Yo quisiera que ahorita, bueno, yo les decía que buscaran un poco en internet. ¿Cómo se resuelve una ecuación cúbica? Yo quisiera que lo viéramos. Ahorita tengo en mi pantalla "WolframAlpha" y me gustaría, bueno pues, que hiciéramos el intento, ahorita con "WolframAlpha", de encontrar las soluciones de nuestra ecuación cúbica. Recuerden que no estamos en el aire. No es cualquier ecuación cúbica. Recuerden esta imagen que tenemos aquí, que nos está diciendo -andamos viendo en qué instante el tanque se vació.- Andamos buscando este lugar. ¿Se fijan? Ese es el que andamos buscando. Eso nos llevó a la ecuación cúbica. you les dije, you les hice las cuestiones que se tienen que hacer para checar si una ecuación cúbica tiene números racionales como sus soluciones o no. you nos dimos cuenta que no. Estamos seguros que este numerito que está aquí es irracional. Y andamos viendo qué podemos más saber al respecto. Entonces, ahorita vámonos a "WolframAlpha" y vamos a ponerle aquí, bueno pues, que resuelva la ecuación esta que estamos tratando de resolver. Vamos a poner una cúbica. Déjenme retomar esta que you tiene aquí tecleada. Nuestra ecuación es menos x cúbica. Vamos a modificar aquí un poco. Le ponemos el menos x cúbica, más dos x cuadrada. Vamos a ponerle aquí un signo de más. Y luego el dos en lugar de ese cuatro que tiene, dos x cuadrada. De hecho, vamos a necesitar un más dos x también, en lugar de este seis, es un más dos x. Y luego sería nuestro más quince. Estoy copiando la ecuación que yo tengo aqui en el papel, que es la que habíamos hecho la última... en el último video. Entonces tenemos menos x cúbica, más dos x cuadrada, más dos x, más quince. Vamos a dar "enter", y veamos qué es lo que nos ofrece "WolframAlpha". Pues, ¡wao!, miren todo lo que tenemos aquí de información. Esta expresión que está aquí, esa es la que les decia yo, de que esa fue la que se encontró en determinado momento en la historia de la matemática para dar solución a este problema de encontrar una fórmula general para la cúbica. El valor que nos aproxima aquí, qué bien, que diga aproximación, que es tres punto seis, seis, tres, cinco. Ese es el valor que veíamos en Graphmática. De hecho, a ver, aquí lo tengo. Vamos a ponernos por aquí. Es el tres punto seis nueve, estoy ahí, un poquito antes. Tres punto seis, seis, ahí estamos en la curva. ¿Sí? Entonces, fíjense cómo las cosas corresponden. O sea, andábamos buscando este punto que está aquí en la intersección. Ahorita podemos tener en la garantía... dejénme hacer esto pequeño. La garantía de que aquí WolframAlpha nos dé un valor exacto. Porque toda esta expresión es exacta. ¿Se fijan? O sea, mientras estén las operaciones indicadas todo esto es exacto y no lo aproxima con cuatro decimales. Aparecen estas otras dos. Estas otras dos soluciones son imaginarias. Vean cómo las soluciones imaginarias siempre aparecen con el mismo número. Solamente hay un cambio de signo, aquí, en la parte imaginaria. Se aparecen por pares y esto es en consecuencia, también, de lo que nos pasa en la fórmula cuadrática con ese más menos. Entonces, aquí estas son soluciones de una ecuación cuadrática que tiene soluciones imaginarias. Este número you lo pudimos interpretar. Si nosotros quisiéramos interpretar las soluciones imaginarias aquí, lo que tendríamos que decir es -vean ustedes que este gráfico solamente corta una vez.- O sea, si yo me voy haciendo que una "zoom out", vean como el gráfico solamente cortó esta vez. Eso me está diciendo: al no haber otras soluciones, y saber, por el teorema fundamental del álgebra, que son tres soluciones en total, entonces yo puedo decir -ya encontré una que es real y las otras son imaginarias.