Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Identificamos una fórmula
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Concebimos un movimiento diferente
Hablaremos del Modelo Cúbico construido a partir del Modelo Cuadrático. Retomaremos la situación real de movimiento en línea recta creando un movimiento en el que no hay cambio de sentido. Transitaremos al contexto real de llenado de tanques para dar significado a la función cúbica y a su derivada.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Volvemos entonces y ahora, haremos uso, otra
vez, de nuestro razonamiento anterior, para poder ir un poquito más allá.
Me gustaría que en este terreno de
lo alegebraico nos apoyaramos todavía en el software,
recuerden que este no es un curso
de cálculo, en el sentido de que profundizamos,
en la teoría del cálculo, sino que estamos tratando de que ustedes se hagan la idea
de lo que trata el cálculo a travéz de el manejo de modelos que hemos
trabajado en el curso lineal, cuadrático y
cúbico, entonces en ese sentido la construcción de
las funciones no necesariamente, obedece a la teoría,
si no que ha obedecido a nuestro razonamiento,
un razonamiento inductivo, un razonamiento que esta basado en el contexto real del
movimiento entonces, ha sido este contexto el que me ha permitido, llegar con ustedes
y hacerles una propuesta como esta. Si vemos en esta
hoja yo puedo decirles a ustedes, que la funcion, y esta dada
por la expresion algebraica : f de x es igual
a, cuatro, x cuadrada, menos cinco x más seis y ustedes you ahorita, estarían
habituados a decir que su derivada esta dada por, bajo este dos con este
cuatro, me queda este ocho x menos cinco; este tipo de algorítmia, o sea
esta mecánica, para encontrar la derivada, es
algo que encontramos, gracias a que hemos hecho
uso del sofware, gracias a que hemos hecho cierta inducción, en lo que hemos
visto, y bueno pues, notamos que en forma general lo que esta pasando,
es que cuando una expresión cuadrática esta dada, digamos como : y,
vamos a ponerle que y depende de x es a, x cuadrada,más
seis x más,C, entonces su derivada es dos
a por x más b, este dos a por x, esta marcando la mecánica que hicimos
acá arriba con los números de bajar el dos, poner la a, y luego dejar la x ¿no?
A la primera potencia, como haberle restado uno al exponente dos, para que
nos quede ahora, este uno, cosa que no se repetía acá, se acuerdan?
ó sea uno, cuando aquí hubiera, no veo nada aquí, una x,
puedo ver un uno en esta x, que se multiplica por la b, me da b y luego la x,
me queda la uno, menos uno, ó sea la cero
y x a la cero, es uno entonces no se escribe
más que la b, entonces, esa mecánica podría yo hacer
que me indujera, lo que va a pasar ahora en el
caso cúbico ó sea que estaríamos esperando pues que se
repita algo como esto, y en ese sentido, es como les
voy a hacer ahora la propuesta, a través de Graphmática de que lleguemos a la
derivada de una función cúbica tratando de importar esta digamos, mecánica
y tratando de utilizar lo que, Graphmática sabe hacer entonces, si me acompañan
en la pantalla, ahorita saque también, lo que sería, el tablero, para los
valores de la función, y vamos a teclear en Graphmática la
función que les voy a proponer, y igual,y vamos a encerrar en un paréntesis, para
hacerles claro a ustedes, que estamos metiendo ahí una cantidad que incluso, en
su representación numerica, la expansión decimal
es infinita sería un tercio, lo encerramos,
un tercio de x, y luego ponemos el exponente al cubo, si?, entonces vamos a
graficar, un tercio, de x al cubo le
decimos a Graphmática que nos lo grafique ¿si?
y entonces, tenemos esta gráfica, y aquí nos esta dando valores no?, valores de y,
para los correspondientes, valores de x, esta tomandolo, en los enteros, se fijan?
Esta haciendo
una tabulación tipo, la que estamos acostumbrados, hacer nosotros también,
cada entero, porque son los mas fáciles, de evaluar, ¿ok?
bueno you tenemos una imagen gráfica, de esta función, you
podríamos, incluso también observar, porque
aquí salen también, valores negativos,
también estaríamos evaluando valores negativos
estaríamos elevandolos, al cubo, y
al elevar al cubo un número negativo, vuelve a quedar negativo,
porque menos por menos,da más, pero por menos da menos, ¿ok?
Por otro lado, acá nos van a quedar
números positivos, se observa también, cierto comportamiento aquí ¿no?
de como,cierta estabilidad, cerca del eje horizontal, eso me esta
diciendo que cuando un número es muy pequeño, una x pequeñita,
un punto uno, un punto cero uno, elevado al cubo,
se hace todavía mas pequeñita, entonces, la y esta muy pegada
con el eje de las x, con la horizontal.
