Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Interpretando las gráficas
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Ecuaciones y funciones cúbicas
Retomaremos el contexto real del movimiento en línea recta para activar procesos algebraicos relacionados con la interpretación gráfica del movimiento. Consideraremos diferentes casos de ecuaciones cúbicas en las que podremos calcular sus soluciones con procedimientos algebraicos sencillos.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues ha llegado la hora de completar la historia.
Yo quisiera que viéramos en la pantalla, yo lo que he hecho es poner todos los
datos numéricos que nos salieron cuando hicimos tantas
cosas con las ecuaciones y con las funciones.
Todos esos datos se los he puesto sobre los dibujos.
Eh, traté de mantener los colores para también
recordar a que curva pertenecen y bueno me gustaría
que después de toda esta aventura ¿no?, pues nos
atrevamos a pensar más que en el gráfico solamente.
¿No?
Sino en el movimiento.
En el movimiento que este coche realizó ¿no?
en toda su trayectoria.
Vean ustedes como la gráfica roja es la que representa la posición.
Pero ven ustedes como ese gráfico rojo esta siendo afectado por el azul.
O sea por la información
que la velocidad provee.
Y vean como el gráfico azul esta afectado por el gráfico verde.
Por la información que la aceleración provee.
Eso es cálculo ¿no?
Esa es, digamos la herramienta ¿no?
del cálculo que nos permite predecir valores de una magnitud conociendo lo que
pasa con su correspondiente razón de cambio, o sea con su derivada.
Entonces por un lado tenemos aquí nuestra
imagen, tenemos todas nuestra información.
Por otro lado tenemos acá en el papel nuestra historia ¿no?
en su versión larga y me gustaría que estemos haciendo
ese switch así como lo vamos a hacer aquí ¿no?
también con la cámara.
Ustedes necesitan hacer ese switch en su cabeza.
O sea una cosa es ahorita la historia y otra cosa es el dibujo ¿no?.
Entonces en la medida que haya que
conectar las cosas lo vamos a estar haciendo.
Tenemos entonces en nuestra historia ¿no? la situación ¿de qué?
bueno, ahorita esta era nuestra versión corta.
Vamos a empezar con nuestra versión larga. Dice entonces.
Comenzamos a verlo, al cochecito rojo, a los t igual a cero segundos
en la posición x subcero igual. Ahí no necesito ni irme para acá ¿no?
a la pantalla ¿por qué? porque lo
estoy viendo acá ¿no?
O sea esta posición es la posición inicial del coche.
Cierto. Claro que si me voy ahorita ¿no?
acá en el dibujo, en este dibujo lo que estaríamos viendo es en
el gráfico rojo este punto de de aquí, no se si vean mi cursor.
Es este punto de aquí ¿no?
Entonces ese punto me esta diciendo que en la posición x subcero igual a cero ¿no?
Entonces ese es nuestro primer dato cero metros
dice y llevaba una velocidad de v subcero igual.
Ahora vamos a buscar el dato de la velocidad.
Ese dato de la velocidad, si nos vamos acá en el gráfico.
Entonces tendríamos que buscarlo acá en el gráfico azul.
Porque la velocidad es azul.
Entonces tendríamos que tener este dato, no se si vean mi cursor aquí.
Ese dato que estoy señalando en el cursor no es algo que esté explícito ¿no?
Pero igual inmediatamente lo podemos calcular acá ¿no?
Qué tendríamos nosotros que hacer.
Tendríamos que calcular en la función de velocidad
la velocidad en cero, lo cual es inmediato.
¿Por qué?
Porque simplemente en esta expresión cancelamos los términos que
tienen a la t y nos queda el 11.
Entonces ese
dato del 11, no me dejó ahorita cambiar el color de la tinta ¿no?
Ese dato del 11 es un dato que está en la velocidad, en esta parte de aquí ¿no?
En esta parte de arriba.
Vamos a ponerlo acá en nuestra hoja.
Entonces tendríamos una velocidad de subcero de 11 metros por segundo.
Desde entonces dice hasta los t igual a tantos segundos se movió hacia
la derecha cada vez más lento hasta que
se paró justo en la posición de tantos metros.
