He decidido volver a los tanques. Me gustarÃa que, estábamos en un contexto de equis y yes, nos regresemos ahora a haches y tes, porque, recuerden, uno de nuestros objetivos es hacer que ustedes puedan transitar en su conocimiento, de estar en la matemática a estar en otros contextos reales. Yo les voy a poner aquà un problema que hago con mis estudiantes. Tenemos el contexto de tanques. Tenemos ahÃ, ahora, tres tanques actuando, y ahora, lo que tenemos, es la expresión completa de lo que pasa con el nivel de agua en el tanque. Esa expresión me está diciendo cosas. ¿Qué me está diciendo? Me está diciendo un quince, que dice, este, el nivel inicial era quince; me está dando una expresión, dos t, un término dos t; un término menos dos t cuadrada y un término t cúbica. O sea, ese signo negativo que está en menos dos t cuadrada tiene que hacerme el sentido de que está relacionado, ¿con quién? Con la función que tenemos, digo, con la función no, perdón, con la llave que tenemos acá abajo, ¿no? Y este, con el signo positivo, estarÃa interviniendo con esta llave, y el signo positivo de acá, también. Cuando yo les pregunto a los estudiante, ¿qué va a pasar con el nivel de agua en este tanque?, lo que ellos me dicen es que va a subir y luego va a bajar. Otros opinan que el nivel va a subir y se va a llenar. ¿Okay? Cuando todas estas cosas afloran en el salón, bueno, pues es el momento, o la ocasión, de poner a funcionar el conocimiento que hemos generado. Yo les confieso que, aún y cuando hacemos este esfuerzo,, ¿no?, por estar en el contexto real y después en el contexto matemático, aún asà se antoja, digamos, que los estudiantes respondan sin un razonamiento previo en términos de lo que se ha aprendido. La respuesta correcta, en este sentido, si yo les digo qué pasa con el nivel de agua en el tanque, la respuesta correcta serÃa decir: bueno, pues vamos a ver qué pasa con su razón de cambio, porque si yo conozco lo que pasa con la razón de cambio, voy a poder predecir lo que pasa con el nivel de agua en el tanque. Entonces, lo que hay que hacer es derivar. Ahorita you, con el conocimiento que hemos generado, podrÃamos decir, nuestra arma, ¿no? nuestra arma es la derivada. Si nosotros derivamos, la derivada del nivel nos estarÃa diciendo la razón de cambio de nivel, ¿verdad? Y entonces, ¿esto serÃa igual a qué? Este quince no va a aportar nada aquà en la derivada, este más dos t va a aportar un número dos, este menos dos t cuadrada va a aportar un menos cuatro t, y este más t cúbica va a aportar un tres t cuadrada, ¿okay? Hemos nosotros hecho el proceso de derivar, derivo, ¿de acuerdo?, y esta derivada nos va a informar lo que pasa con el nivel de agua en el tanque. Cuando estamos ante esta derivada, aquà se me hacÃa que no se me veÃa el prima, cuando estamos antes esta derivada, esta derivada no podemos negar que you sabemos cosas de ella: es una función cuadrática. Entonces, si es una función cuadrática, su gráfica es una parábola, ¿okay?, y si quiero dibujar esa parábola, bueno, pues hemos aprendido you cómo hacerlo en términos también de la misma, del mismo conocimiento que hemos generado en este curso con ustedes. En cierta forma, entonces, para pensar qué pasa con el nivel, necesito saber qué pasa con su derivada, y para pensar qué pasa con su derivada, necesito saber qué pasa con la derivada de la derivada O sea, si yo ahorita me atrevo a poner una segunda derivada, esa segunda derivada me va a dar una menos cuatro más seis t, que me va a dar una recta, ¿no?, una función lineal, menos cuatro más seis t, ¿okay? Entonces, es, ahorita, digamos, you estamos en el renglón más abajo, Y sabemos que esa recta, ¿no?, es de la segunda derivada, es una recta que ¿comienza en dónde? Comienza en el menos cuatro, ¿cierto?, y después de eso, sabemos que su inclinación eses positiva, entonces eso no hace más que evocarme que si yo, en mi mente, tuviera un sistema coordenado en donde estoy aquà graficando la segunda derivada y acá está el tiempo, entonces tendrÃa aquà un valor negativo menos cuatro y tendrÃa una recta que hace algo asÃ. Si ustedes se fijan en mi trazado, ¿no?, lo único que tomé en cuenta es un valor inicial y el comportamiento de la pendiente, o sea, de la derivada de la segunda derivada, incluso podrÃamos hablar de la derivada de la segunda derivada, que serÃa constante y serÃa seis. y ese número seis me está dando la inclinación de esta recta. Claro, que para ser más precisos, este punto que les estoy señalando justo ahora es un punto