Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Cuando "b" y "c" son 0, despejamos
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Ecuaciones y funciones cúbicas
Retomaremos el contexto real del movimiento en línea recta para activar procesos algebraicos relacionados con la interpretación gráfica del movimiento. Consideraremos diferentes casos de ecuaciones cúbicas en las que podremos calcular sus soluciones con procedimientos algebraicos sencillos.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Un rato más, vamos a convivir con las ecuaciones cúbicas, con equis y yes.
Me gustaría a otra vez, retomar aquella expresión que you teníamos de
la func, de la ecuación cúbica, la ecuación, ahorita no la función.
No vamos a hacer gráficas, vamos a hacer álgebra, ¿sí?
Me gustaría que en esta ecuación, tomáramos
en cuenta cierta información adicional, y ver cómo
podemos tratar con esas ecuaciones cúbicas, sin que tengamos que hacer uso de
aquella fórmula general de Cardano que, que realmente es de lo más complicada.
Entonces, si me acompañan aquí en la hoja, vamos a hacerlo ahora escribiendo.
Aquí yo tengo mi ecuación cúbica: ax cúbica más bx cuadrada
más cx, más d, ¿ok? Lo que les voy a proponer ahora,
es que en esta ecuación cúbica hagamos algo como esto.
O sea, vamos a quitar estos términos de aquí, estos dos términos.
O sea, vamos a suponer que la b y la c valen ambas 0, y
vamos a trabajar por un rato con la ecuación cúbica ax cúbica más d igual a 0.
Van a decir, pues eh, así qué fácil, ¿no? Pues sí, es lo que quiero que vean,
así qué fácil.
Porque hay veces en que las ecuaciones se resuelven
fácilmente, ¿no?, pero no lo notamos, o sea, andamos
buscando, no sé, a veces complicarnos con algún método
general, ¿no?, cuando las cosas están a la vista.
Pero igual hay mucho que decir en esta solución, como lo
podrán ver con los ejemplos que hagamos, ¿no?, para podernos situar.
Miren, vamos a tomar un primer ejemplo. ¿Qué les parece si ponemos?
Voy a poner
uno eh, que también salgan números bonitos, ¿sí?
El 8 es bonito, ¿no?
O sea, ahí se ve, ¿no?, está bastante bonito mi ocho.
8x cúbica, más 1, igual a 0, ¿ok? Tomé la a como
un 8, tomé con la d como un 1, y vamos a resolver esa ecuación cúbica, ¿ok?
El procedimiento que se antoja, digamos, ahorita, ¿no?, realizar, es un despeje.
O sea, vuelve nuestra palabra despeje, una palabra muy algebraica, ¿no?
que lo que significaría es vamos a
arreglárnosla para que esta x quede solita.
Tengo dos términos, igual su suma igual a 0.
Entonces, en ese despeje lo que yo podría hacer es pasar primero el 1
con signo positivo de aquí al otro lado. Pasaría como menos 1, ¿ok?
Y de
ahí nos quedaría este 8 que multiplica a x cúbica, lo podríamos nosotros eh,
en el siguiente paso pasar, pero dividiendo
aquí el menos 1, ¿no?, porque está multiplicando.
Entonces nos queda que x cúbica es igual a menos 1, entre 8 menos 1 octavo, ¿ok?
Y en este momento la manera de expresar matemáticamente, ¿no?
nuestra x, es eh, escribiendo un ra, una raíz
cúbica, ¿cierto?
O sea, vean, estamos teniendo que esta x elevada al cubo da menos 1 octavo.
O sea, que x tiene que ser la raíz cúbica de, menos 1 octavo.
O sea, tiene que ser, el número que elevado
al cubo me va a dar, menos 1 octavo.
Cuando vemos estos radicales cúbicos con el signo negativo hay
muchos estudiantes que dicen, no, pues you, no existe, ¿no?
Pero aquí hay que tener cuidado, porque si estamos con una raíz cúbica sí se puede.
