Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Dos MUAPIS coordinados
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From the course by Tecnológico de Monterrey
3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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From the lesson
Concebimos un movimiento diferente
Hablaremos del Modelo Cúbico construido a partir del Modelo Cuadrático. Retomaremos la situación real de movimiento en línea recta creando un movimiento en el que no hay cambio de sentido. Transitaremos al contexto real de llenado de tanques para dar significado a la función cúbica y a su derivada.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues antes de entrar al terreno escabroso de lo algebraico
a mí me gustaría jugar un poquito más con el software.
A mí se me estaban ocurriendo cosas después de la sesión
pasada y, pensando en las tarjetas, esto me despertó la curiosidad.
Y yo quisiera que voltearan porque vi que, bueno, les decía, ¿no?
como pusimos a nuestra chica que iba a la derecha cada vez más...
más lento y luego cada vez más rápido todavía a la derecha, y
dije ''bueno, pues ¿cuál sería el caso si fuera hacia la izquierda?", ¿no?
El caso de la izquierda serían las dos tarjetas que faltaban.
Iríamos con un decrecimiento concavidad arriba, decrecimiento concavidad
abajo, me diría que la chica va hacia la izquierda cada vez más lento.
A lo mejor se detiene,
a lo mejor no y luego lo va a seguir a la izquierda cada vez más rápido, ¿no?
you estamos haciendo una interpretación de los gráficos.
Se fijan en el contexto del movimiento.
Esta magnitud decrece, pero decrece de distinta manera, y esta magnitud
crece, pero crece de distinta manera. Yo tengo aquí en el software una...
presentación,
digamos, en donde you puse otro personaje. Yo les digo donde lo pueden sacar.
aquí en la animación, en este menú, vean ''create datum'' ahí pueden
ustedes meter otro personaje, esa fue la forma en que lo hice.
Puse a mi personaje, el chico con la
mochila azul y la chica con la mochila roja.
Los dos están en la posición 0 y les estoy mostrando este gráfico
de la velocidad.
Entonces vean cómo el color rojo ahora me está sirviendo para la chica
de rojo y el gráfico azul me sirve para el chico azul, ¿no?
Entonces los dos se van a mover.
La idea sería que ahorita yo les oculte el gráfico de la
posición, la idea sería que pensáramos qué va a pasar con este movimiento.
¿Qué van a pasar con los chicos? ¿se van a encontrar?
Porque estos
gráficos de aquí como que invitan a que haya un encuentro, ¿no?
Sin embargo, ahí es donde nuestra mente tiene que pensar, ¿no?
Tiene que pensar, interpretar de esa representación matemática, ¿no?
lo que va a suceder en la realidad.
Si yo les pongo ahora la animación, no sé hasta
qué punto esto sea una sorpresa o no para ustedes.
Miren, vamos a ver la animación.
Corre la animación:
el chico arrancó para la izquierda, luego you se detuvieron
un segundo y los dos siguieron alejándose el uno del otro.
Entonces salieron, digamos, you de la escena.
Estaban juntos y acabaron separados. ¿Qué es lo que está pasando?
¿Por qué sucedió esto?
Fácilmente uno puede you decir que la gráfica roja es positiva.
Entonces you chica
siempre va a ir a la derecha.
La gráfica azul es negativa, siempre, entonces el
chico siempre iba a ir hacia la izquierda, ¿no?
No había punto de reunión mas que el inicial.O sea,
ellos estaban inicialmente en el (0, 0) pero después se alejaron.
Podríamos you con esto, pues, imaginar que hiciéramos un encuentro.
O sea, ¿cómo le haríamos
para que se encontraran?
¿Cómo haríamos para que, digamos, la animación, la simulación de movimiento
fuera tal que uno estuviera de un lado y el otro del otro?
Y que, bueno, este va para acá, este para acá y
luego se detienen un instante y luego siguen de largo, ¿no?
