Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Dos tanques... tan parecidos y tan distintos a la vez
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues nos quedamos hablando de tanques, de funciones cúbicas, funciones cuadráticas.
Hoy se trata de relacionar todo eso pero incluso
meternos en nuestro campo de las X's y las Y's.
Entonces a mi me gustaría que me acompañen en esta imagen que tengo en la pantalla.
Ahorita les voy a recordar algo de tanques, estoy titulando
este video dos tanques tan parecidos pero tan diferentes a la vez.
Y bueno you me van a entender por qué.
Si ustedes se fijan ahorita la tengo en esta
opción esta pantalla, porque esa diapositiva porque quería mostrarles
cuando uno está modelando matemáticamente las cosas, o sea
uno se refiere al mundo real puede ser ¿no?,
que una gráfica este más bien considerada con una
parte de ella, por ejemplo esto. Miren lo que hice.
Lo que hice fue tapar la zona negativa, es lo que les he dicho yo ¿no?,
como dice la canción you lo pasado, pasado.
No me interesa.
Cuando yo veo esta imagen acá you estoy digamos, evocando lo que pasaba
con nuestro tanque, el que recién acabamos de estudiar en la sesión anterior ¿no?
Bueno ahora me traje otro tanque acá ¿no?,
déjenme enseñarles, déjenme traerlo para el frente
y bueno en este tanque, you se me quedó este para atrás, vamos para el frente ¿no?
En este tanque también realmente la idea este es, de
que matemáticamente uno observa esta zona de los gráficos ¿okay?
Pero independientemente de que sean representación de la situación
del tanque o no, igual matemáticamente aquí tengo dos gráficos
completos donde la extensión se da en todos los números reales.
En ese sentido se convierte digamos en objeto de estudio de la matemática ¿no?,
que después vienen a ser aplicado en el contexto de los tanques.
¿Por qué digo yo que los tanques son tan parecidos pero tan diferentes a la vez?
Miren ustedes en esta diapositiva.
Si ustedes se fijan, aquí lo que tengo es una imagen
donde capturé en Graphmática las dos este, los
dos archivos que hemos estudiado en el curso.
Uno es anterior eh, si ustedes recuerdan, bueno, este que está aquí este
es el tanque, no se ve aquí, este es el nuevo, vamos a ponerle ¿no?,
es el que estudiamos la sesión pasada. Este es el tanque viejo ¿sí?
. En este tanque nuevo ¿no?,
que tenemos aquí a nuestra izquierda, vean ustedes la expresión de la función.
Aquí la tenemos ¿no?,
y igual a quince más dos x menos dos x cuadrada más x cúbica ¿sí?
Ahora vámonos a un tanque que you habíamos estudiado en
el curso, cuando empezábamos a ver esto de la función cúbica.
Y aquí la función está en esta zona, fíjense es quince más
dos x más dos x cuadrada menos x cúbica. ¿Cuál fue la diferencia entre las dos?
Lo voy a escribir aquí si me permiten.
Sería quince más dos x menos dos x cuadrada más x cúbica.
Y lo que hicimos en el tanque a la derecha,
fue simplemente bueno variar, en el quince lo tenemos igual,
tenemos el dos x eso no ha variado nada, pero después
aquí pongo un signo positivo y después un signo negativo, ¿okay?
Entonces en el término x cúbica tengo el negativo y acá tenemos el positivo.
En el término x cuadrada aquí tengo el positivo en
la derecha, y en la izquierda tengo el negativo, ¿no?
. Por eso digo que son tan parecidos, ¿no?
O sea realmente las expresiones algebraicas,
las expresiones matemáticas ¿no?,
con nuestro lenguaje algebraico son sumamente parecidas.
¿Qué diferencia tenemos?
El lugar en el que se colocó un signo positivo y un signo negativo.
Y cuando vemos esas gráficas ¿no?,
como las tenemos ¿no?,
ahorita en la pantalla podríamos decir son tan diferentes a la vez.
O sea son tan parecidas las expresiones algebraicas y tan diferentes ¿no?,
las formas graficas ¿no? .
Eso es a lo que quería llamar yo su atención,
pero en toda esta forma gráfica nosotros hemos estado aprendiendo ¿no?,
aprendiendo a interpretarlas ¿no?
