Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Cúbica básica más recta "kx"
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Sigamos entonces conociendo a nuestra función
cúbica jugando un poco con este software.
Si se recuerdan, you teníamos aquí un archivo.
Ustedes lo tienen también, para poder este, trabajar con él.
Ahorita estamos viendo una animación.
La ventaja que tenemos es que este parámetro k, vamos a llamarlo a
este parámetro, que sabemos que en
el contexto del comportamiento de una magnitud,
nos estaría representando el valor inicial de la magnitud, ¿recuerdan?
En eso eh, estaríamos pensando que el eje del tiempo es este de aquí.
Podría ser para pensar que en el tiempo cero tendríamos el valor, ¿no?,
que me da la curva cuando intercepta el eje y.
Entonces, sí, vamos a parar ¿o no?,
¿no?, porque aquí, por ejemplo, ¿no?,
en éste, éste sería el valor inicial de la magnitud, ¿de acuerdo?
Bueno, vamos a
hacer ahora otro cambio.
Esto you lo vimos, you vimos la derivada, vimos que ese, esa derivada era igual
en todas esas azules que andaban sube y baja, la derivada es la misma, ¿no?
que es tres x cuadrada.
Pero, ¿qué pasaría si en lugar de agregar una constante k, agregamos
una constante pero por x? O sea, vamos a verlo en el software.
Supongamos que en esta
expresión solamente le doy un click a la x.
Hice un click en x y las cosas cambiaron.
Algebraicamente se ve un cambio mínimo, ¿se fijan?
O sea, meter una x ahí detrás de k.
¿Qué cosa puede importar, no, para este software
haberle metido ese, esa k, ese, esa x ahí?
Vamos a ver nuestra animación.
Vean ustedes lo que se produce.
Por un lado dejé la y igual a x cúbica, ¿no?,
como estaba originalmente en nuestra base, ¿no?,
para nuestro pensamiento.
Y por otro lado ahí aparece una curva que da
la impresión, no sé si ustedes lo están viendo ahorita.
A mi me da la impresión como si jalara a la curva, ¿no?
O sea, si parto de la x cúbica ahí como que la jalo para
que se estire y por otro lado como que la apachurro, la jalo de
otros lados, ¿no?,
para que le salgan ese máximo y ese mínimo.
¿Cierto?
O sea, se observa que el comportamiento es distinto.
Ahora, vean que matemáticamente la expresión es la misma, ¿eh?
O sea, esa es una también es una de las grandes, grandes ventajas de
la matemática, que permite que nuestro pensamiento
estemos eh, digamos englobando en una misma situación
muchos casos, ¿no?
Y eso es rico, no no más en matemáticas, en cualquier área del conocimiento.
Tener esta percepción, vamos a pararlo aquí, ¿no?
Tener esta percepción, ¿okay?
de que aquí hay una letra k, que este es un parámetro que afecta, ¿no?,
que afecta el comportamiento de la curva.
Y están observando ahorita que curiosamente a veces
son curvas, es más, esa parece recta, ¿no?
Eso parece una recta.
Cualquiera que vea esta, esta linea azul y diga, eso es una recta, cuando voltea
acá arriba y ve la expresión algebraica, tiene que decir, no, me equivoqué.
¿Sí?
O sea, en matemáticas, o sea, como que va junto con pegada, ¿no?
O sea, no puedo decir algo porque estoy viéndolo nada
más en el gráfico sin pensar que necesito una, digamos,
una comprobación en el terreno algebraico, ¿Okay?
Entonces, realmente aquí lo que pasa es que
esa curva que está pero muy estirada, ¿no?,
entonces las diferencias yo digo es, si me acercara, ¿no?,
si me acercara a verla, you no vería lo que nos pasaba, ¿se acuerdan?,
con la y igual a x cúbica.
Vamos a tomarla en una que sea, por ejemplo, por aquí.
¿Qué les parece?
¿Ahorita qué estamos viendo en la pantalla?
Y igual a
x cúbica más 1 punto 2 x ¿Okay?
Es más, podríamos hacerle más un 1 por x, para que quede un número más sencillito.
Ahora estamos viendo y igual a x cúbica más 1 por x, ¿sí?
Ahora, si me acerco, y me acerco, y me acerco, y me acerco, y me acerco,
vean ustedes qué es lo que estamos observando.
Es la cúbica que teníamos, y no se ve lo que veíamos en la cúbica original.
O sea, no se ve que se pega al eje horizontal, ¿se fijan?
Y, sin embargo, pues se parecen las expresiones.
Es x cúbica y x cúbica más x, ¿no?
Entonces, ¿qué es lo que estaría pasando entonces?
