Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
La mejor de las cajas
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues you que hemos encontrado
estos valores en donde tendríamos, digamos, nuestra caja, mejor de todas,
yo les esperaba aquí con sus soluciones aproximadas
para que vieran donde andan esos dos valores numéricos.
Una aproximación con los tres decimales, lo
traigo aquí en la pantalla con la presentación.
Si me siguen en ella. Nosotros you hemos resuelto esta
pregunta ¿Puedes resolverla? Sí, claro que si puedo.
you la hicimos. you nos salieron.
Aquí son dos números irracionales.
La solución de esa ecuación cuadrática son números irracionales.
Los vamos a aproximar y entonces nos van a salir dos
valores que son los que están viendo aquí en la pantalla.
Espero que esto los hayan obtenido con sus tres decimales y ahora observamos
que de los dos, nos vamos a quedar con uno ¿Por qué nos vamos a quedar con uno?
Pues porque no podemos interpretar que va a haber
dos valores donde la caja tenga un volumen máximo ¿verdad?
este valor de aquí es el que se tiene que quitar.
La simple razón es, miren donde esta ¿se acuerdan en el archivo de Excel?
Esto daría valores del volumen negativos, seguramente entonces ese
va a ser el mínimo Este va a corresponder con el máximo y este con el mínimo.
Entonces aclarado el asunto, la manita nos tacha
ese valor y necesariamente será en 2.354 en aprox.
Ese valor numérico donde el volumen va a ser máximo.
Entonces nuestra función de volumen es esta, y
con esa función de volumen incluso podríamos completar
you toda la información necesaria para saber la solución del problema.
Si ustedes ven la redacción que está aquí con los blancos
por rellenar dice: “ la caja de volumen máximo tiene dimensiones
de tanto por tanto por tanto” Una de las dimensiones que you podemos decir: la
de la altura seria ese 2.354 ¿verdad?
¿Cómo sacaríamos los otros valores? ¿Cómo sacaríamos las dimensiones de
la base de la caja? Si bien recuerdan como construimos nuestra
función, ahí a lo mejor me serviría más tener esta expresión como aquel 18
menos 2x por 12 menos 2x por x, y entonces
las dimensiones de la caja serian: 18 menos
2 por 2.354 y 12 menos 2 por 2.354.
Si se hacen esas operaciones entonces vamos a poder
aquí contestar: vean, ahí pusimos el 2.354 y haya
tenemos un 7.292, un 13.292
que lo sacamos precisamente de los cálculos que les comentaba,
incluso sale un volumen máximo ¿quién sería?
que es 228.162 centimetros cúbicos.
Entonces si ahorita recordamos el archivo de Excel, hubiera sido imposible
que con el archivo de la hoja de cálculo hubiéramos encontrado ese valor.
¿Por qué?
Pues porque iba a ser un numero irracional.
Nos podemos aproximar ciertamente.
De hecho
si yo ahorita vamos a verlo por aquí, vamos a pensar que sacáramos ese archivo.
Creo que you lo había grabado justo como lo teníamos.
Si ponemos aquí el valor que nos está dando ahorita la presentación que es
2.354, entonces ¿que tendríamos? Vamos a ponerlo aquí 2.354 ¿sí?
¿Vieron el puntito que se marco acá? Es ligeramente, pero ahí queda un
poquito más arriba igual yo nunca le atine a dar ese valor numérico aquí.
Si lo hubiera puesto you después de esta grabación me iba
a comprar un boleto de lotería porque ando con muy buena suerte.
Realmente, y este es un valor aproximado ¿cierto?
Porque el valor exacto, la solución exacta es cuando la X es igual a
5 menos raíz de 7, que es un numero irracional con todas las de la ley ¿okay?
Bueno pero igual, estamos haciendo también comparaciones
entre lo teórico y lo práctico, ¿no?
para que vean también la importancia de la teoría que como
les he dicho, su fundamentación, esa parte teórica de la matemática
a veces no es del todo simple ¿no?
pero igual, eso no hace que no podamos aplicar la matemática,
cuando la aplicamos, teniendo contextos reales que nos permiten entender ¿no?
el porqué de las cosas.
Entonces ahorita you, bueno me había regresado a
este archivo por eso, regreso a la presentación.
Tenemos nuestras respuestas aquí aproximadas,
pero me quede con las ganas de mostrarles con el tipo ¿no?
de calculadoras a las que tenemos ahora acceso,
que podemos hacer los cálculos de manera exacta.
Entonces si me acompañan aquí, acuérdense que teníamos en las operaciones
algebraicas acá el cálculo de los números en donde estaba el máximo y el mínimo.
Uno de ellos es el del
2, el otro es el del 7 punto y algo. ¿Se acuerdan?