- Eso me lo comprueba este gráfico que no corta el eje más que una... una sola vez. De hecho, creo que Graphmática también, aquí, pone una imagen. Aquí se vé dónde está este corte. Ese es el corte que nosotros estábamos viendo en Graphmática, pero en su totalidad. Bueno, viendo ésto, yo también me puse a teclearle aquí, o sea, vamos a preguntarle una ecuación cúbica. Vamos a ver qué nos dice sobre "cubic equation". Lo que nos ofrece WolframAlpha es, ahorita, bueno pues, una explicación. Aquí está, cómo están los coeficientes de cubo, cuadrado, lineal, constante, etcétera. Está también hablándonos de, ¿ven aquí?, si existe esa solución para la ecuación cúbica. Vamos a... Es más, aquí está, al parecer. Le dí "click" a donde decía "cubic equation"... "cubic formula", perdón. Creo que nos está diciendo también, cómo podemos hacerlo con matemática. De cómo podemos encontrar esas soluciones. Bueno, acá dá más información, vamos a ver, o más detalles. En éstos más detalles. Aparecen aquí estas operaciones. A ver, vamos a más información, pero no se asusten. No se asusten. No pasa nada. Vean ustedes, aquí, en esta imagen de información you está, aquí, la función cúbica. Voy a darle, un poquito, al cursor hacia abajo para que vean todo lo que se tiene que hacer para llegar a esa expresión. Estas son operaciones algebráicas. Hay ciertas sustituciones que fueron necesarias hacer para que pudiera resolverse, hacer, la fórmula general. Aquí hay una parte en donde hablan sobre cuándo se resolvió, quién la resolvió y en el año del que estamos hablando. Y estos personajes: Cardano, Tatalia, Ferrari, estuvieron muy dedicados. Eran algebristas dedicados a esto. Es curioso que aquí hay, bueno, pueden leer ustedes o a lo mejor you lo conocieron. Hay toda una problemática de que quién fue el que descubrió la fórmula o quién se la plagió a quién. Todo esto sucedió mucho en ese tiempo con los científicos porque no es una cuestión de compartir como tenemos en la actualidad. Es una, digamos, una cultura muy distinta. Los matemáticos encontraban resultados y los mantenían como secretos para... nada más para ellos o para su gente. Total, es una historia curiosa que ha de pasar en todas las áreas del conocimiento. Pero bueno, este señor, haya sido Tatalia, haya sido Cardano, encuentra hacer esta sustitución y la realiza y miren todo lo que pasa... todo lo que pasa. Se detectan, aquí, otros dos valores numéricos P y Q. Se redujo la ecuación a una forma más simple. you reducida, así, se hace otro cambio, aquí, de variable que les lleva estas expresiones. Total, luego se usa la fórmula cuadrática también y, bueno, ¡wao!, todo esto que está aquí, ¿ven cómo se está trabajando? Todo esto es álgebra. Álgebra pura, pura álgebra. Vean todas estas expresiones. Yo you me asusté. Nada, no se crean. O sea, realmente, les digo esto porque también fue un momento muy importante en la historia del conocimiento matemático. Darse cuenta de que todo esto tan complicado era algo que se tendría que hacer para resolver una ecuación cúbica. Y que, a veces, cuando las soluciones son reales, las tres soluciones son reales, resulta que uno tiene que pasar por cantidades donde hay, incluso, radicales de números negativos. O sea, llegó un momento en que fué necesario aceptar, en la matemática, que los negativos y las raíces de los números negativos eran útiles. Al menos, ahorita, lo estamos viendo en el caso del problema matemático de la utilidad, también, de resolver problemas matemáticos que consiste en encontrar la fórmula de la