Sigamos entonces conociendo a nuestra función cúbica jugando un poco con este software. Si se recuerdan, you teníamos aquí un archivo. Ustedes lo tienen también, para poder este, trabajar con él. Ahorita estamos viendo una animación. La ventaja que tenemos es que este parámetro k, vamos a llamarlo a este parámetro, que sabemos que en el contexto del comportamiento de una magnitud, nos estaría representando el valor inicial de la magnitud, ¿recuerdan? En eso eh, estaríamos pensando que el eje del tiempo es este de aquí. Podría ser para pensar que en el tiempo cero tendríamos el valor, ¿no?, que me da la curva cuando intercepta el eje y. Entonces, sí, vamos a parar ¿o no?, ¿no?, porque aquí, por ejemplo, ¿no?, en éste, éste sería el valor inicial de la magnitud, ¿de acuerdo? Bueno, vamos a hacer ahora otro cambio. Esto you lo vimos, you vimos la derivada, vimos que ese, esa derivada era igual en todas esas azules que andaban sube y baja, la derivada es la misma, ¿no? que es tres x cuadrada. Pero, ¿qué pasaría si en lugar de agregar una constante k, agregamos una constante pero por x? O sea, vamos a verlo en el software. Supongamos que en esta expresión solamente le doy un click a la x. Hice un click en x y las cosas cambiaron. Algebraicamente se ve un cambio mínimo, ¿se fijan? O sea, meter una x ahí detrás de k. ¿Qué cosa puede importar, no, para este software haberle metido ese, esa k, ese, esa x ahí? Vamos a ver nuestra animación. Vean ustedes lo que se produce. Por un lado dejé la y igual a x cúbica, ¿no?, como estaba originalmente en nuestra base, ¿no?, para nuestro pensamiento. Y por otro lado ahí aparece una curva que da la impresión, no sé si ustedes lo están viendo ahorita. A mi me da la impresión como si jalara a la curva, ¿no? O sea, si parto de la x cúbica ahí como que la jalo para que se estire y por otro lado como que la apachurro, la jalo de otros lados, ¿no?, para que le salgan ese máximo y ese mínimo. ¿Cierto? O sea, se observa que el comportamiento es distinto. Ahora, vean que matemáticamente la expresión es la misma, ¿eh? O sea, esa es una también es una de las grandes, grandes ventajas de la matemática, que permite que nuestro pensamiento estemos eh, digamos englobando en una misma situación muchos casos, ¿no? Y eso es rico, no no más en matemáticas, en cualquier área del conocimiento. Tener esta percepción, vamos a pararlo aquí, ¿no? Tener esta percepción, ¿okay? de que aquí hay una letra k, que este es un parámetro que afecta, ¿no?, que afecta el comportamiento de la curva. Y están observando ahorita que curiosamente a veces son curvas, es más, esa parece recta, ¿no? Eso parece una recta. Cualquiera que vea esta, esta linea azul y diga, eso es una recta, cuando voltea acá arriba y ve la expresión algebraica, tiene que decir, no, me equivoqué. ¿Sí? O sea, en matemáticas, o sea, como que va junto con pegada, ¿no? O sea, no puedo decir algo porque estoy viéndolo nada más en el gráfico sin pensar que necesito una, digamos, una comprobación en el terreno algebraico, ¿Okay? Entonces, realmente aquí lo que pasa es que esa curva que está pero muy estirada, ¿no?, entonces las diferencias yo digo es, si me acercara, ¿no?, si me acercara a verla, you no vería lo que nos pasaba, ¿se acuerdan?, con la y igual a x cúbica. Vamos a tomarla en una que sea, por ejemplo, por aquí. ¿Qué les parece? ¿Ahorita qué estamos viendo en la pantalla? Y igual a x cúbica más 1 punto 2 x ¿Okay? Es más, podríamos hacerle más un 1 por x, para que quede un número más sencillito. Ahora estamos viendo y igual a x cúbica más 1 por x, ¿sí? Ahora, si me acerco, y me acerco, y me acerco, y me acerco, y me acerco, vean ustedes qué es lo que estamos observando. Es la cúbica que teníamos, y no se ve lo que veíamos en la cúbica original. O sea, no se ve que se pega al eje horizontal, ¿se fijan? Y, sin embargo, pues se parecen las expresiones. Es x cúbica y x cúbica más x, ¿no? Entonces, ¿qué es lo que estaría