Volvemos entonces y ahora, haremos uso, otra vez, de nuestro razonamiento anterior, para poder ir un poquito más allá. Me gustaría que en este terreno de lo alegebraico nos apoyaramos todavía en el software, recuerden que este no es un curso de cálculo, en el sentido de que profundizamos, en la teoría del cálculo, sino que estamos tratando de que ustedes se hagan la idea de lo que trata el cálculo a travéz de el manejo de modelos que hemos trabajado en el curso lineal, cuadrático y cúbico, entonces en ese sentido la construcción de las funciones no necesariamente, obedece a la teoría, si no que ha obedecido a nuestro razonamiento, un razonamiento inductivo, un razonamiento que esta basado en el contexto real del movimiento entonces, ha sido este contexto el que me ha permitido, llegar con ustedes y hacerles una propuesta como esta. Si vemos en esta hoja yo puedo decirles a ustedes, que la funcion, y esta dada por la expresion algebraica : f de x es igual a, cuatro, x cuadrada, menos cinco x más seis y ustedes you ahorita, estarían habituados a decir que su derivada esta dada por, bajo este dos con este cuatro, me queda este ocho x menos cinco; este tipo de algorítmia, o sea esta mecánica, para encontrar la derivada, es algo que encontramos, gracias a que hemos hecho uso del sofware, gracias a que hemos hecho cierta inducción, en lo que hemos visto, y bueno pues, notamos que en forma general lo que esta pasando, es que cuando una expresión cuadrática esta dada, digamos como : y, vamos a ponerle que y depende de x es a, x cuadrada,más seis x más,C, entonces su derivada es dos a por x más b, este dos a por x, esta marcando la mecánica que hicimos acá arriba con los números de bajar el dos, poner la a, y luego dejar la x ¿no? A la primera potencia, como haberle restado uno al exponente dos, para que nos quede ahora, este uno, cosa que no se repetía acá, se acuerdan? ó sea uno, cuando aquí hubiera, no veo nada aquí, una x, puedo ver un uno en esta x, que se multiplica por la b, me da b y luego la x, me queda la uno, menos uno, ó sea la cero y x a la cero, es uno entonces no se escribe más que la b, entonces, esa mecánica podría yo hacer que me indujera, lo que va a pasar ahora en el caso cúbico ó sea que estaríamos esperando pues que se repita algo como esto, y en ese sentido, es como les voy a hacer ahora la propuesta, a través de Graphmática de que lleguemos a la derivada de una función cúbica tratando de importar esta digamos, mecánica y tratando de utilizar lo que, Graphmática sabe hacer entonces, si me acompañan en la pantalla, ahorita saque también, lo que sería, el tablero, para los valores de la función, y vamos a teclear en Graphmática la función que les voy a proponer, y igual,y vamos a encerrar en un paréntesis, para hacerles claro a ustedes, que estamos metiendo ahí una cantidad que incluso, en su representación numerica, la expansión decimal es infinita sería un tercio, lo encerramos, un tercio de x, y luego ponemos el exponente al cubo, si?, entonces vamos a graficar, un tercio, de x al cubo le decimos a Graphmática que nos lo grafique ¿si? y entonces, tenemos esta gráfica, y aquí nos esta dando valores no?, valores de y, para los correspondientes, valores de x, esta tomandolo, en los enteros, se fijan? Esta haciendo una tabulación tipo, la que estamos acostumbrados, hacer nosotros también, cada entero, porque son los mas fáciles, de evaluar, ¿ok? bueno you tenemos una imagen gráfica, de esta función, you podríamos, incluso también observar, porque aquí salen también, valores negativos, también estaríamos evaluando valores negativos estaríamos elevandolos, al cubo, y al elevar al cubo un número negativo, vuelve a quedar negativo, porque menos por menos,da más, pero por menos da menos, ¿ok? Por otro lado, acá nos van a quedar números positivos, se observa también, cierto comportamiento aquí ¿no? de como,cierta estabilidad, cerca del eje horizontal, eso me esta diciendo que cuando un número es muy pequeño, una x pequeñita, un punto uno, un punto cero uno, elevado al cubo, se hace todavía mas pequeñita, entonces, la y esta muy pegada con el eje de las x, con la horizontal. Por otro lado, ahorita