Uno de los tipos de problemas que dieron origen al cálculo en los problemas de optimización, ese tipo de problema yo creo que es un problema que a todos nos importa. ¿Qué quiere decir optimizar? Quiere decir, digamos, sacar mejor provecho de algo. En ese sentido, bueno pues imagÃnense, ésa ha sido una preocupación de la humanidad ¿no? desde tiempos muy remotos. Ahorita, que estamos en el modelo cúbico, tenemos la ocasión de traer digamos sobre nuestro curso algunos problemas relacionados con esto. Quisiera que los viéramos, nos ambientáramos un poquito. La situación que les quiero platicar, se me ocurrÃa ahorita, es bueno pues en principio voy a tratar de ver algo en Google ¿no?, que nos pudiera dar una idea de por dónde vamos a andar. Entonces, si me acompañan en la computadora; miren, yo le voy a teclear ahorita en mi computadora, me puse en Google, y me puse en las imágenes; y le voy a pedir que me dé imágenes de un pa-ra-le-le-pÃ-pe-do. Se los estoy escribiendo todo, ¿no? rectangular. Voy a decir asÃ, y a ver qué nos saca. Y miren, de esto es de lo que les voy a estar hablando ¿no?, paralelepÃpedo rectangular. Bien, hasta edificios, etcétera. Bueno, éste no es un paralelepÃpedo rectangular. Bueno, pero igual, podrÃa decirle prisma, pero vamos a ponerle un prisma, prisma rectangular. Y entonces aquà tenemos algo ¿no?, también relacionado con lo que vamos a hablar, aunque este prisma no es rectangular. Pero bueno. Miren, vamos ahora a a pensar, digámosle, mejor en una, digamos una caja de cartón, cartón rectangular. De nuevo, vamos a poner una caja de cartón Bien, tenemos montones de cajas de cartón. Tienen esas mismas formas ¿no?, algunas hasta medio curiosas. Bueno vamos a ponerle para acercarme más a lo que quiero, pidámosle que sin tapa, que fuera una caja de cartón sin tapa. Estas son las imágenes de las que estarÃamos hablando ahorita ¿no?, de la construcción de una caja sin tapa, ¿si? Hay mucho surtido aquÃ. Todos de diferentes, unas más bonitas, bueno esta no se que está haciendo aquà pero bueno, esta hasta se antoja. Pero bueno, you se está dando hambre. Mejor vamos a imaginarnos una que sea, que tenga menos, menos digamos, invitación ahorita. Miren, piensen en esta que está aquà y yo lo que les pido es ahora, se concentren en su mente, vean en su cabeza, osea piensen en esa caja, you la vieron en Google. Piénsenla en su cabeza y yo los invito a que nos imaginemos como queda la caja si la, si la desdoblo. Osea, si la desdoblo. Si trato de ver digamos solamente el material del cual la caja fue fabricada. PodrÃamos imaginárnoslo de cierta manera, o podrÃamos simplemente agarrar una lámina ¿no? . Miren. Yo creo que con esta lámina, bueno no es una lámina precisamente pero you aquà tengo, se me acabó mi block me quedó lo de atrás, entonces aquà tengo por ejemplo ¿no?, una digamos que este es un cartón que tiene ciertas medidas. Y que con ese cartón vamos a formar esa caja ¿no?, que nos imaginamos. Asà como nos lo imaginamos ahorita, yo creo que en la animación que les voy a presentar, va a quedar más claro ¿no?, como es que se produce esa caja sin tapa que, de un material como este que you está digamos fijo previamente.