Okay.
Necesitamos sacar la información de que ¿hasta cuántos segundos se estuvo moviendo
a la derecha cada vez mas lento y en qué posición se paró?
Nos regresamos a nuestra imagen y entonces tendríamos que ver
en nuestro gráfico rojo, esto que está pasando por aquí ¿verdad?
O sea vamos
a ponerle el cursor.
Sería esta zona de aquí, esa pequeña zona del gráfico.
Estaríamos hablando aquí de ¿qué tiempo?
del tiempo un segundo y en ese tiempo de un segundo llegó a una cierta posición.
Esta posición you se las he puesto yo aquí como el máximo.
Al un segundo la posición es 16 tercios de metro ¿no?
Entonces esta información del máximo es la que
nos vamos a traer acá sobre el papel ¿no?
Entonces en el papel pondríamos nosotros que al t igual a un segundo ¿no?
Se movió hacia la derecha cada vez más lento hasta
que se paró justo en la posición 16 tercios de metro.
¿De acuerdo?.
Seguimos con la historia.
Dice comenzó en ese momento a trasladarse hacia la izquierda cada vez más rápido.
Ciertamente es cuando nuestra gráfica va a decrecer con concavidad abajo.
Eran los tantos segundos cuando lo vimos pasar por
el origen de la recta en que se mueve.
O sea aquí ¿no?
O sea este coche you iba para acá. you se paró y you se regresó.
Entonces vamos a ver cuando vuelve a pasar por aquí.
¿Okay?
Entonces para que pase por aquí necesitamos encontrar
ese momento en que la posición es cero ¿no?
¿Cuál es esa posición cero?
pues es la que nos representa acá en la gráfica ¿no?
el momento en que la curva roja cruza el eje.
Entonces ahorita estaríamos en este lugar a los nueve menos cuatro raíz de tres ¿no?
segundos.
Estaríamos pensando en que la gráfica roja cruza el eje y entonces ese dato, nueve
menos cuatro raíz de tres, así exacto
como sabemos trabajar nosotros con los número reales.
Vamos a ponerlo acá.
Eran los nueve menos cuatro raíz de tres segundos cuando lo
vimos pasar por el origen de la recta que se mueve.
Siguió hacia la izquierda y a los tantos segundos
era cuando iba para allá lo mas rápido que podía.
Caray.
Ese momento es un momento que no habíamos considerado yo
creo en el gráfico, pero que lo vamos a interpretar inmediatamente.
¿Qué es?.
Dice, era, buscamos el tiempo en que iba
para la izquierda lo más rápido que podía ¿no?
Vean ustedes ahorita los gráficos.
Si yo estoy pensando en que el coche vaya a la izquierda.
Tengo que pensar en velocidad negativa.
Tengo que pensar en decrecimiento de la gráfica de la posición ¿cierto?
en correspondencia con velocidad negativa. Pero para que
vaya lo más rápido hacia la izquierda tendría que pensar en el mínimo.
En el mínimo de la velocidad.
Fíjense dije lo más rápido y luego dije mínimo.
¿Porque? Porque en el gráfico es un mínimo ¿no?
Pero eso estaría señalando la velocidad digamos más negativa.
¿No?
O sea la velocidad o la mayor rapidez pero con un movimiento hacia la izquierda.
Entonces ese momento
tiene que ser a los seis segundos.
O sea cuando la velocidad llega a este valor mínimo ¿no?
que es el vértice en esa parábola.
Y en ese lugar tendríamos nosotros acá el dato ¿no?
de este menos 78.
Era una de las operaciones que you
habíamos hecho pero que no habíamos interpretado ¿no?
Entonces ahorita podemos traernos este dato del menos
78, que corresponde con el tiempo seis para
contestar en nuestra hoja ¿no?
O sea volvemos sobre ella y diríamos siguió hacia la
izquierda y a los t igual a seis segundos ¿no?
era cuando iba para allá lo más rápido que podía.
Estaba en ese momento en la posición ¿en cuál posición?
dijimos menos 78 metros. ¿Cierto?
y se movía a la izquierda con rapidez. con rapidez.