Por otro lado, ahorita el ejercicio sería, que le dijéramos a Graphmática, que
derive esta función entonces, hacemos un click, para que derive, y obtenemos esta
gráfica que tenemos acá que si ustedes pueden ver, ó sea se ve como una
parábola no?, ahora eso, estaría por verse con la representación algebraica,
que curioso, uno la ve aqui, pero estaría, por verse
con la representación algebraica, porque graficamente, ó sea uno no
podría estar seguro de que se trata de una parabola,
ahorita sería el terreno algebraico, el que asegura las cosas, matematicamente.
Entonces tenemos aquí, la lista, ¿se fijan?, esta lista de números que
esta ofreciendo Graphmática con respecto a
la segunda función, que seria la derivada.Y
observen como el menos siete, vale cuarenta y nueve, el menos seis,
treinta y seis,el menos cinco veinticinco, el menos cuatros dieciséis aja, luego
el menos tres, nueve, el menos dos cuatro, el menos uno, uno,
el cero vale cero el uno vale uno, ven lo que esta pasando?
you mi cabeza esta diciendo, oh si, oh si,
el dos vale cuatro y el tres vale nueve, ¿quién
es?
Si en cuatro vale dieciséis, y en cinco vale veinticinco que esta pasando?
De la primer columna a la tercer
columna, estamos haciendo una elevación al, cuadrado ¿no?
ó sea mi idea seria, en este momento proponerles a ustedes, vamos a
tomar una imagen de esto ¿no? Una especie de introducción en ese sentido
esto también, digo yo, es parte también de un razonamiento matemático eh, un
razonamiento matematico, tiene mucho que ver con una organización del pensamiento,
de lo que se esta aprendiendo, entonces, podríamos decir aquí, que estamos
viendo una función la función, y, igual a , un
tercio de x al cubo, y que, podemos, comprobar, que aqui,
esta función que estamos viendo que es su
derivada estaría dada, por x, al cuadrado ¿de acuerdo?
Ahora, si ustedes observan en esta expresión
vamos a ver la mecánica que decíamos, ó
sea, sera cierto que voy a cambiar el tono, vamos a hacerlo en negro ¿no?
Será cierto que si acá en mi cabeza, vamos a poner aquí,
en mi cabeza para derivar, yo lo que hago es bajo
este tres, dejo el un tercio que you tenia, y a la x que tenia al cubo
le resto uno, será cierto que llego a lo que ahí tengo
acá a la derecha, a la izquierda perdón, en rojo la verdad es que, que si ¿no?
este tres por un
tercio me va dar un, uno, este x a la
tres menos uno, me va a quedar x al cuadrado, no?
Y entonces ahorita, estaríamos diciendo, que
efectivamente, esa mecánica es valida, para
este caso también claro, no estoy
haciendo una demonstración matemática, estoy haciendo
uso de un software que you trae internamente, la posibilidad de derivar,
estoy haciendo uso de una inducción, que teníamos nosotros puesta en el papel
pero digamos que este tipo de
habilidades, son habilidades matemáticas, que deberíamos
de poner al servicio, de conocer a la matemática, entonces aun y cuando
no es así, estrictamente teorico, yo los invito a que ahorita, prolonguemos nuestra
habilidad, algorítmica pensando, de que esto de bajar el exponente y dejarlo ¿no?
con el coeficiente,
dejar la x y quitarle uno, al exponente de la x, es algo valido ¿no?
Al menos ahorita en el caso del modelo cúbico, lo comprobamos con Graphmática.
Entonces, en ese sentido, me gustaría, ahora volver al papel, ¿por que?, Vean
ustedes como, ahora este, al volver al contexto del movimiento, nos
va a ayudar para ir un poquito más allá. Ahorita, lo que teníamos
en la imagen,de la pantalla era una función y
igual a un tercio, no? De x al cubo,y vimos
que la derivada, era x cuadrada, ahora yo
les hago, ahorita la propuesta
si nos vamos al contexto del movimiento, esta x que esta aquí,
se va convertir en el tiempo, y, esta y, y esta y prima van a ser
respectivamente, la posición, y la velocidad, entonces, la
primera expresión que tenemos aquí,seria x de t igual a un
tercio de t al cubo para la posición y la
expresion que tenemos de la derivada, seria v de t, ó sea la velocidad
es igual a t cuadrada,de acuerdo y
entonces dada esta velocidad tendría esta formula
de la posición, aquí estoy haciendo una suposición, de que la posición inicial es
cero ¿cierto?, y esta formula me estaría calculando la posición,
a los t segundos, lo que se movió a los t segundos de hecho esto, si me recuerdan
ustedes el gráfico, es una gráfica que siempre iba a estar creciendo ¿no?,
¿cierto?, ó sea este sería un movimiento siempre a la derecha, porque la velocidad
positiva si es una t cuadrada es una velocidad
positiva entonces, ahorita , en el terreno del
movimiento, yo podría, proponerles la la version,
en este sentido si la velocidad, vamos
a tomar otro marcador, si la velocidad
es,t cuadrada, entonces la posición
va ser t cúbica entre
tres, no?, les puse este, un tercio de t cúbica, les puse el entre tres, si?