¿Okay? Entonces si me acompañan en la computadora. En esta animación que les voy a presentar, les voy a hacer digamos la las cosas más sencillas ¿no?, en su mente, más de las que nos pudimos haber complicado nosotros también. Tenemos una pieza rectangular de cartón de dimensiones dieciocho centÃmetros por doce centÃmetros, y de ahà vamos a construir diferentes cajas sin tapa. Hay quienes hubieran pensado o pueden pensar que la caja va a ser única ¿no?, pero no. Vamos a pensar por ejemplo, ese cartón es como el que yo tenia aquà ¿no?, fÃsicamente con ustedes. ¿Cómo se construye esa caja? Bueno, a eso es a lo que yo querÃa que ustedes se imaginaran ¿no?, cuando les decÃa que desdoblaran la caja. Queda una figura como la que estamos viendo ahorita en la animación. you le cortamos en las esquinas esos cuadrados ¿no?, en estas esquinas, todos iguales si no nos va a quedar muy bien la caja. Y entonces lo que se hace es pues eso que están viendo ¿no?, como levantar las cejas y entonces you me quedó una caja un poco chaparrita como la están viendo ahorita, you formada por sus caras laterales. Vamos a hacer un ejemplo en particular. Pensemos que, calculamos el volumen de la caja cuando el lado de los cuadrados recortados mide uno punto ocho centÃmetros. Osea you está el uno punto ocho que es lo que vamos a recortar en esta esquina, en cada una de la esquinas. Allà en la animación yo les hice una copia ¿no?, como fantasma para que recuerden de donde venimos. Ponemos la basura en su lugar, you cortamos nuestros cuadritos, y entonces procedemos a armar nuestra caja. Y you que está ahà armada vean ustedes como las dimensiones se obtuvieron haciendo la evocación de donde vienen ¿no? Ese uno punto ocho que tenÃamos aquà es justamente lo que recortamos. Y vean como este catorce punto cuatro es el dieciocho menos dos veces uno punto ocho, como que uno tiene que quitarle los dos x, los dos valores perdón, que tomamos uno punto ocho de ambos lados. Allà está el cálculo ¿no?, nos lo hizo la manita ¿no? Aquà tenemos un dieciocho menos dos por uno punto ocho, un doce menos dos por uno punto ocho y el uno punto ocho. ¿Por qué? Porque el volumen de una caja se calcula multiplicando el área de la base por la altura. Eso dice el volumen de un paralelepÃpedo rectangular o de un prisma rectangular. Es más, de cualquier prisma, siempre es una área que se levanta a una cierta longitud que es la altura. Entonces hay que multiplicar el área de la base por la altura. El área de la base en esta caja serÃa lo que les estoy tratando de rellenar con el cursor. Es esta zona de aquà cuyas medidas son esta y esta ¿no?, se multiplican y se multiplica a su vez por el uno punto ocho que viene a ser la altura ¿no? Entonces tenemos un volumen de doscientos diecisiete punto siete veintiocho centÃmetros cúbicos. Si hacemos otra caja diferente pero con el mismo, este mismo cartón que tenÃamos, el volumen no tenemos que pensar que va a salir igual. Entonces vamos a hacerlo ahora recortando los cuadrados de tres punto nueve centÃmetros. Entonces ahà nos traemos nuestras tijeritas ¿no?, entonces vamos a cortar en estos extremos, los tres punto nueve centÃmetros en todos los lados, en los cuatro lados. La basura en su lugar. De nuevo ponemos nuestra caja para levantar la ceja y ahà está. Ven como quedó más altita. Pero a la vez nos quedó en el área ¿no?, la zona de aquà quedó más pequeña ¿no? . Entonces ganamos en altura pero perdimos en el área de la base. Aquà están las longitudes de donde vienen y estamos calculando nuestro volumen, que va a quedar igual ¿a cuánto? Ciento sesenta y siete punto cero siete seis. Ustedes dirÃan estaba mejor la otra ¿no? . Osea la otra tenÃa un volumen mayor. Si tuviera que escoger una caja con un volumen mayor, pues escogerÃa la anterior. Si la quisiera con volumen menor, pues serÃa esta. Esto que les digo you empieza a ver un problema de optimización. Mi problema va a ser ahora encontrar esa caja que encierre el mayor volumen posible ¿no? ¿Cómo hacemos eso matemáticamente? Tenemos que considerar