Pues volvemos ahora con nuestras ecuaciones cúbicas.
Recuerden cuando comenzamos a estudiar estas ecuaciones cúbicas
vimos que las cosas pueden ser muy complicadas, pero
a la vez también pueden ser muy simples
porque hemos estado considerando algunas ecuaciones cúbicas en particular.
Yo me vine preparada.
Aquí you traigo mi libreta donde
habíamos estado haciendo las operaciones anteriores,
entonces no me va a dejar mentir mi libreta.
Vean ustedes cómo tomamos esta ecuación cúbica tan larga pero lo que
hicimos fue considerar que la b y que la c fueran cero.
En ese sentido la hicimos sencilla.
Esta es simple esta ecuación cubica. De hecho pusimos un ejemplo.
Y un ejemplo que resulta también bonito en el sentido
de que la salu, la solución sale como un numero racional.
Acuérdense ustedes de que lo que hicimos fue un despeje nada mas.
Nos salió el valor de x igual a menos un medio.
Les estaba yo recordando que en el teorema fundamental del álgebra nos decía ¿no?
de que, o nos dice que esta ecuación tiene que tener tres soluciones.
Sin embargo ahorita hemos obtenido una.
Nos quedamos con la pregunta de las otras dos.
¿Okay? En ese sentido fue que nos pasamos
a la otra hoja y lo que les recordé yo aquí fue la división de polinómios.
En esta expresión de ocho x cúbica más uno igual a
cero sabiendo que x es igual a menos un medio es una
solución, pusimos el factor x más un medio como un factor sobre
el cual vamos a dividir la expresión ocho x cúbica más uno.
Hicimos nuestra
división de polinómios, hicimos un recordatorio de esto, llegamos al residuo
cero y llegamos entonces a la expresión que hace falta aquí.
A ese algo que multiplicado con esto nos da la expresión original.
Esa expresión la tengo en esta otra página.
Y en el momento en que encontré aquí un dos
que era factorizable yo dije no lo puedo dejar sin factorizar.
Este dos lo multiplicamos con el término
x más un medio y entonces nos quedó
you nuestra expresión como la estamos viendo ahora.
Esta expresión, ésta que les estoy ahorita remarcando.
Es una expresión que en cierta forma es
aplicación de la fórmula que tengo acá abajo.
La fórmula que tengo aquí abajo se llama suma de cubos.
Esta expresión es muy típica en el algebra que se estudie.
A lo mejor ustedes
you la traían en su cabeza, a lo mejor no.
Igual pueden encontrarla en cualquier momento en Internet seguramente, y
yo estaba ahí recordándoles como esta sería una aplicación en
el sentido de que veríamos que la letra a es dos x y que la letra b es un uno.
Y entonces aquí tendríamos el cuadrado de la a
menos a por b más el cuadrado de la b.
Para repasar estas
cuestiones yo me propongo en este video voltear la hoja y
que hagamos lo mismo y vamos a adelantar un poco más también.
O sea no crean que nada más es repetición de lo mismo.
Pero ahora vamos a tomar una expresión con el signo negativo.
Vamos a poner aquí ocho x cúbica menos uno igual con cero.
¿Okay?
Entonces vamos a volver a hacer aquí
la operación que hicimos con anterioridad que significaría,
bueno, pues despejar. ¿No?
Aquí fácilmente digo, paso este menos uno del otro lado, entonces
me va a quedar ocho x cúbica es igual a uno.
x cúbica es igual a un octavo porque el ocho estaba multiplicando.
Finalmente x va a ser la raiz, you lo habíamos dicho cúbica de un octavo.
Les había yo recordado también que cuando tenemos los radicales tenemos la
ventaja de poder decir raíz cúbica de uno arriba en el
numerador y raíz cúbica de ocho abajo en el denominador y
aquí está la prueba de que mi ejercicio estuvo tan, pero
tan bien inventado que me sale aquí una solución muy bonita ¿no?
Me sale un medio.
¿Okay?
En este caso tuvimos una solución racional que no es lo común.
¿Okay?
Entonces, una vez que tenemos
esta solución podríamos nosotros decir que el factor x
menos un medio es un factor de la expresión
ocho x cúbica menos uno. ¿Qué quiere decir que sea un factor?.
Bueno pues entre otras cosas sería que ocho x cúbica menos uno
lo vamos a poder escribir como x menos un medio por algo,
¿no?
Y este algo que tenemos aquí es un algo que
vamos a poder nosotros encontrar si hacemos nuestra división de polinómios.
Entonces eso es lo que vamos a hacer justo ahorita.
Fíjense como si yo despejo ¿no?
este algo, ese algo va a ser ocho x cúbica menos uno entre x menos un medio.
Entonces vamos a hacerlo acá en la
siguiente hoja porque sobre ella también quiero
recordarles otro procedimiento adicional. Entonces vamos a hacer la división de ocho
x cúbica menos uno entre x menos un medio.
Recuerden que lo que hacemos es tomar ocho x cúbica,
dividirlo entre x, lo cual nos da ocho x cuadrada.
Vamos a poner aquí ocho x cuadrada por x.