¿Por qué una es tan diferente de la otra?
En ese sentido, fíjense ustedes aquí voy a tratar de resaltarle con este laser ¿no?,
en este estudio que hicimos de esta función, en
el contexto de los tanques, nos fue importante saber
que este punto que es el vértice de la parábola que
es la derivada, estaba en las coordenadas dos tercios coma dos tercios.
O sea estaba un poquito arriba del eje horizontal.
Eso hace que la gráfica de la parábola siempre está encima del eje x.
Por tanto, la gráfica azul que es
la función, siempre va a estar creciendo, ¿no?
Pero, ¿cómo crece? .
Ahí, ese fue nuestro estudio ¿no?
En ese momento nos dimos cuenta de la
importancia de este vértice, porque este vértice nos marca
una diferencia de decrecimiento y luego crecimiento en la
gráfica de la parábola que es la derivada, ¿no?
Y ese decrecimiento y luego crecimiento hace que acá
en el gráfico azul que es la función, o
el nivel del tanque, tengamos un nivel de crecimiento
más lento y después un crecimiento cada vez más rápido.
Eso nos hizo pensar en la situación real, el nivel estaba creciendo cada
vez más lento sin llegar a ser cero siguió creciendo más rápido, ¿no?
Estamos interpretando lo que pasa en la gráfica azul
a partir de lo que pasa en la gráfica roja.
Si nos vamos acá en el otro tanque ¿no?,
que le habíamos llamado tanque viejo, vean ustedes que acá la situación es diferente.
Este tanque si yo veo solamente lo azul, habrá quien,
bueno ahorita traigo los lentes, pero no lo aseguro ¿no?
Pero igual, pudiera ser que alguien pensara que esto
va subiendo y luego va bajando y se acabó ¿no?
Es más, puede decir crece cada vez más lento,
se para y luego sigue decreciendo cada vez más rápido.
Y sin embargo, cuando tengo la imagen de aquí de la derivada,
este vértice de la derivada you me está diciendo que aquí hay algo
especial ¿no? .
Realmente el nivel ahí subió cada vez más rápido,
llegó un momento en que decide seguir subiendo cada vez
más lento, y después llega a un valor máximo, se
para, para después seguir decreciendo cada vez más rápido, ¿no?
O sea, todo lo que yo estoy interpretando lo estoy
viendo aquí, aunque lo interpreto luego acá en la curva, ¿no?
Esta gráfica de esta parábola es diferente de
la gráfica que teníamos acá en este otro dibujo, ciertamente ¿no?
Y lo que yo quisiera es llamar la atención sobre ustedes, en cuanto a que
van a ser las gráficas rojas las que me digan como es la gráfica azul.
Vamos a meternos con eso.
Sin embargo, yo tenía todavía un pendientito aquí con ustedes, porque
quería que vieran algo que you les he comentado con anterioridad.
Pero bueno, aquí lo
podemos ilustrar mejor.
Vean ustedes que la gráfica azul, ojalá me dejara cambiar ahorita el
color, no se puede bueno no me voy a meter en eso.
Vean que esta gráfica azul corta una sola vez el eje horizontal.
Eso sería tanto como decir igualo a cero esto.
Y entonces me queda la ecuación cúbica x cúbica menos dos x cuadrada más dos x
más quince es igual a cero, ¿de acuerdo? .
Igual podemos verlo acá en la otra gráfica a nuestra derecha ¿no?
Este punto que está aquí es el lugar en donde corta el eje horizontal.
Y ese punto equivale a que nosotros igualemos a cero esta expresión.
O sea tendríamos la ecuación cúbica menos x cúbica más dos x cuadrada más
dos x más quince igual con cero, ¿no? .
¿De acuerdo?
Estas ecuaciones cúbicas, you vimos nosotros
que podríamos resolverlas utilizando la división sintética.
Claro, pero esa división sintética es válida cuando tengo raíces que sean
elementos de los números racionales, o sea cocientes de enteros, incluso los enteros.
Cualquier entero es un cociente de él entre uno ¿okay?
Entonces en ese sentido para saber si esta ecuación,
supónganse que esta ecuación la quiero yo resolver, ¿no?