Bueno you sabemos que el máximo de la
caja, el máximo volumen va a ser con cinco.
¿Qué fue?
Menos raíz de 7, que este da el 2 y el otro, aca lo estoy viendo, 2.354 ¿okay?
en esta calculadora también podríamos
hacer la operación, en esta les enseñaba
en otras veces que me encanta como podemos hacer las operaciones tipo,
digamos, primaria ¿no? y tengo la expresión escrita completamente
con el numero irracional y entonces tecleo un 4 por 5 menos raiz de 7 al cubo
menos 60x por 5 menos raíz de 7 al cuadrado más 216x por 5 menos raíz
de 7 y el calculo que me da es 228 miren cuantas
cifras decimales me dio. Ni siquiera me está dando el valor
numérico exacto. La respuesta es irracional y la maquina la
corto, pero esta aproximación que me está dando el software es
mejor que la que nosotros obtuvimos cuando en lugar de usar el
numero 5 menos raiz de 7 pusimos el numero 2.354
¿no sé si me explique? Ósea, mi comentario es a favor de,
en la medida de lo posible, utilizar las cantidades exactas matemáticas ¿no?
No cortar aquí.
Porque este software tiene esa capacidad.
Tiene la capacidad de que yo pueda meter las cantidades en su forma como es exacta,
irracional, y que cuando las cálculo, la maquina, bueno cuando las calcula
la maquina, usa la mejor aproximación que tiene ella para ese número.
Y entonces puedo estar segura que este
valor numérico es una mejor aproximación que la
que yo pude haber calculado metiendo un 2.354 para aproximar a 5 menos raíz de 7.
Ese era mi
comentario, ¿no?
a favor de utilizar estos recursos, aun y cuando salgan números irracionales.
Los números irracionales, también ahora gracias
a la tecnología son bien tratables ¿no?
Bueno, ahorita entonces you tenemos la solución de nuestra
caja, yo quería volver, si me permiten, para que
viéramos una imagen, una imagen no como la que
produjimos nosotros, sino como la que un software como
Graphmática nos puede dar.
Siempre tendremos también esta oportunidad.
Vean lo que yo quiero hacer ahorita con ustedes es, pues traerme la función, la
que conocemos aquí, la que construimos aquí para graficarla.
En este momento, es una función cúbica, quisiera que también viéramos
ahí su derivada para recordar las otras cosas que hemos aprendido.
Entonces usando un software
como Graphmática vamos a tener la oportunidad también de ver una
version grafica, visual de lo que hemos estado haciendo con esta caja.
you teclee aquí y igual a 4x cúbica menos 60x cuadrada
más 216x que es la función que construimos para nuestra caja.
La teclee no como las multiplicaciones, si no
you habiendo hecho la multiplicación de los binomios.
Entonces le damos aquí a Graphmática que nos
dibuje la grafica y zaz, esto es lo que nos ofrece.
Si ustedes ven eso por primera vez dirían: bueno pero ¿Qué es esto?
¿Dos rectas paralelas o qué?
Realmente ahorita ver esa grafica en plenitud
seria tener el otro conocimiento que you hemos generado, ¿no?
¿Qué podríamos hacer? Pues ser un poco más asertivos en la zona
en donde veamos.
Vamos a poner esta opción de Grid Range que you les había yo mostrado Digámosle
que nos la grafica desde el menos 4 hasta el, pues vamos a ponerle hasta el 10.
Pero aquí lo importante pienso yo, es la zona vertical.
Porque si ustedes recuerdan de los datos que
tenemos acá, nuestro volumen llevo a 228 ¿se acuerdan?
Y este era el volumen máximo, o sea, nuestra zona acá tiene que
llegar hasta el 228. Entonces ¿qué les parece si aquí le
ponemos, que se yo, desde Bottom pongamos unos menos 100, haber si
no nos queda muy mal, y aquí pongamos unos 340 ¿si?
Estoy tratando de ver una ventana más amplia aunque me la va a hacer
reducida para que quepa la curva, pero bueno, esta es una mejor imagen ¿no?
Vean ustedes como nuestra función, la que vemos cuando estamos con la caja, sería
la parte de la grafica que nos da Graphmática pero acotada entre 0 y 6.
Sería esta parte de aquí, y aquí estaría
nuestro valor máximo ciertamente, acá había este valor
mínimo que este ha de ser el 7 punto
y algo que nos había salido y ahorita en presencia
de Graphmatica podemos decirle: deriva por favor y aquí
tenemos nuestra imagen que you hemos compartido antes, cuando visualizamos
la relación entre una función y su derivada Vean
ustedes como aquí, este ha de ser el 5 menos
raíz de 7 donde se tiene el máximo y este es el 5 más raíz de 7 donde se tiene
el valor mínimo de la función.