Nos regresamos, da ocho x cúbica, ponemos el signo negativo
en nuestro procedimiento.
Después ¿qué nos quedaría, ocho x cuadrada por
menos un medio que sería un menos cuatro
x cuadrada y ese menos cuatro x cuadrada
le cambiamos el signo a más cuatro x cuadrada.
Haciendo aquí la operación, estos dos se van a cancelar.
Aquí nos quedaría cuatro x cuadrada menos uno.
Seguimos en nuestra operación, ahora dividimos cuatro x cuadrada
entre x, nos va a quedar más cuatro x.
Cuatro x por x da cuatro x cuadrada, cambiamos signo.
Cuatro x por menos un medio quedaría menos dos x cambiamos signo a más dos x.
Hacemos nuestra operación otra vez, nos queda dos x menos uno.
Entre x nos va a quedar aquí un más dos. Dos por x son dos x, quedaría negativo x.
Dos por menos un medio quedaría menos uno par la resta más uno y zas.
you llegamos al cero.
¿Okay?
En este momento hemos encontrado aquí lo que sería el algo ¿no?
¿se acuerdan lo que decía acá en esta hoja?
Este algo que nos estaba faltando para que multiplicado por
x menos un medio de ocho x cúbica menos uno.
¿Okay?
Bien. En este momento y en este video yo quería
recordarles un método que se llama división sintética,
que probablemente ustedes you lo conocen, probablemente no.
Es, digamos, como el nombre lo dice, es
una división de polinómios pero de manera sintética.
O sea lo que uno hace es poner los coeficientes
de la ecuación cúbica, que en este caso son el ocho.
Después seguiría, vean que aquí
no hay un cuadrado, eso quiere decir que hay un cero.
Un cero por x cuadrada.
Después no tengo un término lineal multiplicado por x,
eso quiere decir que hay un cero por x.
¿Okay?
y finalmente tengo un menos uno. ¿Si?
O sea ¿qué es lo que hice aquí?
Fue escribir el ocho x al cubo más cero x cuadrada más cero x menos uno.
O sea la misma expresión que tengo aquí en la división.
¿No?
lo que voy a dividir entre x menos un medio.
Después lo que se hace es bajar, bueno poner aquí la solución, la raíz ¿no?
que estamos encontrando que en nuestro caso es el un medio.
Bajamos este coeficiente ocho y les digo esta
es una manera sintética de hacer este mismo procedimiento.
Hacemos una multiplicación. ¿Cuál multiplicación?
Es ocho por un medio nos va a quedar un cuatro que colocamos aquí.
Este cuatro más cero se suman, nos va a dar un cuatro ¿si?
Cuatro por un medio.
Repetimos la acción, nos queda un dos que ponemos aquí.
Cero más dos nos queda un dos ¿okay? Dos por un medio me va a quedar uno.
Y menos uno más uno me va a dar un cero.
En este momento este cero que esta aquí me esta certificando que x
igual a un medio es solución de la ecuación que tenemos aquí.
¿Okay?
Y vean ustedes como aquí los coeficientes que nos quedaron justamente son, ocho
que es el ocho que tenemos acá. Cuatro, que es el cuatro que tenemos acá.
Y dos, que es el dos que tenemos acá.
O sea en cierta forma esta división sintética you nos dice aquí quién es el
algo que nos estaba haciendo falta cuando x
menos un medio lo tomamos como el factor.
Entonces tendríamos ocho x cuadrada más cuatro x mas dos ¿verdad?
igual a cero sería el otro factor. Entonces finalmente hemos logrado
nosotros que ocho x cúbica menos uno se escriba ¿cómo qué?
Como x menos un medio por ocho x cuadrada más cuatro x más dos.
¿Cierto?
Inevi, inevitablemente yo como matemática, no voy a decir
este ocho, este cuatro y este dos por favor.
Ahí hay un dos de factor que podemos sacar.
Y nos va a quedar entonces x menos un medio por dos que multiplica a cuatro x
cuadrada más dos x más uno y finalmente podríamos hacer esta multiplicación
de este dos por x y por menos un medio y lo que obtenemos
entonces es que la expresión de ocho x cúbica menos uno, vamos a escribirla acá.
Ocho x cúbica menos uno es
igual a dos x menos uno por x cuadrada. you me iba
a equivocar. Cuatro x cuadrada más dos x más uno.
¿No? Cuatro x cuadrada más dos x más uno.
Okay. Tenemos factorizada nuestra expresión.
¿Okay?
Eso quiere decir que esto, cuando nosotros igualamos a cero esta expresión estaríamos
sacando las soluciones a esta ecuación cúbica.
Estando esta ecuación cúbica factorizada de esta manera podemos aplicar nuestra
alternativa y decir o esto es cero o esto es cero ¿no?
Cuando hacemos esto pues estamos regresándonos.
O sea estamos llegando a la solución un medio que habíamos sacado desde el
principio y por otro lado cuando estamos haciendo esto igual a cero
estaríamos obteniendo nosotros las otras dos soluciones ¿no?,
de la ecuación cúbica que nos estaban haciendo falta.
Recuerden, el teorema fundamental del álgebra nos dice aquí hay tres soluciones.