O sea, no se puede tener raíz cuadrada de un número negativo,
porque no va a haber número, que al cuadrado, me salga negativo, ¿ok?
Pero sí puede haber número que elevado al cubo salga negativo.
O sea, un número negativo elevado al cubo: menos por menos da más,
por menos da menos. O sea, que sale negativo.
Entonces, esto sí es posible.
Ahorita, yo, este, quisiera, ¿no?,
recordarles ciertas propiedades de los radicales
que lo ilustro con esto, luego lo vemos con la calculadora, pero
vean que aquí es posible que hagamos una repartición, digamos, de los
radicales en raíz cúbica de menos 1 y raíz cúbica de 8.
¿Esto por qué?
Pues porque yo quisiera que
este número 8 lo recuerden ustedes como un 2 al cubo, es 2 por 2 son 4 por 2 son 8.
Entonces, aquí uno puede decir, rápidamente, que en este don, denominador
hay un 2, y en el numerador tendríamos raíz cúbica de menos 1, que es menos 1.
¿Por qué?
Porque menos 1 por menos 1 da 1, y 1 por menos 1 da, menos 1, ¿no?
Entonces este número menos 1 si yo lo elevo
al cubo me va a dar, menos 1. Por eso es la raíz cúbica de menos 1.
Entonces, nuestra respuesta fue: x igual a menos 1 medio.
Y ahora vamos a usar nuestra calculadora, no cualquier calculadora,
va a ser una calculadora que tenemos ahorita la posibilidad, ¿no?
en estos artefactos tan, tan útiles, ¿no?.
Y en ella vamos a, usarla para ver cómo calcular
estos valores numéricos que hicimos por otro lado a mano, ¿no?
Entonces, si ustedes
se fijan eh, esta notación matemática, incluso es fundamental, ¿no?,
ahora en ese tipo de recursos, yo le oprimí aquí
a la raíz enésima, me apareció este, esta forma para
editarla, en esa forma, ustedes ven, yo me puedo meter, ¿no?
y you ahí adentro puedo decirle que me ponga un cociente.
Vamos a ponerle aquí el cociente.
¿Por qué?
Porque nosotros andamos calculando la raíz cúbica de menos 1 octavo.
Entonces, en la parte superior le podemos decir menos 1, ¿sí?, y en la parte
inferior le vamos a decir un 8, tendremos
entonces dentro del radical un menos 1 octavo.
Y acá, en la raíz vamos a editarle ahí y vamos a ponerle raíz cúbica.
Dejen ver si me lo tomó, ahí está el cubo.
Entonces, si se fijan en la expresión, you está raíz
cúbica de menos 1 octavo justo como lo hacemos nosotros,
¿no?, a mano.
Entonces, en este momento, podríamos darle al igual, la calculadora
nos dice menos 0.5, que es nuestro menos 1 medio, ¿no?
Incluso es capaz de ponérnoslo en cociente, ¿sí?
Ahí está el menos 1 medio.
¿Okay?
Ilustramos entonces cómo se resuelve esta
expresión, ¿no?, o sea en nuestra calculadora.
Regresemos a nuestros procedimientos, entonces
hemos resuelto una ecuación cúbica,
esta ecuación cúbica la resolvimos y nos salió esta solución.
Una solución real, ¿cierto?
Pero recuerden nuestro Teorema fundamental del álgebra, o sea, nosotros sabemos que
esta ecuación cúbica viene, debe de tener tres soluciones, o sea, tres raíces.
Que las otras raíces sean complejas es
otra cosa, o sea, pero pudiéramos encontrarlas, ¿no?
Entonces, eso es lo que vamos a hacer enseguida, ¿sí?
Me gustaría que antes de eso, solamente para mostrar la ventaja de estas
calculadoras, no pensemos en cantidades tan, bonitas como el 8 y el 1, ¿no?
O sea, sino que propongamos por ejemplo el, resolver una ecuación como, no sé,
inventan, un 5x cúbica más 7 igual con 0. Ustedes sabrían de
aquí que x cúbica sería igual a menos 7 quintos, y entonces estarían pidiéndole
ustedes a la calculadora la raíz cúbica, de menos 7 sobre 5, ¿no?
