Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Sumamos las fórmulas
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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From the lesson
Concebimos un movimiento diferente
Hablaremos del Modelo Cúbico construido a partir del Modelo Cuadrático. Retomaremos la situación real de movimiento en línea recta creando un movimiento en el que no hay cambio de sentido. Transitaremos al contexto real de llenado de tanques para dar significado a la función cúbica y a su derivada.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Volvemos entonces ahora con nuestro nuevo aprendizaje
you de como derivar una función cúbica, del tipo que k por x al cubo.
¿No?.
La derivada de k por x al cubo es bajamos el tres
dejamos la k y a la x la dejamos al cuadrado ¿no?.
Eso es algo que you sabíamos también con
el modelo cuadrático y con el modelo lineal.
Bueno,
entonces ahora vamos a regresarnos a otro contexto.
Vamonos al contexto de los tanques.
¿Porque los tanques?
porque los tanques son, digamos, especiales
para poner a funcionar este pensamiento en
términos de lo que ocurre gracias a la al involucrar diferentes llaves ¿no?.
Entonces si me acompañan en la imagen O sea, vamos
a juntar la información que you tenemos, O sea vamos
a pensar ahorita que tengamos unas 3 llaves en este tanque.
Que este tanque originalmente tenga un cierto nivel, vamos a suponer que
fuera un nivel inicial de unos ¿que será?, de unos 15 centímetros.
Digamos que estas llaves están actuando dos arriba y 1 abajo.
Las dos de arriba vamos a ponerles un distinto comportamiento.
Vamos a pensar
que esta llave, la llave número uno. Esta llave, vamos a decir que esta
haciendo que el nivel suba dos centímetros cada segundo, vamos a poner segundo.
Entonces estoy asociándole una razón de cambio al nivel.
Que esta dada por dos centímetros por segundo.
Este tipo de llave, sería una llave como
decíamos que esta haciendo que el nivel suba uniformemente ¿no?
Hay un cambio uniforme aquí.
¿Okay?.
Cada segundo el nivel sube 2 centímetros. ¿Okey?
Es una llave que estaría eternamente haciendo
que caiga la misma cantidad de agua.
Por otra parte tendríamos acá otra llave ¿no?.
Esta llave de acá.
Vamos a cambiar aquí el color, vamos a suponer que en esta llave tenmos
la situación de que es una razón de cambio en donde
interviene un factor cuatro en la expresión
además de una t. O sea que estaría yo diciendo con esto.
Estaría yo diciendo que en este caso, esta llave
se va a estar abriendo en el tiempo cero.
Vale cero la razón de cambio. Pero a medida
que pasa el tiempo, esta llave va a hacer que entre mas cantidad de agua ¿no?.
Entonces el nivel estaría subiendo cada vez mas rápido por la razón de ella ¿no?.
O sea esto estaría marcándome un cambio uniformemente acelerado.
¿Cierto?.
Porque aquí tendríamos este número que sería la
razón de cambio de esta razón de cambio.
Esta razón de cambio de la razón de cambio es constante ¿no?.
Sería el número 4. ¿Okey?.
Finalmente tenemos acá una tercera llave, vamos a ponerle ahora este tono negro.
Esta tercera llave va a hacer que la razón de cambio ¿si?
tenga que ser negativa ¿porque?, porque esta abajo la llave.
O sea tiene que hacer que el nivel disminuya ¿no?.
Entonces vamos ponerle un menos.
¿si? por el caso de que va a disminuir
y un tres por un t cuadrada. O sea ahora estamos poniendo una
nueva llave que tiene es factor t cuadrada, este cuadrado que esta aquí,
ahora me esta diciendo que esta saliendo agua cada vez mas rápido ¿no?.
Cada vez mas rápido, pasa el tiempo y esto empieza a crecer y crece ¿no?.
Hasta da la impresión de que el tanque se vaya a vaciar.
¿Okey?.
Bueno, en este video
lo que quiero es que pongamos nosotros atención.
En que estamos haciendo como una composición.
¿No? de lo que pasa en las tres llaves.
O sea realmente el nivel se va a ver afectado por las tres llaves.
O sea si lo pusiéramos en términos de la función del nivel, vamos a poner h de t.
Este nivel que tendríamos sería, bueno pues, el nivel inicial que tenemos.
Y luego que va a pasar.
Por culpa, vamos a decir, de la llave ¿no?, que tiene una razón de cambio ¿no?
como esta, azul o sea constante ¿si?. Por culpa de esa llave
va a haber una aportación ¿no?, en la altura del nivel, va a subir.
¿Cuanto va a subir? dos t.
O sea, esta sería como la antiderivada de esto o bien,
esta es la función cuya derivada es el dos.
¿Okey?.
Pero este nivel de agua no nadamas esta siendo afectado por esa llave.
O sea también hay una llave verde.
Esa llave verde con una razón de cambio también verde ¿no?.
Como esta, me esta diciendo que esta llave va a hacer que el nivel aumente.
¿No?.