¿Por qué no están comportándose
de la misma manera estas gráficas? Vamos a regresarnos a la original.
Sí, ahí estaríamos.
Y en este momento, les digo, yo diría, es
mejor que usemos el lápiz y el papel, ¿no?,
para ver qué es lo que está pasando.
Entonces, si me acompañan aquí, en el papel,
lo que yo voy a escribir ahorita, ¿sí?,
es la función que estoy viendo en la pantalla en tono azul.
Entonces, vamos a tomar el tono azul, ¿no? O sea, por un lado tenemos
la y igual a x cúbica, que esa era nuestra, lila, ¿no?
y ahora tenemos y igual a x cúbica más x, ¿no?
Porque le puse la k, un 1, ¿se acuerdan?
Entonces, esa diferencia que vimos cuando nos acercamos a la curva en el
punto de inflexión que tienen ambas, es una
diferencia que observamos si pensamos en la derivada, ¿no?
Vamos a derivar esta función.
Si derivamos esta función, ¿qué es lo que obtenemos?
Vamos a ponerle con el rojo para seguir el
mismo, el mismo color que en la, el graficador.
Aquí tendríamos que la derivada es 3 x cuadrada más 1.
¿Okay? Y, ¿qué podríamos ver ahora?
Fíjense en esta derivada, piensen en que estamos eh, considerando
el punto cero cero, ¿cierto?, donde teníamos nuestro punto de inflexión.
Y, ¿cuánto vale la derivada, ahí en cero?
Evalúo la derivada en cero y me queda 3 por 0 al cuadrado más 1.
O sea, me queda 1.
¿Okay? Este 1 que está aquí, ¿sí?,
¿Dónde está acá en el gráfico? ¿Volvemos sobre el gráfico entonces?
Vamos a interpretar este 1, ¿sí? O sea, estamos aquí en el gráfico,
hacemos nuestro acercamiento, ¿Okay? Y ahí,
yo you vi un 1. O sea, ¿cuál sería ese 1?
Ese 1 viene siendo la interpretación de esta recta.
¡No!
Bueno, es la curva, ¿no?, de esta eh, prácticamente recta, ¿no?,
que se ve cuando nos estamos acercando a esta función, ¿no?
¿Qué pendiente
o qué razón de cambio le encuentran aquí a esta recta?
Piensen en el delta y, entre el delta x, y observen ustedes cómo prácticamente es una
recta y igual a x, o sea, de 45 grados. Hay una inclinación de 45 grados.
Entonces, la razón de cambio aquí es 1, ¿no?
Entonces ese 1 que les digo, yo you lo vi, no es un 1 que se ve en
el eje ni acá en el eje.
Es un 1 que se ve cuando uno piensa en la curva de cerca.
A lo mejor valdría la pena que hiciera algo como esto, ¿no?,
para ilustrarlo más fácilmente. O sea, estaríamos viendo nosotros
aquí, ¿no?, que hay un eh, vamos a ponerlo
con red delta y entre un delta
x ¿no?
Y aquí estaríamos viendo que ese delta y entre delta x es igual a 1, ¿no?
No pierdan de vista.
Estamos viendo a esta función, y igual a x cúbica más x, ¿no?
x cúbica más x, y lo que estamos viendo es que cuando la derivamos
nos quedó 3 x cuadrada más 1 y la derivada de 0 vale 1.
Ese 1 es este 1, ¿de acuerdo?
Es el 1 que me da la inclinación, ¿no?,
de la curva en ese punto, en la cercanías del punto cero, cero.
¿Okay?
Entonces vamos a regresarnos a la imagen original, en el software.
Aquí estamos.
Nos regresamos acá y hagamos las cosas un poquito más en general.
Aquí hay una sola curva, x cúbica más
x, pero realmente teníamos una gran cantidad de curvas,
todas ellas se comportan digamos algebraicamente igualitas,
pero gráficamente algo, algo hace que se diferencien, ¿cierto?
Vean ustedes, esa que es la, la que estábamos analizando ahorita, no
es más que algo que crece y crece todo el tiempo, ¿no?
Y esta otra que estamos viendo ahorita es algo que tiene un mínimo y un máximo.
Entonces si les parece,
vamos a tomar esta animación pero desde el
punto de vista algebraico y vamos a manejar las
cosas algebraicamente para volver después sobre esta imagen
y poder entender lo que el software está haciendo.
Entonces si me acompañan de nuevamente al papel, con este tono azul, lo que estamos
nosotros estudiando desde el punto de vista algebraico es una expresión
del tipo x cúbica más k por x, donde k es un parámetro, ¿de acuerdo?
Entonces es, esta, esta función tiene su derivada, y su
derivada es 3 x cuadrada más k, ¿Okay?