Pero ese tres soluciones está ¿en dónde? en el conjunto de los número complejos.
¿No? o los reales, pudieran ser reales.
you nos salió una solución.
Esta solución es real y es más aparte de real,
puedo decir es racional. ¿No?
Es el cociente de dos enteros.
Es una solución muy bonita.
Su expansión decimal es finita o bueno a lo más es periódica.
Pero en este caso es un punto cinco, es finita ¿no?
Y en el caso de esta ecuación cuadrática tenemos todavía ¿no?
que resolverla, y al resolverla vamos a tener que
sacar el discriminante, es más ahorita se me ocurría.
¿Qué tal si vemos el discriminante
de una vez? ¿El discriminante sería qué?
¿b cuadrada?
Vean ustedes que aquí esta la b ¿si?, vamos a poner aquí
esta es nuestra b esta es nuestra a, esta es nuestra c ¿cierto?
y entonces sería b cuadrada menos cuatro a c, lo
que esta dentro del radical cuanto tenemos la fórmula general.
Y nos daría esto un cuatro menos cuatro por cuatro por uno que a todas luces
es un número negativo ¿no? Menos 12.
O sea este número menos 12 del discriminante you nos está diciendo que
las soluciones son dos soluciones pero que son complejas.
¿Okay? ¿De acuerdo?
En ese sentido you estaríamos nosotros seguros de que las
soluciones dos son complejas y una es una solución real.
¿Cómo se vería esto gráficamente? Para decir gráficamente you me estoy
atreviendo con ustedes a decir, voy a llamarle y a ocho x cúbica menos uno.
¿Si?
Si le llamamos y a ocho x cúbica menos
uno, lo que tenemos ahora es una función cúbica.
Y entonces tiene su gráfica.
Y el hecho de que nosotros hayamos
igualado aquí a cero quiere decir que estamos
viendo cuándo la y es igual a cero.
Entonces eso es lo que tendrá una interpretación gráfica.
Si me permiten aquí vamos a escribir esta ecuación en nuestra graficadora.
Entonces vamos a poner ocho x al cubo menos uno y
entonces le pedimos que nos la grafique en un color rojo.
Aquí va a estar en color rojo y vean ustedes la curva.
La curva que tenemos sí nos quedó en una ventana media cómoda ¿no?
Ahí se ve que hay una intersección con el eje x justo en el un medio ¿se fijan?
eso es justamente lo que nos salió aquí ¿no?
Donde decíamos x igual a un medio aquí esta, es
justamente vean ahí you salió el punto cinco ¿de acuerdo?
Y esta gráfica you no va a volver a cortar el
eje donde quiera que la vea, voy a verla desde muy lejos.
Vean ustedes no vuelve.
No vuelve al eje horizontal. ¿Si?
Eso me esta diciendo que las
otras soluciones eran las soluciones imaginarias.
¿Que está pasando entonces con este tipo de funciones?
Cuando la soluciónes aquí son imaginarias en la parte ¿no?
que queda en este algo que faltaba eso nos va a estar diciendo que
nuestro gráfico de la cúbica va a cortar una sola vez el eje x.
¿No?
Y esto va a pasar en cualquier función que pongamos de esta manera.
Fíjense, vamos ahorita a jugar un poco en este minuto que nos queda
y piensen ustedes que pusiéramos un ¿qué?, no tengo que pensar en números bonitos.
Es un nueve punto siete
x al cubo, vamos a ponerle así x al cubo.
Vamos a poner igual un menos siete punto cuatro.
¿No?
La vamos a salvar y le decimos que nos la grafique.
Va a estar graficada en un tono azul.
Vean ustedes la gráfica azul y aquí tenemos otra
vez el lugar en donde intersecta el eje horizontal.
Que este lugar sea un número real estamos segurisimos.
Que sea racional o que sea irracional eso es lo que esáa por verse ¿no?
¿Qué tendríamos que hacer para saber si es o no es racional?
pues tendríamos que igualar a cero nuestra ecuación.
En tono azul ¿no?
Pero igual eso mismo ¿no?, nos va a
hacer que este resolvamos una ecuación cúbica nuevamente.
La ecuación cúbica igualita a la que
teníamos nosotros en un principio pero con números
un poquito más complicados.
Yo pienso que con esto es suficiente por ahora.
Me gustaría que nos quedáramos con esta idea de que estamos viendo
ahorita funciones cúbicas que son de la forma a x cúbica más b.
¿No.
O sea es una función cúbica muy sencilla que tiene dos términos.
El cúbico y que tiene el término digamos solo ¿no?
que no tiene a la variable.
Que veamos que esas gráficas son muy simples siempre
serán cosas que cruzan el eje horizontal una sola vez.
Que siempre vamos a encontrar en ellas ejemplares de ecuaciones
cúbicas que tienen dos soluciones imaginarias y una solución real.
Yo los invito en el siguiente video en donde vamos a tratar ahora con otro tipo
de funciones cúbicas. Acuérdense el propósito ahorita es que
vayamos viendo poco a poco casos de funciones cúbicas que nos lleven
finalmente al caso más general. Los veo en el próximo video entonces.