Y ¿cuanto va a aumentar?. Bueno,
este factor cuatro cuatro t, tengo que verlo
como la razón de cambio que pongamos aquí.
O sea lo que pongamos aquí es un término
cuya derivada o cuya razón de cambio es cuatro t.
Como hemos aprendido a construir este término.
Con una cierta algoritmia también si no lo han pensado así directo piensen
en poner el cuatro y en lugar de la t ponemos t cuadrada
entre dos. ¿Okey?.
Finalmente que nos va a pasar.
Bueno aquí vamos a poder cancelar este cuatro con dos pero luego lo hacemos ¿si?.
Ahorita nos faltaría hacer el aporte de la tercera llave.
Esta tercer llave que esta desalojando agua, con esta razón de cambio negra.
¿Si?.
Que esta actuando conforme un modelo cuadrático ¿okey?.
En este
momento tendríamos que poner aquí un signo negativo en nuestra función.
Este signo negativo nos estaría diciendo que va
a haber una disminución en el nivel ¿de cuanto?.
Pondríamos nosotros nuestro número tres.
¿Verdad?
como esta este coeficiente aquí y después para el término t cuadrada
pues, hacemos lo que you hemos construido acá ¿no?, en el papel.
O sea you sabemos
que el término correspondiente aquí va a ser t cúbica sobre tres.
¿Okey?, eso es lo que you teníamos
nosotros ganado cuando estábamos construyendo nuestras funciones.
Entonces, en el video pasado justamente ¿no?.
Entonces you estando construida esta función me gustaría
que hagamos la simplificaciones que son aquí convenientes.
15 mas dos t mas
dos t cuadrada menos t al cubo. ¿Okey?.
15 mas dos t mas dos t cuadrada menos t al cubo.
Esta sería la función que nos calcula el nivel de agua
en el tanque ¿no?. Ahorita, podríamos hacer esta
función, digamos como la magnitud del personaje, la magnitud
que nos interesa estudiar.
En matemáticas esa magnitud que interesa estudiar es
lo que lleva a la idea de función.
O sea la función matemática va a ser la que esta aquí representada con
este nivel de agua ¿no?. Entonces si hacemos ahorita este cambio al
contexto matemático estaríamos entonces nosotros hablando de una cierta función
y igual a f de x que esta dada por 15
mas dos x mas dos x cuadrada
menos x al cubo ¿no?. ¿si?.
Y esa función es una función tal que su derivada esta dada por ¿que?.
Fíjense ahorita si lo hacemos con nuestra mecánica o sea diríamos este
15 que es algo constante, la derivada, la razón de cambio va a ser cero.
Este mas dos x, su derivada sería solamente el coeficiente dos.
Este mas dos por x al cuadrado bajaríamos este dos multiplicando al
dos nos va a dar un cuatro y la x quedaría a
la uno.
Quedaría mas cuatro x y este menos x cúbica que lo que hemos aprendido you
últimamente, bajamos el tres y nos quedaría menos tres x cuadrada ¿no?.
Esta función derivada es justamente la que hubiéramos construido
acá con estas tres aportaciones de las llaves ¿no?
o sea aquí tendríamos una razón de cambio conjunta que sería igual a dos mas cuatro
t menos tres t cuadrada y para esta razón de cambio en correspondencia tendríamos
esta función del nivel del agua ¿no? la que tenemos justo aquí.
O sea entonces nuevamente vean ustedes como llevamos a estos dos procesos.
Un proceso es el que me lleva de aquí a acá, de aquí a acá que es el proceso
que le hemos llamado derivo ¿no?. O sea esa sería una manera
de llegar a esta función ¿no? a partir de la función original aquí
derivo pero también puedo accionar el proceso al otro lado, o
sea puedo pensar en irme de aquí para acá. Y en
ese caso diría anti derivo ¿no?.
Anti derivo.
Estos procesos mecánicos algorítmicos tienen cierta manera de hacerse.
Esa manera hay que respetarla nadamas, hay que ejercitarla.
Pero estarían conectando a las dos funciones.
Sabemos que esta derivada, o sea la derivada es
la que nos va a informar como es esta función.
Sabemos que esta función, la función tiene
intrínsecamente la información que tiene la derivada ¿no?.
Me gustaría que en este caso, ahorita sin hacernos las preguntas
directamente vayamos a un software y you que lo tenemos ahorita
con x y y pues veamos un software que grafique funciones con x y ys.
Volvemos a gramática, si les parece y entonces
aquí en gramática vamos a poner nuestra función.
Déjenme hacer el espacio así para que podamos ver nuestras funciones acá.
Voy a ampliar la página.
Okey y entonces ahí tenemos nuestras dos funciones, tenemos
a gramática vamos a copiar ¿no?. Que vamos a poner
aquí y igual a 15 mas dos x
mas dos veces x al cuadrado
menos ¿donde esta el menos? aquí menos x al cubo.
¿Okey?.
Entonces esta la función no le voy a teclear la derivada
porque la derivada la va a hacer gramática por nosotros ¿no?
la gráfica y entonces you.