una caja general, se fijan eso es bien matemático. Hablar en general, y la longitud de los cuadrados que vamos a recortar en las esquinas, estos de aquÃ, ¿como les vamos a llamar?, genéricamente les llamamos x ¿no? ¿Por qué? Pues porque en la matemática nos encantan las x. Entonces hacemos nuestra copia, traemos nuestras tijeras y quitamos nuestras x, x, x, x. Y tenemos entonces nuestra caja genérica ¿no? Formada con ese material original ¿no? . Y lista para que construyamos una función. Ahorita la manita lo está haciendo, se fijan, ese dieciocho menos dos x, serÃa como un recordar que antes quitábamos, a dieciocho le quitábamos dos veces lo que quitábamos en ambos lados. Luego tendremos doce menos dos x, y luego tendrÃamos nuestra x. Entonces ahà tenemos el producto del área de la base por la altura, donde ahora la altura es justamente la x. ¿Qué nos quedó? Nos quedó ahora que el volumen es doscientos dieciséis x, menos sesenta x cuadrada más cuatro x cúbica. Claro, eso porque la manita nos hizo el favor de hacer la multiplicación. Pero para nosotros, ese es un problema que deberemos de resolver. Estamos construyendo esa función. Yo los invito a que vengan acá en el papel, junto conmigo y que no desaprovechemos cualquier oportunidad que tengamos de hacer el uso de la notación matemática, y las operaciones algebraicas necesarias. Entonces yo voy a copiar aquÃ, yo tengo aquà mi cajita ¿no?, muy este, motivante ¿no?, para la comida, para un postrecito. Y entonces tenemos aquà que el volumen, es más, vamos a usar nuestra notación de función, ¿les parece? El volumen depende de x, qué es x, es esta longitud ¿no?, de la altura de la caja que tomamos. Y esta dada por dieciocho menos dos x por doce menos dos x por x ¿no?, vamos a ponerle asÃ. El dieciocho menos dos x pues vendrÃa siendo esta longitud ¿no? El dieciocho menos dos x es esto, el doce menos dos x pues serÃa la longitud que está acá ¿no? Y aquà esta you la x. Entonces cuando hacemos esta multiplicación, yo dirÃa lo mejor serÃa primero que multiplicáramos estos dos binomios. Entonces tendremos que hacer una multiplicación de ¿cuánto? . De dieciocho por doce. Aquà traigo mi calculadorcita para hacerlo rapidito. Déjenme ver si la pueden ustedes ver. Esta me traje la de los números chiquitos como ven, es dieciocho, nada más que tenÃa que borrarlo, ¿verdad? Dieciocho por doce nos quedan doscientos dieciséis. Entonces tenemos aquÃ, este por este es doscientos dieciséis. Luego dieciocho por dos x nos quedarÃa menos treinta y seis x, no necesito la calculadora ahora. Menos dos x por doce, ahora que estoy haciendo este por este, dos x por doce serÃan menos veinticuatro x, ¿verdad?, y finalmente menos dos x por menos dos nos va a quedar tanto como cuatro x cuadrada. Y todo esto va a estar multiplicado por x, ¿verdad? Entonces acomodemos las cosas y como buenos matemáticos juntamos las cosas comunes. Nos quedarÃa aquà un doscientos dieciséis menos, a treinta y seis le sumamos veinticuatro, nos lo hacemos a pié a ver, seis y cuatro son diez y llevamos una, tres y una cuatro y dos son seis, me queda un sesenta x, más cuatro x cuadrada, todo por x y nuevamente, como nos gustan las cosas ordenaditas, vamos a poner nuestro término cúbico al principio. Esta x se tiene que multiplicar por todos, ¿verdad?, entonces nos va a quedar el primer término vamos a dejarlo como cuatro x cúbica, menos sesenta x cuadrada más doscientos dieciséis x. Esta es nuestra función de volumen que depende de x, ¿no? Si yo me regreso ahorita a la animación, estoy leyéndoselos ¿no?, doscientos dieciséis que dice, doscientos dieciséis x menos