Hablar de la derivada you lo hicimos.
Este k es una, es un parámetro, es una constante.
Multiplicando a x se va a quedar ahí,
¿de acuerdo?
Cuando queremos analizar esta función, lo que hacemos nosotros
es analizar entonces lo que pasa con su derivada.
Entonces, ¿qué, cómo saber si la función tiene un máximo o un mínimo?
you hemos visto que lo que hay que hacer para responder esta pregunta
de máximos y mínimos, lo que hay que hacer es igualar la derivada con cero, ¿no?
Y esto nos va a llevar
a la expresión 3 x cuadrada más k igual a 0, ¿de acuerdo?
Y si aquí hacemos uso, ¿no?,
de nuestras habilidades algebraicas, entonces diríamos, bueno, pues al menos
voy a despejar 3 x cuadrada igual a menos k.
¿Okay?
Y en este momento yo sé que hay muchos que piensan, you no se pudo.
you me quedó un cuadrado negativo, you, you esto you no funcionó.
you no va a haber valores de x.
Ahí es donde les digo, cuidado, porque la anotación matemática es fundamental.
Yo no estoy dando ahorita valores acá. Si yo supongo que esto es negativo
es porque estoy, digamos, prejuiciándome pensando que la k sea positiva.
Pero este parámetro
k puede estar representando un valor negativo, ¿no?
Y si la k es negativa, este signo negativo
detrás de ella lo va a hacer positivo, ¿no?
Y entonces sí tendríamos soluciones, ¿okay?
Entonces, ¿cómo vamos a hacer entonces nuestro análisis?
Nuestro análisis de esta expresión va a tener que hacerse considerando
qué pasa si k es mayor que cero y qué pasa si k es menor que cero, ¿no?
¿De acuerdo? Entonces vamos a hacerlo por separado.
Entonces para esto usemos una nueva hoja, y ahorita you estamos con esto, ¿no?,
viendo de que, seguramente, esto que está aquí, es lo
que va a ser las variantes que vimos en el gráfico,
¿no?
O sea, ¿Por qué a veces no tenía máximo y mínimo y a veces sí?
Eso va a salir de aquí justamente no
con el procedimiento pero en la representación algebraica, ¿no?
Entonces nos traemos ahorita el caso de si k es mayor que 0, acuérdense
que tenemos la función y de de x igual a x cúbica más k x.
Que you tenemos que su derivada
y prima de x es igual a 3 x cuadrada más k.
¿Okay?
Que you igualamos la derivada con 0 lo que nos
quedó que 3 x cuadrada más k sea igual a cero, ¿cierto?
. Despues 3 x cuadrada es igual a menos k.
Pero si k es positivo, menos k va a ser negativo,
¿de acuerdo? Y entonces de aquí x cuadrada sería igual
a menos k entre 3 negativo y entonces tendríamos con todas las de la ley decir
dos soluciones ¿qué?, complejas, ¿no?
Aparecen los número imaginarios aquí.
Entonces no va a haber un lugar en donde la derivada me de
igual a 0. O sea, no va a tener ni máximos ni
mínimos. No max, vamos a ponerle así, no min.
Estamos en el caso en que la k es mayor que cero, ¿no?
Tomemos otro color para el caso en que la k sea eh, menor que 0, ¿no?
Entonces vamos a
tomar aquí, por ejemplo, ¿no? Si k es menor que 0,
entonces vean ustedes como matemáticamente el procedimiento es el mismo, ¿eh?
Me voy acá y hago esto, y esto y todo esto, ¿no?
Hasta aquí, ¿no? Bueno, es más hasta aquí.
Entonces tendremos 3 x cuadrada es igual a menos k,
¿pero cómo va a ser este menos k? Si la k es negativa menos
k es mayor que 0, ¿no? Y entonces aquí x cuadrada sería
igual a ¿qué? Menos k entre 3, ¿no?
Y este número es positivo, ¿de acuerdo? Y entonces tendríamos
que al despejar que x es igual a más menos raíz de
menos k entre tres.
Y con eso tenemos dos valores y vean que esos dos valores por
el más menos están como que a la misma distancia del origen, ¿no?
¿Sí?
¿Se acuerdan de esa imagen que teníamos en el graficador?
A mi me gustaría que, dejarlos aquí con esta expresión yo sé
que a muchos esto no nos gusta porque vemos un negativo entrar dentro
del radical, pero realmente esto es posible.
Entonces, ahorita estamos descubriendo que hay dos valores en donde la derivada es 0.
Volveremos entonces en el próximo vídeo sobre nuestra gráfica para reinterpretar
esta representación algebraica dentro de la representación gráfica.
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