pasando entonces? ¿Por qué no están comportándose de la misma manera estas gráficas? Vamos a regresarnos a la original. Sí, ahí estaríamos. Y en este momento, les digo, yo diría, es mejor que usemos el lápiz y el papel, ¿no?, para ver qué es lo que está pasando. Entonces, si me acompañan aquí, en el papel, lo que yo voy a escribir ahorita, ¿sí?, es la función que estoy viendo en la pantalla en tono azul. Entonces, vamos a tomar el tono azul, ¿no? O sea, por un lado tenemos la y igual a x cúbica, que esa era nuestra, lila, ¿no? y ahora tenemos y igual a x cúbica más x, ¿no? Porque le puse la k, un 1, ¿se acuerdan? Entonces, esa diferencia que vimos cuando nos acercamos a la curva en el punto de inflexión que tienen ambas, es una diferencia que observamos si pensamos en la derivada, ¿no? Vamos a derivar esta función. Si derivamos esta función, ¿qué es lo que obtenemos? Vamos a ponerle con el rojo para seguir el mismo, el mismo color que en la, el graficador. Aquí tendríamos que la derivada es 3 x cuadrada más 1. ¿Okay? Y, ¿qué podríamos ver ahora? Fíjense en esta derivada, piensen en que estamos eh, considerando el punto cero cero, ¿cierto?, donde teníamos nuestro punto de inflexión. Y, ¿cuánto vale la derivada, ahí en cero? Evalúo la derivada en cero y me queda 3 por 0 al cuadrado más 1. O sea, me queda 1. ¿Okay? Este 1 que está aquí, ¿sí?, ¿Dónde está acá en el gráfico? ¿Volvemos sobre el gráfico entonces? Vamos a interpretar este 1, ¿sí? O sea, estamos aquí en el gráfico, hacemos nuestro acercamiento, ¿Okay? Y ahí, yo you vi un 1. O sea, ¿cuál sería ese 1? Ese 1 viene siendo la interpretación de esta recta. ¡No! Bueno, es la curva, ¿no?, de esta eh, prácticamente recta, ¿no?, que se ve cuando nos estamos acercando a esta función, ¿no? ¿Qué pendiente o qué razón de cambio le encuentran aquí a esta recta? Piensen en el delta y, entre el delta x, y observen ustedes cómo prácticamente es una recta y igual a x, o sea, de 45 grados. Hay una inclinación de 45 grados. Entonces, la razón de cambio aquí es 1, ¿no? Entonces ese 1 que les digo, yo you lo vi, no es un 1 que se ve en el eje ni acá en el eje. Es un 1 que se ve cuando uno piensa en la curva de cerca. A lo mejor valdría la pena que hiciera algo como esto, ¿no?, para ilustrarlo más fácilmente. O sea, estaríamos viendo nosotros aquí, ¿no?, que hay un eh, vamos a ponerlo con red delta y entre un delta x ¿no? Y aquí estaríamos viendo que ese delta y entre delta x es igual a 1, ¿no? No pierdan de vista. Estamos viendo a esta función, y igual a x cúbica más x, ¿no? x cúbica más x, y lo que estamos viendo es que cuando la derivamos nos quedó 3 x cuadrada más 1 y la derivada de 0 vale 1. Ese 1 es este 1, ¿de acuerdo? Es el 1 que me da la inclinación, ¿no?, de la curva en ese punto, en la cercanías del punto cero, cero. ¿Okay? Entonces vamos a regresarnos a la imagen original, en el software. Aquí estamos. Nos regresamos acá y hagamos las cosas un poquito más en general. Aquí hay una sola curva, x cúbica más x, pero realmente teníamos una gran cantidad de curvas, todas ellas se comportan digamos algebraicamente igualitas, pero gráficamente algo, algo hace que se diferencien, ¿cierto? Vean ustedes, esa que es la, la que estábamos analizando ahorita, no es más que algo que crece y crece todo el tiempo, ¿no? Y esta otra que estamos viendo ahorita es algo que tiene un mínimo y un máximo. Entonces si les parece, vamos a tomar esta animación pero desde el punto de vista algebraico y vamos a manejar las cosas algebraicamente para volver después sobre esta imagen y poder entender lo que el software está haciendo. Entonces si me acompañan de nuevamente al papel, con este tono azul, lo que estamos nosotros estudiando desde el punto de vista algebraico es una expresión del tipo x cúbica más k por x, donde k es un parámetro, ¿de acuerdo? Entonces es, esta, esta función tiene su derivada, y su derivada es 3 x cuadrada más k, ¿Okay? Hablar de la derivada you lo