Entonces si nos dan la rapidez tendríamos que decir el 25 ¿se acuerdan?
25 metros por segundo.
¿De acuerdo?.
Estoy tomando en cuenta que la pregunta es sobre la rapidez
y este es el punto de el mínimo de la parábola ¿no?
que you habíamos obtenido con su signo negativo.
Claro.
Sigan, seguimos con la historia.
Dice ahí empezó a disminuir su rapidez, you quería regresarse.
Okay.
Siguió el cochecito entonces a la izquierda
pero you you no iba más rápido ¿no?
sino iba cada vez más lento ¿no? Dice, total fue a los
tantos segundos que se siguió moviendo hacia la izquierda cada vez más lento.
¿Hasta cuál segundo?
Hasta los tantos segundos siguió moviéndose hacia la izquierda.
Si volteamos otra vez a nuestro gráfico tendríamos que decir que para
que el movimiento sea a la izquierda necesito velocidad negativa.
Entonces tendría que ser aquí en el tiempo igual a 11 ¿no?
Y eso corresponde cuando el gráfico de la
posición iba decreciendo y you deja de decrecer.
O sea cuando llega su valor mínimo.
¿No?
Entonces ahorita el tiempo que debemos nosotros
de contestar es a los 11 segundos.
Es cuando you dejo de moverse hacia la izquierda.
Vamonos al papel y entonces
pondríamos que total fue hasta los t igual a 11 segundos
que se siguió moviendo hacia la izquierda cada vez más lento.
Se paró justo en la posición x igual a you
ahorita lo tengo aquí en la pantalla, menos 484 tercios.
No se si lo recuerden ese dato, ahorita que volvamos a
la pantalla si lo podemos ver acá, es justamente la coordenada ¿no?
del valor mínimo en el gráfico de la posición.
Este que se los señale como el valor mínimo es el correspondiente ¿no?
a la gráfica roja.
Correspondiente con el tiempo azul de 11. ¿Okay?
Finalmente volvemos a la historia. Dice aquí.
Dice cuando lo vimos pasar por el origen de la recta
en que se mueve eran entonces los t igual a tantos segundos.
¿Qué es lo que nos está pasando?
Este cochecito you vino por acá, pasó por el origen you
se dio su vuelta por acá, you se regresó otra vez.
Y entonces va a volver a pasar por aquí, por
el origen de la recta en que se mueve ¿no?
Andamos buscando ¿cuándo vuelve a pasar por ahí?
Si pasa por ahí entonces la posición tiene que ser cero.
Y si regresamos nosotros a nuestro gráfico estaríamos pensando en este lugar.
O sea en el lugar en donde la gráfica roja cruza
el eje horizontal que es el nueve más cuatro raíz de tres.
Siendo exactos nosotros podemos.
Vamos a poner ese tiempo en nuestra historia y entonces a los 9 más 4 raíz de
3 segundos lleva, es cuando cruza por el origen de la recta en que se mueve.
Dice y llevaba una velocidad de tantos metros por segundo.
Ese dato,
ese sí para que vean, yo no creo que lo tengamos calculado.
Vamonos a nuestra imagen.
En nuestra imagen en la computadora tendríamos nosotros que hacer ¿qué?
A ver, vamos a ver con el color que sea
pero vamos a ver qué es lo que tendríamos que hacer.
Andamos buscando la velocidad que llevaba a los t igual a 9 más 4 raíz de 3.
O sea en este instante aquí hay un dato de una velocidad.
¿Se fijan?
Es esta velocidad de aquí.
Esa velocidad se calcula con la expresión de la velocidad.
Cierto.
Lo que tendríamos que poner nosotros es 11 menos
12 por el valor nueve más 4 raíz de 3.
Ahí vamos a tener que usar nuestra calculadora acá en la iPad.
¿No?
Y entonces vamos a teclear aquí un 11 menos, luego pondríamos
un 12 que va a multiplicar, ¿a qué es lo que va a multiplicar?
a nuestro número ¿no?
nuestro número irracional que es 9 más 4 veces raíz de 3,
cerramos nuestro paréntesis. Y luego le sumamos más.