el ejercicio sería, que le dijéramos a Graphmática, que derive esta función entonces, hacemos un click, para que derive, y obtenemos esta gráfica que tenemos acá que si ustedes pueden ver, ó sea se ve como una parábola no?, ahora eso, estaría por verse con la representación algebraica, que curioso, uno la ve aqui, pero estaría, por verse con la representación algebraica, porque graficamente, ó sea uno no podría estar seguro de que se trata de una parabola, ahorita sería el terreno algebraico, el que asegura las cosas, matematicamente. Entonces tenemos aquí, la lista, ¿se fijan?, esta lista de números que esta ofreciendo Graphmática con respecto a la segunda función, que seria la derivada.Y observen como el menos siete, vale cuarenta y nueve, el menos seis, treinta y seis,el menos cinco veinticinco, el menos cuatros dieciséis aja, luego el menos tres, nueve, el menos dos cuatro, el menos uno, uno, el cero vale cero el uno vale uno, ven lo que esta pasando? you mi cabeza esta diciendo, oh si, oh si, el dos vale cuatro y el tres vale nueve, ¿quién es? Si en cuatro vale dieciséis, y en cinco vale veinticinco que esta pasando? De la primer columna a la tercer columna, estamos haciendo una elevación al, cuadrado ¿no? ó sea mi idea seria, en este momento proponerles a ustedes, vamos a tomar una imagen de esto ¿no? Una especie de introducción en ese sentido esto también, digo yo, es parte también de un razonamiento matemático eh, un razonamiento matematico, tiene mucho que ver con una organización del pensamiento, de lo que se esta aprendiendo, entonces, podríamos decir aquí, que estamos viendo una función la función, y, igual a , un tercio de x al cubo, y que, podemos, comprobar, que aqui, esta función que estamos viendo que es su derivada estaría dada, por x, al cuadrado ¿de acuerdo? Ahora, si ustedes observan en esta expresión vamos a ver la mecánica que decíamos, ó sea, sera cierto que voy a cambiar el tono, vamos a hacerlo en negro ¿no? Será cierto que si acá en mi cabeza, vamos a poner aquí, en mi cabeza para derivar, yo lo que hago es bajo este tres, dejo el un tercio que you tenia, y a la x que tenia al cubo le resto uno, será cierto que llego a lo que ahí tengo acá a la derecha, a la izquierda perdón, en rojo la verdad es que, que si ¿no? este tres por un tercio me va dar un, uno, este x a la tres menos uno, me va a quedar x al cuadrado, no? Y entonces ahorita, estaríamos diciendo, que efectivamente, esa mecánica es valida, para este caso también claro, no estoy haciendo una demonstración matemática, estoy haciendo uso de un software que you trae internamente, la posibilidad de derivar, estoy haciendo uso de una inducción, que teníamos nosotros puesta en el papel pero digamos que este tipo de habilidades, son habilidades matemáticas, que deberíamos de poner al servicio, de conocer a la matemática, entonces aun y cuando no es así, estrictamente teorico, yo los invito a que ahorita, prolonguemos nuestra habilidad, algorítmica pensando, de que esto de bajar el exponente y dejarlo ¿no? con el coeficiente, dejar la x y quitarle uno, al exponente de la x, es algo valido ¿no? Al menos ahorita en el caso del modelo cúbico, lo comprobamos con Graphmática. Entonces, en ese sentido, me gustaría, ahora volver al papel, ¿por que?, Vean ustedes como, ahora este, al volver al contexto del movimiento, nos va a ayudar para ir un poquito más allá. Ahorita, lo que teníamos en la imagen,de la pantalla era una función y igual a un tercio, no? De x al cubo,y vimos que la derivada, era x cuadrada, ahora yo les hago, ahorita la propuesta si nos vamos al contexto del movimiento, esta x que esta aquí, se va convertir en el tiempo, y, esta y, y esta y prima van a ser respectivamente, la posición, y la velocidad, entonces, la primera expresión que tenemos aquí,seria x de t igual a un tercio de t al cubo para la posición y la expresion que tenemos de la derivada, seria v de t, ó sea la velocidad es igual a t cuadrada,de acuerdo y entonces dada esta velocidad tendría esta formula de la posición, aquí estoy haciendo una suposición, de que la posición inicial es cero ¿cierto?, y esta formula me estaría calculando la posición, a