Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Cúbica básica más cuadrática "kx²"
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues sí, realmente teniendo este tipo de
programas para graficar claro que dan ganas de decir ¿Por qué
no les sumo a una cúbica una parábola? Si you le sumamos una recta, ¿Qué más da?
Entonces, eso es lo que quisiera que hicieramos a partir de este video.
O sea, vamos, estamos conociendo digamos a profundidad
la función cúbica.
Ahora le vamos a agregar este término k por x cuadrada.
Eso significa esto que les dije como coloquialmente
"vamos a sumarle a la cúbica la parábola".
Entonces, si ahorita you la pongo como un
parámetro, estoy permitiendo que este parámetro cato me
valore positivos y negativos y miren la imagen,
bueno la animación que obtenemos con este software.
Ahora podríamos ver aparecer lo que es una parábola, pero ¡Nada!
Es como si una parte de la curva se fuera y luego regresara, ¿no?
Vamos a hacer algunas "zoom", un alejamiento.
Vamos a verla más de lejos para ver todo lo que está pasando.
Si se fijan ustedes, me da la impresión de que la cúbica se mueve hacia
la izquierda ó hacia la derecha pero como que jalándole.
O se jalándole de aquí para hacer un mínimo ¿no?
cuando estamos en esta zona.
Y luego cuando estamos en esta zona se jala de aquí para hacerle un máximo.
¿Cierto? Esa impresión me da esta animación.
Jalo de acá ahora para hacer el mínimo, y
luego jalo de acá you cuando llegue a la cúbica
original, la jalo de acá y entonces sale un máximo.
¿No?
Curiosamente, el máximo está cuando en un lado negativo
y el mínimo esta en un lado positivo ¿Okay?
Fíjense, estas son observaciones que puedo hacer porque estoy viendo esa animación.
¿De acuerdo?
Por el otro lado vamos a entender todos esos efectos de
que le salga el máximo y el mínimo a esa gráfica
azul a partir de la representación algebraica, ¿no?
Y entonces en ese momento a mi me parece
que sería conveniente que tomáramos un caso en particular.
Yo creo que después de que hagamos el
ejercicio con números particulares va a ser más
sencillo que podamos trasladar esto a una expresión
general utilizando el parámetro k, que es algo
importante en el manejo de la notación simbólica en matemáticas.
Entonces vamos a tomar un valor de k.
¿Qué les parece ahí, donde me quedé, hice un clic y me quedé en 2.8?
¿Sí?
Si nos quedamos en esa expresión, tenemos una gráfica.
Vean ustedes la cúbica.
Déjenme, voy a hacer solamente un acercamiento.
Hacemos ese acercamiento para verlo un poquito más,
y entonces vamos a hacer aquí una imagen y trabajemos sobre
esta, sobre esta imagen, ¿no? Entonces el valor fue el 2 ¿Se acuerdan?
Ahí va a estar nuestra gráfica.
Aquí tenemos nuestra función y entonces vamos a trabajar un poquito con ella, para
ver que cosas podemos decir. Y entonces you con esta imagen tomamos
el tono azul. Vamos con nuestro tono azul.
Vamos a tener nuestra función que es que y igual a x cúbica, más un 2.8 por x al
cuadrado porque ése es el valor 2.8 que nosotros
elegimos, donde fue donde le di "parar" en el software.
Entonces esta es nuestra función ¿Okay? Queremos conocerla a fondo.
Vamos a encontrar su derivada para poder tener
más información. Tomemos la tinta roja para hacer nuestra
derivada con rojo y nos quedaría 3x cuadrada más este número dos, va
a bajar multiplicando, 2 por 8 son 16...5.6x.
¿No? Ahí está.
Esa es nuestra derivada. Cuando andamos buscando máximos y mínimos.
O sea para encontrar máximos y mínimos entonces
tendríamos que igualar nuestra derivada con 0 ¿no?
Entonces vamos a igualar con 0 y entonces nos queda una ecuación cuadrática.
¿Cierto?
Esta ecuación cuadrática realmente, otra vez,
no voy a recordarles la fórmula general
porque vean ustedes que es una cuadrática que no tienen el término independiente.
Entonces, más vale que factorizemos una x que multiplica
a 3x más 5.6. Y esto se iguala a 0.
Cierto.