ecuación... para resolver una ecuación cúbica de manera general. Una fórmula general. Entonces, esa fórmula que habíamos tenido con... con, acá, con Graphmática y que nos dió la expresión esta para la ecuacioncita, esta de aquí, que tiene sus radicales. Les digo, o sea, mucho tiempo, o sea, no querían a los números negativos, bueno, menos a los raíces de los negativos. Aquí pudieron aparecer raíces de negativos y, entonces, esas raíces, resultaba, que eran necesarias para encontrar las soluciones reales de las ecuaciones cúbicas. Total, toda esta historia está llena de anécdotas y demás. Pero les digo, es un momento culminante, también, para la matemática porque la aceptación de los números complejos se tuvo que dar. Digamos, en un contexto netamente matemático, por un problema matemático, pero digamos que el contexto real es, también, los números complejos. Vinieron a resolver tantas, tantas aplicaciones que you no hubo más que decir: bienvenidos los números complejos. Vamos a darles una representación. Tengamos un modelo para representarlo en nuestro plano cartesiano con su parte real, con su parte imaginaria y trabajemos con ellos. Operemos con ellos. Aprendamos a operar, a sumar, a restar, a multiplicar, a dividir estos nuevos números. Bueno, eso no hace que podamos resolver nuestra ecuación. Me explico. O sea, yo no intentaría con ustedes que llegáramos a esto. Yo diría que estas soluciones, ahí donde son buenas es usando la tecnología. Me gustaría que el ejercicio que hagamos con lo nuestro, con nuestra anotación matemática sea en un tanque, digamos, más simple. ¿Y a qué me refiero con que más simple? No le voy a decir que le voy a quitar una llave. Porque si le quito una llave, you me va a quedar una ecuación cuadrática y you sabemos, pues, eso va a ser simple. No, me refiero yo a que, vean ustedes ahorita lo que quiero hacer con el gráfico. O sea, me voy a salir otra vez... así lo teníamos. Entonces, ahorita este número que está aquí nos salió irracional por azares del destino. you lo encontramos aproximado y exacto, gracias a Graphmática. Pero ahora, bueno pues, vamos a hacer un tanque más sencillo. O sea, los tanques que son más sencillos de tratar, desde el punto de vista de las cúbicas, son los tanques que, al inicio, estaban vacíos. ¿Qué voy a hacer para que el tanque, al principio, esté vacío? Ahorita tengo aquí tecleada mi función. Lo único que haría es quitarle este quince. ¿Se fijan? Es como poner un cero ahí. O sea, si el tanque estaba vacío, veamos la gráfica. Ahí apareció la gráfica. Si ustedes observan, lo único que se hizo con esa curva fue, como, bajarla. Es como si el "software", ahorita, la hubiera bajado, trasladado verticalmente. Y you nos quedó acá nuestra curva. Y vean, pues sí empieza en el origen. Cuando el tanque tiene un nivel inicial cero las cosas son más sencillas. Se los voy a mostrar en el papel. ¿Queremos encontrar qué? Queremos encontrar cuándo se vació. O sea, queremos encontrar este lugar de aquí. Entonces, vamos al papel. Entonces, lo que estamos haciendo, algebráicamente, es quitar este quince de aquí. Vamos. Y nos queda la ecuación menos x cúbica, más dos x cuadrada, más dos x, igual con cero. Ahora sí. ¿Por qué digo yo que ahora es más simple? Porque aquí voy a poder hacer uso de una herramienta algebráica que hemos estado tratando de fomentar en ustedes, y que es darse cuenta de que hay un factor común. O sacamos x por menos x cuadrada, más dos x, más dos. ¿Cierto? Igual con cero. Y ahora tenemos, entonces, nuestra expresión factorizada donde este factor x por este otro factor dé igual a cero. Esto nos lleva