Ahí tendríamos que haber cerrado el paréntesis, adentro,
denme una oportunidad para sacar aquí el cursor ¿okay?
Y luego diríamos más y lo que pondríamos es otro paréntesis ¿verdad?
para poner nuestra cantidad que es 9 más 4 raíz de 3.
Vamos a sacar el cursor y esto lo pondríamos al cuadrado.
¿Okay?
Tengo la expresión tecleada, la expresión de la
velocidad que esta aquí solamente que en el
valor numérico 9 más 4 raíz de 3, que es el tiempo indicado hacemos una igual ¿no?
y el valor es 73 punto 5692.
¿Okay?
Este 73 punto 5692 es un punto que si lo observamos acá en la
gráfica, yo estoy volteando a cada rato viendo que sí coincide.
Vean ustedes como este punto rojo el que tenemos aquí.
Este punto rojo que you les había señalado más o menos está por el
73 ¿no?, ¿si? Entonces vamos bien, nos lo traemos acá a
nuestra hoja y entonces pondríamos aquí un 73 punto 5692.
Estaba yo pensando que si será capaz
la calculadora esta de dármelo en, este expresión.
Pues no va a poder porque seguramente no es un número racional.
¿Se fijan?
O sea ahorita no hay la opción de que me lo de como un quebrado
es que es un número irracional así
que aquí inevitablemente tuvimos que poner esto ¿no?
porque ahorita no ibamos a hacer todas esas operaciones.
Sino que nos
ayudamos de la calculadora. ¿Okay?
Entonces con esto dice y siguió
trasladándose hacia la derecha cada vez más
rápido y más rápido y más rápido hasta que se perdió de nuestra vista.
Y colorín colorado este cuento se ha acabado.
¿Qué hemos sido capaces de hacer en
todos estos videos, en todo este tiempo invertido?
Por una parte fuimos capaces de hacer una interpretación
de los gráficos. Una interpretación en un movimiento ¿okay?
la expresión que teniamos de ellos fue una función cúbica.
Tuvimos también su derivada como una función cuadrática.
Tuvimos su derivada de la derivada con una función lineal.
Así es que tuvimos ocasión de repasar
modelo lineal, modelo cuadrático y modelo cúbico.
Tuvimos ocasión de repasar también estas características que hemos
visto, estas relaciones mas bien entre la derivada y la función.
A saber que cuando alguna razón de cambio o derivada es positiva, la función crece.
Que cuando la razón de cambio es negativa la
función decrece y lo correspondiente al crecimiento de la
razón de cambio en correspondencia con la concavidad hacia
arriba de la función de la gráfica de la función.
Y el decrecimiento de la razón de cambio en relación con la concavidad
hacia abajo de la gráfica de la función o de la magnitud que estamos estudiando.
Con esto yo creo que es suficiente nos merecemos un merecido descanso ¿verdad?
porque hemos hecho bastante de álgebra, bastante de números, bastante de gráficos
que es justamente lo que nos interesa a nosotros poder compartir con ustedes.
O sea, tomar en cuenta que ahorita la tecnología nos ofrece esta posibilidad
de estar yendo del papel al gráfico ¿no?
a la calculadora a hacer los valores, los cálculos
numéricos necesarios pero siempre en coordinación con un objetivo particular.
¿Cuál es ese objetivo en el caso que hemos acabado de resolver?
Predecir el valor de una magnitud que está cambiando.
¿Cuál fue esa magnitud? La posición de nuestro cochecito rojo ¿no?
Y aquí
en este cochecito rojo ¿no? que les estoy poniendo en la pantalla
pues nos despedimos ¿no? con este, en este video dejando en ustedes
¿no? la encomienda de como una sola expresión
como x de t igual a 11 t menos 6 t cuadrada más un tercio
de t cúbica fue una expresión capaz de hacernos vivir toda
una historia ¿no?
llena de aventuras entre comillas, acerca de la historia de este cochecito rojo.
Nos vemos en el próximo video en donde retomaremos ahora nuevamente nuestro
contexto del matemático nada más. Puras Xs y Ys.
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