Y entonces tendremos nuestra disyuntiva: Para que el producto de los números
me de 0, eso hace que necesariamente uno de ellos sea 0.
Entonces al igualar a 0 x tendría esta opción.
Al igualar a 0 el otro término tendría esta opción ¿no?
. De aquí 3 x es igual a menos 5.6 Y
entonces x es igual a menos 5.6 entre 3. ¿De acuerdo?
Este valor lo podríamos dejar así. Podríamos pensar "Bueno, nos traemos
la calculadora" pero ahora no la traje. Puedo sacar la calculadora de aquí.
Pero para mi que no va a salir exacto. Vamos a ver.
Vamos a ponerle un 5.6 entre 3, igual.
Bien, o sea esto va a ser un número racional pero
con expansión decimal infinita. O sea, es un 1.8666...
¿Qué podríamos hacer para expresarlo como cociente
de enteros?
Pues yo podría pensar que el 5.6 es un 56 entre 10 ¿no?
Esto lo tengo dividido entre el 3, que está a su vez entre un 1.
Y entonces you podríamos escribir menos 56 entre 30 ¿no?
. Menos 56 entre 30.
No le vamos a poder sacar ni tercera, no. 56 entre 30 sería lo mismo que nos
dio la calculadora acá ¿no? .
Vamos a ver 56 entre 30 nos da el mismo número ¿Verdad?
Entonces ahorita you podríamos quedarnos de esta manera o podríamos sacar,
tal vez que, una mitad. La mitad aquí sería una menos
28, ¿verdad? y acá sería un 15, y bueno pues you.
Así nos quedamos, un menos veintiocho quinceavos.
Yo creo que sí.
Sí.
Okay.
Entonces vamos a poner esta cantidad en nuestro dibujo.
¿Dónde anda este número este de aquí?
Ese número tiene que ser este de aquí, ¿no?
en donde tengo aquí mi máximo. O sea en este lugar,
en este lugar ha de estar el
menos veintiocho quinceavos, cierto, para darme el máximo.
Y este otro que salió acá pues está aquí en el 0 ¿no?
que es entonces el mínimo, ¿no?
O sea hemos encontrado un valor máximo y un valor mínimo, ¿no?
para este gráfico, nos dimos cuenta que el valor máximo está en un valor
de x negativo y el mínimo está en el 0. ¿Okay?
Por otra parte, en cuanto a un punto de inflexión,
bueno es algo que you también habíamos nosotros notado, ¿no?
de como en estas cúbicas el punto de inflexión como que
tiene que estar a la mitad entre el máximo y el mínimo.
Y ciertamente. Miren, vamos a sacar la segunda derivada.
No me da otro color aquí, vamos a ponerle negro.
La segunda derivada, que sería la derivada de esta
función que está, que tengo en el recuadro rojo.
¿Sería qué?
6x, más 5.6 ¿No?
Si igualamos la segunda derivada con cero para encontrar
el máximo y mínimo de la derivada que a
su vez es el punto de inflexión de la
función original, nos va a quedar que menos 6x es
igual a menos 5.6 O sea sé que x es igual a menos 5.6 entre 6.
¿De acuerdo?
Y al hacer esta operación pues podríamos decir menos 56 entre
10, como le hice antes, entre 6, entre 1, y esto nos va a dar
menos 56 entre 60 que es lo mismo que menos 28 entre...
...¿Cuánto ?
Entre
30.
Y en este momento yo puedo voltear, buen pues sacar incluso mitad ¿no?
Sí.
you estaba volteando para allá pero mejor pongamos menos 14 entre 15.
Y ahora sí se puede ver. Se fijan, que es justamente la mitad, ¿no?
pensando en los positivos.
O sea hace que realmente el punto de
inflexión que estoy poniendo con un todo negro, ¿no?
es un punto que está a la mitad en menos 14 sobre 15.
¿Verdad?
Ahí tenemos nuestro punto de inflexión. ¿Okay?
Calculado con la segunda derivada.
Ahorita que you hemos hecho estas operaciones me gustaría que
nos fuéramos al software y que le pidamos la derivada ¿no?
. O sea cuando estamos
acá con el software.
Bueno, a él no le tenemos que pedir la derivada, a él le tenemos que decir
la derivada porque éste no es el otro software, Graphmática que utilizábamos.
Pero para derivar esto es, pues es fácil.
Podemos poner 3x cuadrada más 2kx.