Como que nada más se pasan alguna información a la batuta, ¿no?
En los relevos,
como en las carreras, y después you le siguen cada quien para su lado.
Vean ustedes que esto que les estoy
proponiendo no sería algo que afecta la velocidad.
O sea, la velocidad ¿qué?
Puede ser la misma gráfica que tenemos, pero en lo que
sí habría qué pensar es en la posición de los personajes, ¿no?
O sea, tendríamos que poner a nuestro personaje.
Vamos a escoger al chico que venga de acá y vamos a escoger a la chica
que venga de acá de atrás. Vamos a ponerlos ahí.
¿Qué pasaría entonces si accionamos la presentación?
Podríamos tener lo que queríamos. A ver, ahí vienen.
Se están acercando, se detuvieron y luego siguieron
cada vez más rápido. ¿Se fijan?
Ahora que lo hice al mover los dos personajes,
los puse en una posición al “ahí se va’’.
O sea, simplemente hice que se alejaran y
sí logramos lo que queríamos, pero, si ahorita me
permiten mostrarles el gráfico de la posición, verán ustedes que, podemos
hacer, digamos todavía, nuestro razonamiento mejor.
O sea vean ustedes ahí está en las posiciones iniciales.
Voy a hacer un poquito más grande este gráfico para que lo vean.
Vean cómo estaba el chico en esta posición inicial y
la chica en otra posición inicial por acá por abajo.
De hecho las posiciones iniciales no se están viendo
aquí en este grafico, a menos de que lo alargue.
Vamos a ver… no se alarga todo, tendría que cambiarles la escala, ¿sí?
Pero vean
ustedes aquí cómo este lugar sí representa algo.
¿Qué está representando esta intersección?
que no es esta intersección, se fijan, no es la de la velocidad.
Este intersección está representando el momento en
que los chicos estaban en la misma posición.
Entonces, lo que podríamos hacer es, por ejemplo,
mover el gráfico, digo, perdón, mover al chico, ¿no?
y mover a
la chica.
y vean lo que está pasando, o sea de los
dos tenemos este punto donde cambió la concavidad, ¿se acuerdan?
Este punto donde cambió la concavidad.
Pudieramos lograr que ese punto fuese el mismo en ambos, ¿no?
O sea podríamos acercar estos dos de esta manera.
O sea, estoy provocando aquí en este gráfico algo como lo que
pasa acá.
Sin embargo, aquí fíjense cómo el color rojo está arriba y el color azul abajo.
Y acá el color rojo se intercambia, abajo y arriba, y el azul también.
Si hicimos esto aquí.
Aquí moví a los chicos de su posición inicial.
Si hacemos la animación, ¿ahora qué lograríamos ver?
Que en estos instantes se detienen un segundo y luego sigue cada quién por
su camino, cada vez más rápido.
Entonces hemos hecho una animación en donde pudimos jugar con
los gráficos, posición inicial y en este tipo de movimientos.
¿Qué cómo les llamamos? les llamamos MUAPIS', ¿no?
porque eran movimientos unifórmemente acelerados pero por intervalos.
El primer intervalo era de 0 a 5 y el segundo de 5 a 10.
En estos dos intervalos logramos hacer,
digamos, toda una historia con estos dos personajes en
donde venían, se encontraron un segundo y siguieron su camino.
Lo último que me gustaría razonar con ustedes también
al respecto es algo que surgió también en los
estudiantes cuando estábamos usando este software en clase y que
nos percatamos de que podríamos hacer un movimiento
todavía diferente, ¿no? O sea, acuérdense de dónde partimos.
Puedo, en el modelo cuadrático, partir un
movimiento hacia la derecha cada vez más lento,
se detiene y se regresa hacia la izquierda cada vez más rápido, o al revés.
Al izquierda cada vez más lento, se detiene y
luego sigue a la derecha cada vez más rápido.
Ese fue el modelo cuadrático. Ahora, con este MUAPI, ¿no?
lo que estamos logrando son movimientos
en un mismo sentido.