a una disyuntiva. O esto dá cero, o toda esta cosa dá cero. Pero toda esta cosa que dá cero you no es cualquier cosa extraña. Porque ¿quién es? Esto que está aquí no es más que nuestra famosa ecuación cuadrática. ¿Cierto? Y entonces, como pudimos transportar el problema ahora a una ecuación cuadrática podemos resolver esta ecuación cuadrática con nuestra fórmula general, que es mucho más amigable que la que nos dió, este ahorita, WolframAlpha y, entonces, podríamos hacer, encontrar la solución exacta. Vamos a hacerlo ahora. Tendríamos ahorita que x es igual a menos v, o sea, menos dos, más menos la raíz cuadrada de v cuadrada, que es un cuatro, menos un cuatro, por la A que es un menos uno, por la c que es un dos, y todo esto entre dos por menos uno. Y esto nos va a dar, ¿qué tanto nos va a dar? Nos va a dar menos dos, más menos la raíz de ¿cuánto? Hagamos la operación. Es un cuatro, por un dos, es un ocho, que va a quedar positivo, más cuatro, son doce; entonces, aquí nos quedó un doce sobre menos dos. Y al ser un doce, pues you. Esto invita a que ponngamos aquíl un más menos. Vean el doce como un cuatro por tres. Entonces, estoy sacando raíz de cuatro por tres, entre menos dos. Y esto nos daría entonces, menos dos, más menos dos, raíz de tres, sobre menos dos. Me voy a ir un poquito para acá, para arriba, para seguir usando nuestra hoja. Y entonces, si lo hice bien, sí. Vamos a hacer la cancelación de estos dos. ¿Se ven? Aquí, este con este me va a dar un uno más menos, raíz de tres. Uno más raíz de tres, y uno menos raíz de tres. Me parece que, incluso, llegamos a la solución exacta. En este momento, you podríamos decir, una solución es uno más raíz de tres. La otra es uno menos raíz de tres. Ok. Si nos vamos nosotros, ahorita, al dibujo acá en la gráfica estaríamos hablando de este lugar. ¿Cierto? Uno más raíz de tres y uno menos raíz de tres. Vamos a sacar nuestra calculadora para tener la cantidad aproximada. Aquí está la calculadora. Decimos uno... bueno, raíz de tres. Tenemos que ponerle tres, acá la raíz y súmale uno. ¿Verdad? Sumamos uno. Y nos queda dos punto setenta y tres. Cómo ven, ahí está ese valor: dos punto setenta y tres.... es el valor que está aquí. ¿Cierto? Y el otro valor ¿dónde estaría? Si decimos: uno menos raíz de tres va a salir negativo. ¿Se fijan? Pues sería el otro valor, que está por acá. Ok. Y el otro tendríamos, ¿qué tenemos? Es el cero. Vean ustedes cómo solamente bajamos el gráfico y you fueron tres cortes. Ahora tenemos tres cortes de la curva, de la cúbica. Y uno de esos cortes es el inicio; cuando el tanque, apenas, tenía un nivel inicial. Digo, sin agua estaba con un nivel inicial cero. Despues subió cada vez más rápido, luego cada vez más lento. Llegó a un valor máximo y luego bajó, cada vez más rápido, hasta que a los uno más raíz de tres minutos quedó completamente vacío. Bueno pues, ahorita, al menos con esta chavusa de hacer el tanque más simple, de haberlo hecho con un nivel inicial cero, fuimos capaces de resolver una ecuación cúbica. ¿Se fijan? O sea, no necesariamente cualquier cúbica va a ser no soluble en el sentido de que tengo que ocupar la fórmula de la cúbica. Vimos un ejemplo, entonces, en donde tenemos una solución que pudimos obtener, gracias a la factorización de x. Yo los invitaría a que, en el próximo video, bueno pues, veamos otro ejemplo más en donde tengamos cúbicas y nos vayamos despacito. Despacito en el sentido de conocer cúbicas que sí son amigables. Que sí podemos encontrar sus soluciones de una manera algebráica y podemos practicar con nuestra simbología matemática. Los espero entonces.