hicimos. Este k es una, es un parámetro, es una constante. Multiplicando a x se va a quedar ahí, ¿de acuerdo? Cuando queremos analizar esta función, lo que hacemos nosotros es analizar entonces lo que pasa con su derivada. Entonces, ¿qué, cómo saber si la función tiene un máximo o un mínimo? you hemos visto que lo que hay que hacer para responder esta pregunta de máximos y mínimos, lo que hay que hacer es igualar la derivada con cero, ¿no? Y esto nos va a llevar a la expresión 3 x cuadrada más k igual a 0, ¿de acuerdo? Y si aquí hacemos uso, ¿no?, de nuestras habilidades algebraicas, entonces diríamos, bueno, pues al menos voy a despejar 3 x cuadrada igual a menos k. ¿Okay? Y en este momento yo sé que hay muchos que piensan, you no se pudo. you me quedó un cuadrado negativo, you, you esto you no funcionó. you no va a haber valores de x. Ahí es donde les digo, cuidado, porque la anotación matemática es fundamental. Yo no estoy dando ahorita valores acá. Si yo supongo que esto es negativo es porque estoy, digamos, prejuiciándome pensando que la k sea positiva. Pero este parámetro k puede estar representando un valor negativo, ¿no? Y si la k es negativa, este signo negativo detrás de ella lo va a hacer positivo, ¿no? Y entonces sí tendríamos soluciones, ¿okay? Entonces, ¿cómo vamos a hacer entonces nuestro análisis? Nuestro análisis de esta expresión va a tener que hacerse considerando qué pasa si k es mayor que cero y qué pasa si k es menor que cero, ¿no? ¿De acuerdo? Entonces vamos a hacerlo por separado. Entonces para esto usemos una nueva hoja, y ahorita you estamos con esto, ¿no?, viendo de que, seguramente, esto que está aquí, es lo que va a ser las variantes que vimos en el gráfico, ¿no? O sea, ¿Por qué a veces no tenía máximo y mínimo y a veces sí? Eso va a salir de aquí justamente no con el procedimiento pero en la representación algebraica, ¿no? Entonces nos traemos ahorita el caso de si k es mayor que 0, acuérdense que tenemos la función y de de x igual a x cúbica más k x. Que you tenemos que su derivada y prima de x es igual a 3 x cuadrada más k. ¿Okay? Que you igualamos la derivada con 0 lo que nos quedó que 3 x cuadrada más k sea igual a cero, ¿cierto? . Despues 3 x cuadrada es igual a menos k. Pero si k es positivo, menos k va a ser negativo, ¿de acuerdo? Y entonces de aquí x cuadrada sería igual a menos k entre 3 negativo y entonces tendríamos con todas las de la ley decir dos soluciones ¿qué?, complejas, ¿no? Aparecen los número imaginarios aquí. Entonces no va a haber un lugar en donde la derivada me de igual a 0. O sea, no va a tener ni máximos ni mínimos. No max, vamos a ponerle así, no min. Estamos en el caso en que la k es mayor que cero, ¿no? Tomemos otro color para el caso en que la k sea eh, menor que 0, ¿no? Entonces vamos a tomar aquí, por ejemplo, ¿no? Si k es menor que 0, entonces vean ustedes como matemáticamente el procedimiento es el mismo, ¿eh? Me voy acá y hago esto, y esto y todo esto, ¿no? Hasta aquí, ¿no? Bueno, es más hasta aquí. Entonces tendremos 3 x cuadrada es igual a menos k, ¿pero cómo va a ser este menos k? Si la k es negativa menos k es mayor que 0, ¿no? Y entonces aquí x cuadrada sería igual a ¿qué? Menos k entre 3, ¿no? Y este número es positivo, ¿de acuerdo? Y entonces tendríamos que al despejar que x es igual a más menos raíz de menos k entre tres. Y con eso tenemos dos valores y vean que esos dos valores por el más menos están como que a la misma distancia del origen, ¿no? ¿Sí? ¿Se acuerdan de esa imagen que teníamos en el graficador? A mi me gustaría que, dejarlos aquí con esta expresión yo sé que a muchos esto no nos gusta porque vemos un negativo entrar dentro del radical, pero realmente esto es posible. Entonces, ahorita estamos descubriendo que hay dos valores en donde la derivada es 0. Volveremos entonces en el próximo vídeo sobre nuestra gráfica para reinterpretar esta representación algebraica dentro de la representación gráfica.