sesenta x cuadrada más cuatro x cúbica ¿no?, osea que lo hicimos muy bien. Tenemos ahora esa expresión y vamos a considerar algo que es importante cuando la matemática se aplica. Ese modelo matemático que ustedes ven, el modelo cúbico, tiene digamos un dominio, quiere decir, todos los valores que puede tomar la x, que serÃan todos los números reales. Pero en el contexto real de la construcción de esta caja, es necesario que nos preguntemos, ¿qué valores puede tomar la x? Porque esa x no es cualquier x. Es una x que significa lo que yo recorté aquà ¿no?, en las esquinas para después formar la caja. Es la altura de la caja ¿no? . Entonces en ese sentido habrá ciertas restricciones. Si ustedes se imaginan ¿no?, voy a hacer algo con esto, yo pienso que si lo pueden ver. Esto que estoy haciendo aquà es marcarles por ejemplo, miren, este es una x, no la voy a poner de los cuatro lados, ¿no? Si yo recorto con las tijeras mi caja va a quedar bien chaparrita. Ahora, vamos a hacer que la x hubiera sido más grandecita ¿no?, como esta ¿no? Si recorto esto en los cuatro lados, entonces la caja you creció un poquito ¿no?, en altura. Si pero se redujo un poco el área. Entonces con esta nueva longitud de x ¿no?, ahà lo recortamos y ponemos aquà nuestra caja, pues entonces esta caja con este valor de x va a quedar más alta pero aquà el área de la base se va a reducir. ¿Hasta donde puedo llegar a hacer esto, no? ¿Hasta cuando puedo yo hacer que esta x crezca? . No se si ahorita lo perciban, me fui muy derecha ¿no?, pero ahorita you hice una x bien grande. Pero si pongo la misma x acá y la pongo acá, vean ustedes que está pasando, ¿no? Vean lo que nos va a quedar aquà está bien chiquito ¿no?, ¿cierto? ¿Cuánto es lo más que yo pudiera haber agrandado esta longitud, cuánto? Pues la mitad. La mitad justamente de este, de este lado del cartón. Si este cartón medÃa doce, entonces la mitad serÃa seis ¿no? Osea lo más que podrÃa yo doblar aquà serÃa un seis. Yo estoy de acuerdo con ustedes en que allà no va a haber caja. Osea se van a empalmar ¿no?, entonces en ese sentido, no tenÃa que tendrÃa caso considerar esa caja. Pero matemáticamente si se puede aceptar ese valor con esa interpretación. Entonces si los invito en mi presentación. Los valores numéricos que vamos a aceptar para la x en esta construcción ¿no?, de la caja, van a ser los valores entre cero y seis centÃmetros. Si me permite aceptar el cero, eso quiere decir que mi caja va a ser tan chaparra, pero tan chaparra que su volumen es cero ¿no? Y si me permite aceptar que el lado es seis, entonces se me va a doblar el cartón uno sobre el otro y entonces you no va a quedar volumen dentro de la caja. ¿Okay? ¿Con qué nos hemos quedado entonces en esta presentación, en este video? Nos hemos quedado en una parte del problema de optimización, que es muy importante. El construir la función matemática, el modelo matemático para la situación. Sabemos cual es el modelo, lo construimos se fijaron haciendo paréntesis también como lo hicimos en los videos pasados al construir la cúbica. Y también lo desarrollamos algebraicamente. Tenemos nuestra expresión cúbica, you sabemos cuales son los valores que va a poder tomar nuestra x, y entonces ahora lo que nos falta es analizar de esa manera como encontrar aquella caja que tiene un volumen máximo ¿no?, dentro de las mismas condiciones que tenemos con nuestro mismito cartón. Yo los invito a que en la próxima sesión, pues veamos esa solución. Si quieren pueden empezar. Tienen la función. Saben lo que hay que hacer. Yo los veo en la próxima sesión y podemos comparar nuestros procedimientos.