Para saber si tiene soluciones racionales, yo tendría que estar
pensando como les decía en ese teorema, en los múltiplos ¿no?,
en los múltiplos de este perdón, en los divisores de este número, estaba buscando
el resaltador y dije múltiplos.
Los divisores de este número porque acá el otro número que anda aquí es un uno.
Así no afecta mucho.
Ahorita para resolver estas ecuaciones cúbicas estaríamos
nosotros pensando en los divisores del quince.
Y, ¿Quién divide al quince?
El uno, el tres, el cinco, el mismo quince.
¿no?
. Y esas
serían nuestras cuatro opciones que tuviéramos ¿no?
Y esas cuatro opciones, fíjense si uno voltea ahora a la
imagen gráfica, uno puede decir que el uno no va a ser.
Vean ustedes estoy aquí viendo este punto.
El uno no es, el tres no es, el cinco no es, el quince no es.
Pónganle negativos el menos uno tampoco es, ni el menos
tres, ni el menos quince, ni el menos cinco, ¿okay?
Lo mismo acá,
cuando estoy viendo este punto que está aquí ¿no?
También me puedo convencer de que ni es el uno, ni es el tres,
ni es el cinco, ni es el quince menos todavía si los tomo negativos.
Entonces puedo estar ahorita segura, que estas ecuaciones que les
acabo de escribir, esas cúbicas ¿Qué puedo decir de ellas?
No, vamos a ponerle aquí.
No tienen solución racional. ¿De acuerdo?
Y si no tienen solución racional, y si no, tienen que tener una solución irracional.
¿Por qué?
Porque, sabemos nosotros que las ecuaciones por el Teorema
fundamental del álgebra, no van a tener tres, tres soluciones.
De esas tres soluciones
una tendrá que ser real y dejar las otras dos imaginarias.
Y, ¿Por qué?
Porque, las complejas o imaginarias siempre van en pares ¿no?
Siempre van a ser la solución de una ecuación cuadrática, ¿no?
Con discriminante negativo.
Entonces, ¿Qué he hecho ahorita ante ustedes?
Les puse unas ecuaciones cúbicas bien bonitas, en
el sentido de que, los números están bonitos ¿no?
Un dos, un menos dos, un cinco.
¿okay? Un
uno.
Sin embargo, a pesar de ser bonitas, o sea, no lo son tanto.
¿Por qué? Porque, sus soluciones son irracionales.
Y ahí es en donde yo les digo. Ahí yo le apuesto mucho a la tecnología.
Si yo me voy aquí a la tecnología pudiera tener por ejemplo la imagen ¿no?
de este gráfico y entonces con ella empezar a
tomar mi cursor como lo estoy haciendo y tratar
de aproximar ¿no? los valores de la raíz.
No sé si lo vieron cuando, yo me muevo con el cursor acá se mueven los
números a la izquierda y entonces ahí puedo
ponerme más o menos para dar un valor aproximado.
Ahí dice menos uno punto siete cuatro.
Nosotros sabemos, sabemos con todas las de la ley, que esa no es la solución exacta.
¿okay?
Es una aproximación de ella, con un número racional
porque un menos uno punto siete cinco o siete cuatro, ahorita es el siente
cinco me dice que es el cero, sería como pensar en qué, ¿menos siete cuartos?,
¿sí?
según lo que hemos estado nosotros practicando.
¿no?
de conocer a los números.
Y no es cierto que, menos siete cuartos va a ser solución de esa ecuación ¿okay?
Entonces en ese sentido les digo, yo le apuesto a la tecnología.
Yo me podría venir por acá, para decir más o menos por donde anda la raíz.
Ahí me dice un tres punto seis seis que sea un cero.
Nosotros podemos decir la Graphmática bueno, me estás
dando un aprox pero no es exactamente cero.
El cero va a ser que, un número que es irracional.
Y su expansión decimal va a ser infinita y no periódica.
¿no?
Aún y cuando es tan complejo nuestro conjunto de los
números reales ¿okay?
Es importante tener estas precisiones para que, la idea
de variación que es la idea que rige ¿no?
en el cálculo para su estudio.