Movimiento hacia la derecha cada vez más lento, se detiene o no
se detiene, y luego sigue a la derecha cada vez más rápido
o un movimiento hacia la izquierda cada vez más lento y, se
detenga o no, sigue hacia la izquierda cada vez más rápido, ¿no?
La diferencia que los estudiantes me hacían pensar es el siguente,
o sea, ¿porqué no ir hacia la derecha cada vez más
rápido cada vez más rápido... a ver, espérenme...
cada vez más rápido y después decidir ir cada vez más lento?
you, esa era la coordinación que faltaba.
¿Porqué no? No me tengo que detener.
Ahora voy cada vez más rápido a la derecha y luego, you por alguna razón, you
me quedó tiempo y puedo irme y seguirle a la derecha pero cada vez más lento.
Es diferente, ¿no?
Puedo ir a la derecha cada vez más lento y luego cada vez más rápido, ¿no?
Ahora la idea sería: voy a la derecha cada vez más rápido y luego you le hago lento.
O sea, tenía prisa, volteo a ver el reloj, y you no
era tanta la prisa, entonces you me voy cada vez más lento.
Vamos a hacer un movimiento así con SinCalc.
O sea, ¿qué tendríamos que hacer?
Vamos a utilizar ahorita el mismo archivo que you tenemos.
Pensemos en la chica: la chica tiene que hacer
el movimiento hacia la derecha cada vez más rápido.
Eso me haría modificar este segmento de la velocidad, ¿no?
Este segmento de la velocidad yo lo movería, digamos, pues así, ¿no?
Voy a hacer que crezca… que sea creciente.
Vean como que you se está modificando el gráfico de la posición.
Entonces ahí va a la derecha cada vez más rápido, ¿no?
Y luego de repente a los 5 segundos se dio cuenta que no trae
tanta prisa y entonces puede seguir a la derecha pero cada vez más lento.
Entonces podría ser así.
No tengo que llegar al origen, pudiera dejarlo ahí.
Entonces iba cada vez más lento. No tiene que llegar a ser 0 la velocidad.
¿Se fijan? No tengo porqué llegar aquí.
Con que esté arriba, ¿no?, you va a ir cada vez más lento.
Vean cómo se modificó nuestro gráfico.
Parece que se está formando como un reguilete, pero
vamos a tener que modificar al chico también porque vamos
a hacer de una vez la escena donde él
también va hacia la izquierda, pero cada vez más ...
¿qué?
más rápido. Entonces, ¿qué haríamos con este gráfico?
Este gráfico tendríamos
que modificarlo para que fuese decreciente, ¿no?
Y ahora sí va hacia la izquierda porque estoy
en la zona negativa y va cada vez más rápido.
Y después, en este gráfico de aquí, esta
otra parte también la modificamos en el mismo sentido.
Lo traemos para que se una acá para que
sea una velocidad continua y entonces nos quedaría así, ¿ok?
O sea estamos
logrando que, incluso aquí you se ve, ¿no?
más o menos que los puntos de inflexión, perdón, bueno,
dije puntos de inflexión ahorita lo vamos a acordar que se
va a llamar así, este punto donde cambió la concavidad es
un punto en donde parece ser que se van a encontrar.
Los vemos en acción y entonces va cada quién va más rápido.
Ahora, cuando iban más rápido,
pasaron entre sí y luego you siguieron cada vez más lento, ¿no?
Ok.
Entonces con esta imagen, tan bonito así como
se formó, me gustaría que completáramos nuestra información.
Vamos a tomar una imagen de esto. Y en esta imagen vamos a aclarar las
cosas que ahorita dije sin querer, ¿no? O sea, este punto
que está aquí.
Miren, este punto que está aquí vamos a ponerlo con rojo.