O sea, eso es algo que esta máquina, ese número parece que
fuera un número tan extraño, ¿no?, raíz cúbica de menos 7 quintos.
Pero esta máquina tan rápido nos puede decir simplemente
que nos metamos aquí, editamos y le ponemos el 7, ponemos en el denominador
el 5, raíz cúbica de menos 7 quintos, y eso nos va a dar un menos 1.1186889, ¿no?
Se fijen que ahorita, esta, you no está diciendo que
ahora sí estamos ante la presencia de un número, irracional.
No lo va a poder convertir en quebrado, ¿ven?
No se pasó a, no me da la opción de
quebrados, porque es un número irracional.
¿Qué quería ilustrar con ustedes antes de pasarnos a ver las otras dos raíces?
Quería ilustrar con ustedes que no bas, no ten, no
tienen que ser ecuaciones tan bonitas, ¿no?, que den números racionales.
Pueden ser eh, ecuaciones no tan bonitas
que dan lugar a números eh, irracionales, ¿no?
Pero a final de cuentas, en este tipo de ecuación
siempre va a salir una solución real. A veces racional, a veces irracional.
Una solución real. ¿Y las otras dos, dónde están?
Las otras dos seguramente han de ser soluciones complejas.
Vamos a ver cómo podemos obtener esas
soluciones si recordamos un poquito de álgebra, ¿no?
Un poquitito de álgebra, leve, ¿um? No quiero
traerme una fórmula aquí de memoria, que vuelva a quedar en su
cabeza de memoria, sino que quiero proponerles que, o sea, veamos de donde
sale, ¿no? Tenemos 8x cúbica, más 1 igual a 0.
Y you nos dimos cuenta de x igual a menos 1 medio es una solución de esa ecuación.
Ciertamente,
menos 1 medio al cubo me da me, menos 1 octavo, por
8 me queda menos 1, más 1 va a dar igual a 0.
Estoy comprobando mentalmente que esta es solución de esta ecuación.
¿Okay?
Cada vez que tenga esa, solución, yo puedo hacer
la expresión x más 1 medio igual a 0.
O sea, ¿qué fue lo que hice?
Pasé este número de este lado, con signo positivo.
Y entonces, esto que está aquí,
viene siendo un factor de esta expresión. ¿A qué me
refiero con factor? O sea, que esta expresión se puede
escribir como x más 1 medio por algo, ¿no? Este es un factor, por algo, ¿ok?
Por algo que va aquí. you estaría esto como un factor.
¿Cuál es este algo que queda aquí? Pues seguramente, va a ser cuadrático,
porque al multiplicarlo por x nos tiene que resultar algo cúbico, ¿no?
Bien, pues este algo que está aquí, es justamente, si yo lo despejo.
Despejen este algo y les va a quedar esto es igual a esto entre esto, ¿no?
O sea, este pasaría dividiendo, ¿de acuerdo?
Eso es lo que ustedes conocieron como la división de polinomios.
O sea, no sé si estemos acostumbrados al mismo arreglo,
espero que sí, yo haría algo así: en 8x cúbica más 1, entre x más 1 medio, ¿no?
Y en esta división, ¿sí?
estaríamos pensando primero, 8x cúbica entre x nos va a
quedar 8x cuadrada, 8x cuadrada por x queda 8x cúbica.
Aquí se pone para la resta, menos 8x cúbica, se le cambia el signo.
Este es el algoritmo,
¿no?, de esta división, lo estoy nada más reproduciendo, espero que les haga, eco
en su mente, ¿no?, cuando lo hayan
estudiado, y si no, bueno, pues pueden aprenderlo.
¿Qué fue lo que hice?
8x cúbica lo dividí entre x.
Si eso lo hago en mi cabeza, o sea, 8x cúbica entre
x, vean cómo se cancela x cúbica x, me queda x cuadrada.
Eso es lo que puse aquí, y me arranqué ahora multiplicando
och, 8x cuadrada por x da 8x cúbica y le cambio el signo.