Le damos una gráfica.
Tenemos esta que esta aquí o sea nada ¿verdad?, no se ve nada aquí.
Vamos a hacer ahorita un zoom out y vean lo que pasó.
Con este zoom out you creo que podemos entender algunas cosas ¿no?.
O sea podríamos incluso hacer uso de nuestro Grid Range
y decirle déjanos ver mejor puros positivos.
Vamos a ponerle desde el menos dos aquí y en lugar del 24 pongamos el
20 del lado derecho y en los valores negativos de
la y aquí este menos 19 les propongo que pongamos un menos 2
que al cabo no nos interesa que sean valores negativos del del nivel
del agua ¿no?
y entonces vamos a ver si si me lo toma bien si.
Parece que si me lo tomó bien, de hecho hasta me gustaría me gustaría
darle aquí un poquito mas de chanza en el top, vamos a ponerle un 25.
Para ver un poquito mas la gráfica. Que les parece de esta manera.
Vista de esta manera, aquí esta nuestra gráfica de nuestra
función y ahorita automáticamente le decimos deriva y entonces al derivar
nos va a encontrar una gráfica, nos la puso acá en tonos rojos.
¿Se fijan?
O sea vamos a tener nuestra función y nuestra derivada.
Los gráficos están aquí ¿okey?
y podemos observar algunas cosas. ¿Que podemos observar?.
Podemos observar que el nivel del agua
va a aumentar ¿no? y después va a disminuir.
Ciertamente lo que intuía va a ser cierto.
Se va a acabar vaciando este este tanque ¿no?.
¿Cierto?.
Pero ahora esta idea de que el nivel sube y baja hasta que se vacía
podemos nosotros redondearla mucho mas al profundizar
con la información que nos permite encontrar nuestra
función derivada ¿no? y nuestra función original.
O sea que tendríamos que hacer, fíjense, que tendríamos que hacer para encontrar.
Por ejemplo, este valor máximo al que llegó el nivel del agua.
Que tendríamos que hacer para nosotros encontrar este lugar
que esta aquí donde se vació el tanque ¿no?.
Que tendríamos que hacer nosotros
para saber si el nivel estaba subiendo cada vez mas lento y
luego baja cada vez mas rápido. O si hay una variante.
Habrá un momento en el que el nivel este subiendo cada
vez mas rápido o será que siempre subió cada vez mas lento.
Las preguntas que yo les estoy haciendo ahorita
son preguntas que tienen que ver con el punto
máximo de la función, déjenme ver si lo
puedo apuntar acá haber si me deja todavía aquí.
Esto, accionar, si.
Si estoy haciendo preguntas con respecto al máximo de
la función del nivel que esta por allí ¿si?.
O sea sería el punto que esta aquí en el cursor.
Este punto máximo vean ustedes voy a bajar el cursor vean como llega aquí
a este punto donde esta la derivada cortando
el eje x y pasando de valores positivos a negativos.
Como nos pasaba en el modelo cuadrático aunque halla esto era una recta ¿no?.
Un máximo de la función lo tenemos que relacionar con un
corte con el eje horizontal de la derivada ¿cierto?.
Por otra parte aquí en el gráfico de la función nivel se ve que tiene
que ver un cambio en la concavidad ¿no?. Bueno.
Se ve, yo you lo estoy viendo, pero porque realmente lo estoy visualizando ¿porque?
porque estoy viendo y conectando con el gráfico de la derivada.
Vean aquí como la derivada creció y luego decreció.
Al crecer y luego
decrecer me esta diciendo ¿no?
que hubo un cambio en el comportamiento del gráfico aquí arriba.
O sea es un cambio de concavidad arriba o un cambio en concavidad abajo ¿no?.
O sea lo que ando buscando aquí ahora nuevamente va a ser el punto ¿que?
de inflexión.
Un punto de inflexión en el gráfico de la función que esta conectado
acá abajo con el gráfico de la derivada
donde, si bajo aquí el cursor justamente ¿no?
tiene que ser en donde la derivada se encuentre un punto máximo ¿no?.
O sea vean ahorita les trate de dividir la información ¿no?.
¿La división donde esta?
aquí justamente. En este lugar ¿si?.
O sea una cosa es la función y otra cosa es la derivada ¿no?.
Entonces hay información que se conecta entre ambas funciones.
Es una información interesante que podríamos poder calcular algebraicamente.
Yo los invito para que en la próxima sesión así lo hagamos.
Si gustan ustedes lo pueden ir adelantando con toda libertad, bienvenido lo que
puedan hacer al respecto, yo haré como quiera mi versión y mis comentarios.
Y bueno, pondremos you sobre la mesa un
nuevo tipo de función con nuevo comportamiento y toda una
descripción distinta que es no tan simple como el ir y venir ¿no?.
Si no que you hay variaciones en la historia
del comportamiento de nuestro nivel de agua en el tanque.
Los espero en la próximo ocasión para
seguir con las operaciones algebraicas y numéricas necesarias.
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