Este punto que es un máximo para la derivada
o para la velocidad roja de la chica corresponde aquí con
un punto donde hay un cambio de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
A este punto donde cambia la concavidad
se le llama ‘’punto de inflexión’’ del gráfico, ¿ok?
Es un punto donde cambió la concavidad que
pasó entonces para que hubiera un punto de inflexión.
Necesitamos que la velocidad o la derivada llegara a un valor máximo, ¿no?
Cambiemos a la tinta, ahora en tono azul y entonces acá tenemos un mínimo,
¿no?, en la gráfica de la velocidad y acá en la posición tendríamos
una concavidad hacia abajo y después una concavidad hacia arriba.
Y este punto, en donde coincidieron, también
lo vamos a llamar “punto de inflexión”, ¿no?
El punto de inflexión también para el chico.
La gráfica del chico nos está señalando el momento en que hubo
el cambio de concavidad.
Entonces, ¿qué es lo que podríamos sacar a relucir con esta imagen que tenemos?
O sea, en el caso de un máximo o de un mínimo, ¿sí?
en el gráfico de la derivada o de la velocidad o de la razón
de cambio de la magnitud tenemos aquí el caso de puntos de inflexión.
O sea puntos en donde
la concavidad de la gráfica va a cambiar. ¿Porqué son importantes estos puntos?
Pues imagínense, por ejemplo, que ustedes tienen, bueno, que esta curva, la roja,
por decir, estuviera mostrando... digamos...
una magnitud que está creciendo, ¿no? que fuera...
no sé… o sea, una ganancia de su negocio. Claro que ahorita
hay números negativos. ¿Se fijan?
O sea, yo necesitaría aquí pedirles que pensaran en un eje por acá, ¿no?
Vamos a ponerlos por aquí.
Con la pintura negra, mejor. Supongan que pusiéramos un
eje y esta es la ganancia de mi negocio, ¿no?, y aquí está el tiempo
y aquí está el dinero, ¿no? Y entonces,
¿qué puedo decir?
Que la ganancia… vean el gráfico rojo, ¿no?
En el gráfico rojo estamos viendo que la ganancia
está aumentando y está aumentando y está aumentando, ¿no?
Pero hay una diferencia en la forma de aumentar, porque mientras el gráfico fue
cóncavo hacia arriba, la ganancia está creciendo cada vez más rápido.
Sin embargo,
al llegar, en esta zona, ¿no?, al llegar al punto de inflexión, aquí algo pasó.
Algo pasó en la situación en el mercado, qué sé yo.
Pero, aun y cuando sigue habiendo una
ganancia que aumenta, esta aumenta cada vez más...
lento, ¿no?
O sea, eso lo estoy diciendo ¿porqué?
Porque estoy interpretando el gráfico que es cóncavo hacia abajo.
Entonces este punto es un punto importante, ¿no?
dentro del negocio.
En donde deberemos ver, pues, qué es lo que está ocurriendo, ¿no?
Igual en el caso de tener ahora, digamos, los valores negativos.
O sea, lo que he tratado de hacer con ustedes en esta
imagen fue: llamar su atención sobre este nuevo punto de las gráficas.
Un punto que vamos a retomar con nuestro estudio del modelo cúbico.
Porque necesariamente, en un modelo cúbico, aparecerán este tipo de
situaciones que no aparecían en el modelo cuadrático.
Entonces hemos bautizado al punto de inflexión de un gráfico y
hemos visto cómo hay una relación con los gráficos de la derivada.
En la derivada, observamos que hubo un punto máximo, un punto mínimo, en
correspondencia con el punto de inflexión. Pero volvamos ahora sí you sobre nuestro
modelo cúbico.
Ahora sí, lo prometido es deuda, con las cuestiones algebraicas.
Veamos cómo vamos a construir las funciones en su representación algebraica
y luego lo conectamos nuevamente con este tipo de situaciones gráficas en donde los
puntos de inflexión you van a ser para nosotros algo que
podamos reconocer. Los veo entonces en el
próximo video.
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