8x cuadrada por 1 medio me queda 4x cuadrada.
Le cambio el signo, menos 4x cuadrada. Hacemos aquí esta operación, estos
dos se cancelan y la ca, la expresión que nos quedó es menos 4x cuadrada más 1.
Y menos 4x cuadrada más 1. Volvemos a hacer el proceso.
Menos 4x cuadrada entre x,
me va a quedar menos 4x, ¿no? Menos 4x por x es menos 4x cuadrada,
cambiamos signo, más 4x cuadrada. Menos 4x por 1 medio
me queda menos 2x y le cambiamos el signo, más 2x.
Hacemos aquí está cancelación, nos queda finalmente un 2x más 1.
Aquí el 2x dividido entre este x me va a dar un 2,
2 por x es 2x, para la resta es menos 2x, 2 por 1 medio es un
1, se pone aquí con el signo contrario, y you nos quedó un 0, en esta parte de acá.
Este residuo a cero nos está certificando que realmente esto que está
aquí arriba es un factor, ¿no?, es lo que va justamente aquí.
De tal manera que, ahorita you podemos asegurar nosotros, voy a cambiar la
hoja, que 8x cúbica más 1, es igual a x
más 1 medio, por el algo, ¿no?, ese algo que acabamos
de sacar acá, que es el 8x cuadrada menos 4x más 2.
8x cuadrada menos 4x más 2, ¿ok?
Antes de despedirnos en este video, me gustaría
hacer un pasito más, un pasito más que, es
algo que también, bueno, pues you hemos practicado, ¿no?
O sea, vean ustedes cómo en esta expresión hay un número 2 de factor.
No me puedo quedar con una expresión matemática sin
simplificarla yo, es, you tengo un trauma, yo creo.
Este 2 multiplica a 4x cuadrada, menos 2x más 1, ¿no?
2 por 4, 8, 2 por 4,
2 por, 2 por 2, 4 y 2 por 1, 2, ¿sí? Y
este número 2 se lo puedo multiplicar a la expresión de acá, ¿okay?
Y entonces me va a quedar 2x, 2 por x, 2x, más 2 por 1
medio, más 1. Por 4x cuadrada, menos 2x más 1.
Y aquí es en donde yo quería llegar con ustedes.
Si no lo reconocen, ahorita es momento de reconocerlo, ¿no?
Se trata aquí, de algo que en álgebra se conoce como una suma de cubos.
a cúbica más b cúbica.
Esta suma de cubos, se puede factorizar, ¿cómo?
Si ustedes se fijan aquí, nuestra a es 2x, más 1, o sea, nos
quedaría aquí, perdón, la a, más la b, y aquí nos
quedaría el a cuadrada, menos ab más b cuadrada.
Probablemente, ustedes esta expresión la traían en la cabeza, ahí en lo
más recóndito de su pensamiento, en algún momento la vieron, en álgebra, ¿no?
Pero igual, si no lo vieron, no importa.
Lo que importa ahorita es que veamos cómo es
posible generar este tipo de expresiones a partir de
haber hecho un cálculo, y un recuerdo también de la división de polinomios.
En esta expresión, tomen en cuenta que la a es 2x, y que la b es 1.
Y vean ustedes cómo esta fórmula es la que me da justamente la parte que está arriba.
¿Qué faltaría hacer?
Bueno, yo los invito que para la próxima eh, vez, ver, vez que me vean, ¿no?
Lo traigan ustedes hecho.
Esa parte que quedó cuadrática, ¿ok?, sería el otro factor que al
igualar a 0 nos va a dar las dos soluciones que nos faltaban.
Y que estábamos anticipando nosotros que,
seguramente han de ser soluciones complejas.
Yo los invito entonces a que resuelvan esa ecuación cuadrática que quedó, es 4x
cuadrada, menos 2x más 1, y los espero en la próxima ocasión, en donde tendremos,
ocasión de hacer otras soluciones de ecuaciones
cúbicas.
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