dividiendo la t cúbica, ¿OK?
y ahora los invito a que pensemos, ¿que pasaría?
Si la velocidad, que lleva el objeto fuese la mitad de t cuadrada.
Si fuese la mitad de t cuadrada, si fuese siempre la mitad, si el
objeto se moviera, siempre, con una velocidad
que fuera la mitad de la anterior ¿ok?
Entonces, lo que tendríamos nosotros
es vamos a ponerlo así: si la velocidad fuese la mitad,
de la que llevaba antes, entonces la
posición a la que llega, moviendo siempre hacia la derecha sería la
mitad de la posición, a la que llegaba antes, ok?
entonces, nos quedaría un medio de t cubica entre tres ¿de acuerdo?, y podemos
seguir con este pensamiento, ó sea vamos a seguir en nuestro pensamiento y aquí en
nuestra libreta tenemos nuestra base,si la velocidad es
t cuadrada entonces,
la posición a la que llega el objeto es
t cúbica entre tres. Si la velocidad
fuese, ahora, el doble, el doble, de
lo que llegaba antes entonces, es de
esperarse que el objeto llegue, a donde?, no va a llegar a donde llegaba antes, va
a llegar al doble, de donde llegaba antes, de acuerdo?
si la velocidad, fuese el
triple de la velocidad que llegaba en un principio, el principio
era este no? Entonces la posición no sería la misma,
a la que llego al principio si no que seria el triple
de de la posición a la que llego al principio, ¿de
acuerdo?.Y en este momento se podría hacer una cancelación,
y nos quedaría x de t igual a t cúbica, de acuerdo?
y en este terreno, x de t igual a t cúbica, es en donde nosotros
podríamos rescatar las cosas, y devolvernos, otra
vez entonces rescatamos esto, y que podríamos decir, vamonos al
contexto de las Ys, y de las Xx esta x de t , la regreso
como ¿qué?, Y que depende de x es igual a x
cúbica y que se sobre la velocidad, esta serúa la derivada,
que es una función que depende de x, ¿a qué va ser igual?
A tres x cuadrada, ¿no?
Que, es este que esta aqui, tres x cuadrada, ¿de acuerdo?
Y entonces,
esta es una formula you, digamos, aceptada por nosotros, para
derivar la función x cúbica, así como antes you
teníamos nosotros que cuando y de x, era x cuadrada,
entonces y prima de x que es, dos x ¿ok?
O sea estamos viendo que la misma mecánica, de bajar el exponente,
y al exponente que estaba le bajamos uno, entonces en ese sentido
estamos, construyendo nuevamente, el caso, vamos a ponerlo
así en general el caso general, de una derivación
como esta, cuando la función, sea k
veces x cubica, ¿cual va ser
la derivada? La derivada sería k veces
tres x cuadrada, ó sea, podríamos
escribirlo de otra manera, si tres k x cuadrada ¿qué esta haciendo esta k?
Esta k esta haciendo, las veces de lo que les decía en
el contexto del movimiento, si fuera el doble, si fuera el triple,
o lo que hacíamos acá, como si fuera la mitad ó sea realmente, you podemos
hacer una generalización y dejar nuestra nueva expresión, de esta manera.
Donde la letra k, podrá ser sustituida por diferentes
valores numéricos, entonces you tenemos cosas avanzadas tenemos aqui,
y de x, k x cúbico, podríamos tener, y de x igual a k x cuadrada, y para
que este caso también la derivada va ser , dos k por x entonces, me parece,
que esto ha sido suficiente para que, en el próximo de nuestros videos pongamos
estas expresiones algebraicas, al servicio de la
construcción de funciones en donde ahora si, va
ser un modelo cúbico completo, que va a
tener diferentes partes, el que vamos a estudiara
a profundidad, incluso en el caso grafico entonces, los invito al próximo video nos
vemos entonces, para seguir ahondando, estas expresiones
de una función cubica y su derivada cuadratica
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