importante en este gráfico. Y ¿cómo es que yo voy a calcular este punto, este valor de la letra t en este lugar? Para eso, lo que tendrÃamos que hacer, vamos a ponerle aquà una flecha con negro, ¿no?, vamos a poner aquà esta pregunta. Yo quiero saber quién es ese t, ¿no? Para saberlo, lo que hago es eva, digo no perdón, igualar la segunda derivada con cero, y entonces nos va a quedar menos cuatro más seis t igual a cero, de ahà vamos a despejar seis t es igual a cuatro, paso positivo, ¿verdad?, y luego nos queda que la t es igual a cuatro sextos, que es lo mismito que dos tercios, ¿no? Entonces, estamos ante el dos tercios aquà y ahÃ, en el dos tercios, es justo donde la recta cruzó el eje horizontal. Ahora, recuerden que esa recta es la derivada de la derivada del nivel, o sea, la verde es la derivada de la roja. Y esa roja, entonces, va a tener un comportamiento que obedece a lo que le pasó a la verde. Si la verde, antes del dos tercios, es negativa, y después es positiva, como se los estoy señalando, aquà estoy debajo del eje y aquà estoy encima del eje, entonces, la gráfica de la roja tiene que ser algo que decrezca primero y después crezca, ¿no? Y justamente donde va a dejar de decrecer para comenzar a crecer en ese mÃnimo es cuando el tiempo es igual a dos tercios. En este momento, este hilo del razonamiento me conducirÃa a que para graficar la derivada, h prima de t, lo que ahorita necesitarÃa, o me conviene hacer, es calcular la derivada en dos tercios, ¿cierto?¿Por qué? Porque, les decÃa, you sé que esta recta verde es primero negativa y luego positiva. Eso quiere decir que la gráfica de la, que andamos buscando, la parábola primero decrece y luego crece, o sea, que necesito pues el lugar donde dejó de decrecer para crecer. Ese mÃnimo es justamente cuando la t vale dos tercios por lo que acabamos de hacer con su derivada, que es la verde. Entonces, evaluamos h prima en dos tercios y nos va a quedar: dos menos cuatro por dos tercios más tres por dos tercios al cuadrado, ¿si? Vamos a animarnos a hacer estas operaciones, o sea que nos quedarÃa un dos menos ocho tercios más, y ahora sÃ, me siguen aquÃ, en el razonamiento, este dos está al cuadrado, este tres está al cuadrado, pero este tres al cuadrado se va a cancelar con este tres que está aquà y entonces, finalmente, nos va a quedar el dos al cuadrado, que es un cuatro, y en el denominador nos va a quedar un solo tres, ¿no? Y esto, entonces, nos va a dar en total de un dos menos cuatro tercios, porque tengo menos ocho tercios más cuatro tercios. Nos queda dos menos cuatro tercios que es lo mismo, pensado en tercios, piensen ustedes en el entero dos, cuántos tercios son. Pues son seis tercios, o sea, si a seis tercios le quito cuatro tercios, la respuesta va a ser dos tercios. ¿Okay? Entonces, en este momento you tenemos nosotros la certeza de que la derivada va a tener su vértice en este lugar para la t igual a dos tercios y la h prima de dos tercios igual a dos tercios. Esto, en mi cabeza, evocarÃa como, digamos, algo asÃ. Vamos, ahorita con el tono rojo, porque estamos dibujando justamente a la derivada. Arriba, en el tono verde, era la la segunda derivada, aquà está la derivada, y esta información que tenemos, este dos tercios con este otro dos tercios, me hace poner un punto aquà ¿verdad?, en dos tercios, y aquà dos tercios. Y aparte de eso, pues you sé que ese punto es el mÃnimo de la parábola, el vértice de la parábola. ¿Qué otra cosa sabemos de esa parábola que queremos dibujar? Su valor inicial es dos, ¿se fijaron? Ahorita se los estoy, este, señalando con el lápiz, porque si meto aquà un cero me va a quedar dos menos cuatro por cero más tres por cero al cuadrado, todo esto es cero, me queda un dos. Entonces, ese valor dos lo podemos poner aquÃ, tendrÃa que estar por acá arribita, y con eso es suficiente. Esos dos puntos son suficientes para que tengamos toda la información del comportamiento gráfico de la derivada. Va a quedar algo asÃ, ¿no?, o sea, aquà va a bajar, y luego va a subir, ¿okay? Entonces, ahorita you podemos estar seguros de algo, ¿no? La parábola, que es la derivada del nivel, primero decrece y luego crece. A veces me pasa con los estudiantes, que dicen: you ve, que sà decreció y luego creció el nivel. Pero, en ese momento es bueno, digamos, porque hay ocasión de poner atención en lo que los ejes coordenados grafican cuando uno utiliza una representación gráfica en matemáticas, ¿no? Vean ustedes que aquÃ, lo que estoy graficando, es la derivada. ¿si?, y lo que