los t segundos, lo que se movió a los t segundos de hecho esto, si me recuerdan ustedes el gráfico, es una gráfica que siempre iba a estar creciendo ¿no?, ¿cierto?, ó sea este sería un movimiento siempre a la derecha, porque la velocidad positiva si es una t cuadrada es una velocidad positiva entonces, ahorita , en el terreno del movimiento, yo podría, proponerles la la version, en este sentido si la velocidad, vamos a tomar otro marcador, si la velocidad es,t cuadrada, entonces la posición va ser t cúbica entre tres, no?, les puse este, un tercio de t cúbica, les puse el entre tres, si? dividiendo la t cúbica, ¿OK? y ahora los invito a que pensemos, ¿que pasaría? Si la velocidad, que lleva el objeto fuese la mitad de t cuadrada. Si fuese la mitad de t cuadrada, si fuese siempre la mitad, si el objeto se moviera, siempre, con una velocidad que fuera la mitad de la anterior ¿ok? Entonces, lo que tendríamos nosotros es vamos a ponerlo así: si la velocidad fuese la mitad, de la que llevaba antes, entonces la posición a la que llega, moviendo siempre hacia la derecha sería la mitad de la posición, a la que llegaba antes, ok? entonces, nos quedaría un medio de t cubica entre tres ¿de acuerdo?, y podemos seguir con este pensamiento, ó sea vamos a seguir en nuestro pensamiento y aquí en nuestra libreta tenemos nuestra base,si la velocidad es t cuadrada entonces, la posición a la que llega el objeto es t cúbica entre tres. Si la velocidad fuese, ahora, el doble, el doble, de lo que llegaba antes entonces, es de esperarse que el objeto llegue, a donde?, no va a llegar a donde llegaba antes, va a llegar al doble, de donde llegaba antes, de acuerdo? si la velocidad, fuese el triple de la velocidad que llegaba en un principio, el principio era este no? Entonces la posición no sería la misma, a la que llego al principio si no que seria el triple de de la posición a la que llego al principio, ¿de acuerdo?.Y en este momento se podría hacer una cancelación, y nos quedaría x de t igual a t cúbica, de acuerdo? y en este terreno, x de t igual a t cúbica, es en donde nosotros podríamos rescatar las cosas, y devolvernos, otra vez entonces rescatamos esto, y que podríamos decir, vamonos al contexto de las Ys, y de las Xx esta x de t , la regreso como ¿qué?, Y que depende de x es igual a x cúbica y que se sobre la velocidad, esta serúa la derivada, que es una función que depende de x, ¿a qué va ser igual? A tres x cuadrada, ¿no? Que, es este que esta aqui, tres x cuadrada, ¿de acuerdo? Y entonces, esta es una formula you, digamos, aceptada por nosotros, para derivar la función x cúbica, así como antes you teníamos nosotros que cuando y de x, era x cuadrada, entonces y prima de x que es, dos x ¿ok? O sea estamos viendo que la misma mecánica, de bajar el exponente, y al exponente que estaba le bajamos uno, entonces en ese sentido estamos, construyendo nuevamente, el caso, vamos a ponerlo así en general el caso general, de una derivación como esta, cuando la función, sea k veces x cubica, ¿cual va ser la derivada? La derivada sería k veces tres x cuadrada, ó sea, podríamos escribirlo de otra manera, si tres k x cuadrada ¿qué esta haciendo esta k? Esta k esta haciendo, las veces de lo que les decía en el contexto del movimiento, si fuera el doble, si fuera el triple, o lo que hacíamos acá, como si fuera la mitad ó sea realmente, you podemos hacer una generalización y dejar nuestra nueva expresión, de esta manera. Donde la letra k, podrá ser sustituida por diferentes valores numéricos, entonces you tenemos cosas avanzadas tenemos aqui, y de x, k x cúbico, podríamos tener, y de x igual a k x cuadrada, y para que este caso también la derivada va ser , dos k por x entonces, me parece, que esto ha sido suficiente para que, en el próximo de nuestros videos pongamos estas expresiones algebraicas, al servicio de la construcción de funciones en donde ahora si, va ser un modelo cúbico completo, que va a tener diferentes partes, el que vamos a estudiara a profundidad, incluso en el caso grafico entonces, los invito al próximo video nos vemos entonces, para seguir ahondando, estas expresiones de una función cubica y su derivada cuadratica