Bueno, pues se hará la idea que sea más cabalmente entendida por nosotros.
¿no?
Bueno, ahí se fue un paréntesis que yo
les quería hacer en cuanto a estas funciones ¿no?
que son las funciones cúbicas. Sin embargo, con las
que vamos a trabajar es con sus derivadas.
La imagen que les estoy mostrando yo ahorita,
es la imagen de las derivadas nada más.
Se fijan ahí están las dos derivadas de las funciones previas que representaban el
comportamiento de estos tanques que eran tan parecidos y tan distintos a la vez.
¿no?
Mi idea sería que, cuando uno vea este tipo de gráfico ¿no?
Uno sea capaz de interpretar.
O sea, por ejemplo vamos a, a verlo de esta manera.
En este lugar, tengo que la derivada es siempre positiva
la de arriba, eso me debe estar diciendo acá en mi
mente que la gráfica que le corresponde, de la cual
ella es la derivada tiene que ser una función creciente ¿no?
Esta gráfica de acá que me dice que aquí cruzo
de valores negativos a positivos me estaría diciendo que
en este lugar donde corta la derivada del eje,
es un lugar en donde la gráfica azul que
me estoy imaginando debe de tener un valor mínimo.
¿Por qué?
Porque, en la zona negativa de la derivada, la función debe de decrecer y
la zona positiva de la derivada la función debe de crecer ¿no?
Y este otro punto que está aquí, donde corta el eje
horizontal esta derivada, también al pasar de valores positivos a valores negativos
entonces me estaría diciendo que en esta, en esta vertical digamos que
a por aquí donde, donde le atine aquí donde está el corte.
Ahí tiene que haber un eh, máximo de la función azul que me estoy imaginando.
De la cual ésta es la derivada. ¿Por qué digo máximo?
Porque estas zona donde la derivada es positiva, me marca que la función está
creciendo y después en la zona negativa es donde la gráfica va a estar decreciendo.
Entonces me da lugar a un máximo ¿no?
Entonces ese, ese tipo de razonamiento que you está en la mente ¿no?
como consecuencia de ver la gráfica de las
derivadas, es el tipo de razonamiento que quisiéramos
nosotros que ustedes pudieran controlar, hasta cierto punto ¿no?
Es algo como lo que paso, antes de que nos vayamos déjenme ver cómo salirme de aquí.
Es algo como lo que nos paso eh, cuando
veíamos gráficos como, déjenme ver si éste, éste gráfico.
Me voy a despedir de ustedes con este gráfico.
En este gráfico you
yo se los había mostrado, es Graphmática con tres parábolas y tres rectas ¿sí?
Y vean ustedes como las rectas que son las derivadas de las parábolas, you
habíamos comentado ahí que su inclinación, nos
hablaba de cómo la parábola estaba formada ¿no?
Como la parábola era más ancha como la
roja, menos ancha como la azul o angosta como
la verde.
En ese sentido yo quisiera decirles, es la
derivada la que me dice cómo es la función.
¿okay?
En ese mismo sentido, cuando estábamos acá en
nuestras dos parábolas encontradas de los tanques ¿no?
son esas derivadas las que nos dicen cómo es la función.
Vamos a regresar entonces con este asunto.
En donde van a darse ustedes cuenta, de que
incluso vamos a recapitular todo lo que hemos visto.
Porque este curso está construido para que ahorita
que vemos la cúbica, vamos a necesitar repasar, ¿qué?
La cuadrática.
¿Por qué?
Porque, la cuadrática es la derivada de la cúbica ¿no?
Y para poder controlar esta cuadrática, vamos a tener que repasar, ¿qué?
La recta. ¿Por qué?
Porque, la recta es la derivada de la cuadrática.
O sea, una función lineal es la derivada de una función cuadrática.
Y una función cuadrática,
es la derivada de una función cúbica. Entonces, mi propuesta va a ser, que les
voy a dar unas funciones cuadráticas y sobre esas cuadráticas vamos a
imaginar, ¿cuál es la función cúbica de la cual, ellas son la derivada?
Esto es, nos vamos a poner a antiderivar tanto
de manera algebraica como de manera gráfica o visual.
Los espero en el próximo vídeo y entonces les propongo esas parábolas.
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