecer como la derivada.
Y al ver las diferencias de las parábolas que fueron hechas a propósito ¿no?,
cuando diseñé
esas parábolas, pues vamos a notar cuales son las repercusiones de esas diferencias
en las parábolas con respecto a
las funciones cúbicas que son sus antiderivadas.
Entonces los espero en el próximo video con su archivo de Graphmática.
Igual aquí lo van a ver conmigo.
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