3x cuadrada más 2kx es justo lo que tengo
aquí y entonces ahorita you apareció el gráfico, ¿no?
Si lo ven ustedes,
déjenme quitar la cúbica para que tengamos la imagen más clara y entonces se esta
viendo de que ahorita el máximo y el mínimo que habíamos encontrado si
corresponden y vean como aquí la derivada cruza y pasa de valores positivos a
negativos y aquí en el origen la derivada cruza de negativos a positivos ¿no?
Entonces, vean ustedes como aquí la curva se levantó ¿no?
en la zona de la izquierda provocando un mínimo en el origen donde antes la cúbica
original tenía un punto de inflexión. ¿Sí?
O sea como si la levantáramos de aquí, se hizo el máximo de este lado.
Este punto se convirtió entonces en un mínimo en el origen.
Y aquí quedó en medio, ¿no?
un punto de inflexión.
Ese punto de inflexión corresponde con este lugar
en donde la derivada tiene su valor mínimo ¿no?
. Por otro lado, you que hemos hecho esto,
podríamos pensar en la situación cuando la constante k sea negativa.
Vean, ahorita tenemos un 2.8. ¿Sí?
Entonces si en este 2.8 le cambiamos,
vamos a cambiar nuestro parámetro, ¿no?
y vamos a hacer que el parámetro sea negativo.
Por ejemplo... Allí.
¿no?
En este valor menos 3 quedó facilito un menos tres ¿no?
Entonces a la mejor nos lo podemos aventar de una vez en esta presentación.
Podríamos tratar de hacer para este caso las operaciones
con el menos . .
Pero tal vez valdría la pena ¿no?
que lo hiciéramos acá en el papel y ahí entonces los despido para
volver en el siguiente video sobre la imagen que tenemos en el gráfico.
Entonces, si me permiten, vamos a acabar hacer las operaciones con esta imagen ¿no?
pero en el papel.
La función que nosotros vamos a estar trabajando ¿no?
en el papel es
la que está aquí en el gráfico, que es y igual a y de x, nuestra
función sería x cúbica menos 3x cuadrada. ¿Se acuerdan?
O sea, ahorita el valor era x cúbica más k x cuadrada.
Estamos dándole a k un valor negativo de menos 3.
Entonces, cuando derivamos esta función ¿qué vamos a obtener?
Nuestra derivada es igual a 3x cuadrada menos 6x.
Quiero sacar máximos y mínimos, igualo la derivada con 0 ¿no?
No me voy a traer la fórmula general
porque esta cuadrática no merece la fórmula general.
Es más, está tan bonita que hasta un 3x le podemos sacar el factor.
3x por x menos 2, igual a 0.
Tenemos esta disyuntiva para que el producto de dos
números me de 0, tiene que ser por culpa
de uno de ellos y entonces hacemos que 3x sea igual a 0 de donde x sería 0 ¿no?
porque este 3 pasa dividiendo el 0, y me queda 0 entre 3 es 0.
Y por otro lado aquí tendríamos x menos 2 igual a 0, de donde x es igual a 2.
¿Okay? Entonces you tenemos
los dos valores en donde puede haber máximo y mínimos.
Habría que decidir qué son cada uno de ellos.
Y por otro lado podríamos calcular también el punto de inflexión que,
como decíamos bien hace rato, pues ha de ser en el 1 ¿no?
¿Por qué?
Porque las cúbicas tienen una derivada que es
parábola y la parábola cuando cruza la parábola
tiene su mínimo, su vértice justo a la mitad de los cortes,
y ahí es en donde va a estar el punto de inflexión.
Entonces, ¿Aquí que nos quedaría?
Vamos a hacerlo como quiera, total... derivar no cuesta mucho ¿no?
Sacamos nuestra segunda derivada.
Derivamos esta expresión nos queda 6x menos 6.
igualamos nuestra segunda derivada con 0. Nos queda 6x igual a 6.
Finalmente x es igual a 1 ¿no?
Como ven, todas las cosas van correspondiendo.
Hemos acabado en este ejercicio encontrando dónde va a haber máximo
y mínimo, dónde va ser su punto de inflexión en nuestro gráfico.
Pero si les parece, pues, volvamos en el próximo video para retomar estas cosas
dentro del graficador y veamos si somos capaces
de hacerlo de una manera general.
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