Claro que este no intervino cuando
estábamos haciendo la interpretación de la caja.
Bien, pues con esto, el problema de la caja de
esta caja con este cartón de 18 por 12 está resuelto.
you sabemos cómo construir la caja de volumen máximo.
Me van a decir ustedes: si you te quiero ver recortar los cuadritos
de 5 menos raíz de 7 centímetros. Tienen toda la razón.
Ahí es en donde les digo, es este ir y venir entre la
teoría y la práctica, pero estemos conscientes
de que el valor numérico, digamos, que
podamos usar, será una aproximación, ciertamente,
pero una aproximación que nos va a
dar, digamos, la solución en ese sentido, de tener una caja con volumen máximo.
Ahora por otro lado, me van a decir también: “no necesariamente
lo que importa es que una caja tenga el volumen máximo” o sea,
realmente, a lo mejor son otras las condiciones que se requieren, es cierto.
O sea hay solamente, esto es una ilustración del
tipo de problemas que el cálculo puede resolver ¿no?
con ayuda de la derivada o la razón
de cambio de la magnitud, donde la magnitud que
se estudio ahorita, el volumen de la caja, no
fue algo que se construyó a partir de su
razón de cambio, como lo hemos hecho en el contexto del movimiento.
Pero que si fue posible en su gráfica del
volumen ver como el volumen varía con respecto a
la longitud de x de lado y al hacer
esa variación, es como pensar en el tiempo ¿no?
Es meter esta dinámica dentro del análisis del
problema, y entonces al ver una gráfica que está
creciendo y decreciendo con respeto a una x que esta avanzando,
entonces en ese momento, ese movimiento puede venir a nuestra cabeza
recordándonos la importancia de la razón de cambio, de la magnitud,
o sea de la velocidad en el contexto de la posición.
Yo los voy a dejar en este video con una
cuestión que quiero que acabemos de resolver en el próximo.
No acabemos aun con las cajas.
Porque ahora que estábamos viendo estas cajas de Internet déjenme les
enseño algo y donde los voy a dejar para la próxima ocasión.
Vean ustedes, busquen las cajas estas que veíamos en las imágenes de Google
estábamos viendo distintas formas pero cuando vi esta, esta
me pareció algo importante porque tiene si se fijan una base cuadrada,
esta también, esta también se ve con base cuadrada,
o sea como que es un caso particular ¿no?
Esta también y en el momento en el que vi ¿Cual vi?
Se me hace que esa es de esas que tiene que ver ahí, quien sabe.
¡ESTA! you cuando vi esta, you me dio hambre, o
sea, es una típica caja de pizza ¿cierto?
Entonces me preguntaba yo a mi misma, ¿Por qué no pensar en optimizar
la caja pero pensando en que se formara una caja con base cuadrada ¿no?
Entonces esa es la pregunta con la que yo los quiero dejar en este video.
O sea, pensemos en una caja de pizza, pero no pensemos en la caja completa con su
tapadera, o sea pensemos solamente que se va a fabricar esa caja sin tapa ¿si?
Y entonces
pensemos que la vamos a obtener de un material como como
nuestro cartón de hace rato pero va a ser un material cuadrado.
¿Okay?
Entonces ¿Cuál sería la pregunta con la que
los voy a dejar entonces en este momento?
Construyan la función, quieren darle dimensiones, denle las dimensiones
que quieran pero piensen que tienen ahora un cartón cuadrado,
y que con ese cartón cuadrado van a cortar los cuatro cuadritos en las
esquinas, para producir, al mover las cejas,
una caja de cierta altura pero que tiene una base cuadrada.
Esa base cuadrada va a quedar cuadrada porque así era el cartón al principio, si
le corto lo mismo en las cuatro esquinas tiene que quedar cuadrado lo de la base
de la caja.
Entonces el problema va a ser ahora: encuentra la caja ¿no?
que encierra el mayor volumen.
Con esa condición ahora, con esa variante de
que el cartón original era un cartón cuadrado.
Si les parece, entonces los dejo pensando un ratito sobre esto y en el
siguiente video, volveremos con la solución de
esta caja, que, seguramente en las pizzas no
escogen las de mayor volumen, la mera verdad no creo
que sea la solución que hagan en ese sentido ¿no?
Pero nosotros sí.
Busquemos esa caja, porque luego yo me quede pensando: ¿será posible
que la caja de volumen máximo va a ser un cubo?
¿Será posible que el área que me quede acá abajo
va a ser la misma que el área de acá arriba?
Les dejo con la pregunta y nos
vemos en el próximo video.
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