andamos nosotros buscando es el comportamiento ¿de quién? Del nivel, o sea, del que tenemos acá, ¿no?, de este nivel, que ese está todavÃa por verse. Ante la presencia de este gráfico, you me ha tocado entonces que hay quienes han ganado, ¿no? estas habilidades visuales, ¿no? de interpretar en los gráficos, y entonces sà you me aseguran: vamos a ponerlo aquà con, con, con letras el nivel siempre crece. Les estoy poniendo eso al lado de un gráfico que ustedes están viendo que primero decrece y luego crece, ¿sÃ? Y no nos estamos contradiciendo. ¿Qué es lo que estoy viendo yo en el gráfico rojo para que me atreva a hacer esta declaración? Lo que estoy viendo en el gráfico rojo es que siempre está en la zona positiva, ¿no? Siempre es positivo, ¿no?, todo punto de esta parábola está con una coordenada vertical positiva y eso me está diciendo que la razón de cambio hache prima de t es positiva, ¿no? la razón de cambio del nivel es positiva. Eso me dice que el nivel va a estar siempre creciendo, ¿okay?, pero claro, habrá que tener en cuenta que hay una, una cierta, digamos, variación en el comportamiento, debido a la presencia del mÃnimo, ¿no?, porque cuando esta razón de cambio decrece la concavidad correspondiente en el nivel debe de ser hacia abajo y cuando el comportamiento de esta razón de cambio es creciente, el comportamiento del nivel de su gráfica tiene que ser con una concavidad hacia arriba. En este momento pudiera ser que you en su cabeza esté presente esa imagen. ImagÃnenselo, entonces, imagÃnense un gráfico que siempre va a ser creciente, porque la derivada es positiva, pero que primero crece con concavidad abajo y luego sigue creciendo con concavidad arriba. Entonces, ¿cómo podrÃa ser un gráfico tal? TendrÃa que estar creciendo, mi mano siempre va a tener que estar subiendo, pero primero va a subir con una concavidad hacia abajo y después va a seguir subiendo con una concavidad hacia arriba. No sé hasta qué punto han ganado todas estas cuestiones, pero you, en mi cabeza, yo les puedo asegurar que estoy viendo algo que va creciendo con concavidad abajo y luego va creciendo con concavidad hacia arriba, o sea, aquà hay un cambio. Este punto que está aquà es el quince, ¿eh? ¿Por qué? Porque en ese punto es en donde estaba el nivel inicial. Y este punto donde tengo aquà el lápiz ahora, tendrÃa que ser un punto donde el valor del tiempo es dos tercios y el valor que pongamos aquà es la función evaluada en dos tercios, ¿no? Esa función evaluada en dos tercios me estarÃa diciendo el valor del nivel de agua a los dos tercios de segundo o de minuto, no sé, como lo quiera hubiéramos tomado aquà las unidades. ¿Okay? Pero en sÃ, el gráfico you me está diciendo que el crecimiento del nivel será primero cada vez más lento, hasta los dos tercios, ¿no? de segundo, o de minuto, en que empieza el nivel a crecer para seguir creciendo pero cada vez más rápido. ¿Okay? Entonces, ante esta situación ¿qué podemos decir? HabÃa tres llaves, pero la aportación de esta llave no compensa, ¿no? a la aportación de esta dos, lo único que influyó fue en que el nivel subiera cada vez más lento, pero después ganan las llaves de arriba y el nivel sigue subiendo cada vez más rápido. ¿Okay? Una pregunta posible en esta situación serÃa pensar, pues, ¿cuándo se llena el tanque? A mà me gustarÃa que tomaran este dato, si lo ven aquÃ, cien, ¿si? Piensen en ese dato cien y piensen, qué es lo que yo tengo que hacer, ¿si?, vamos a poner aquà la pregunta, para contestar: ¿cuándo se llenó?¿Cuándo se llenó el tanque? ¿Okay? Esa pregunta se responde con lo que hemos aprendido, ¿no? en este curso. A mà me gustarÃa que dejáramos este video aquÃ. Vean ustedes como estamos todavÃa en el tema de una función cúbica, nuestro nivel de agua está representado con esta función cúbica, y, bueno, esta pregunta con la que los estoy dejando de cuándo llegó el nivel aquÃ, ¿no? a hacer, digamos, el valor de ¿cuánto?, de cien. Es una pregunta que los va a llevar a ustedes a plantear una ecuación cúbica, ¿no? A mà me gustarÃa que, para la próxima sesión en que nos veamos ustedes traigan su respuesta. Yo les aseguro que es un problema muy bien preparado, oséase, que la respuesta es sencillÃsima, o sea, no va a ser un número irracional, es más, en un número entero entonces no deberán de batallar. Va a ser una ecuación cúbica de esas muy bien preparadas, en donde puede encontrar su solución de una manera rápida, ¿no? Los espero en el próximo video. Retomaremos este mismo problema y pasaremos a otros más.
