Bien, pues la tarea era haber traído nuestras funciones cúbicas que construímos previamente con el proceso de anti derivación pero en, dentro del graficador, ¿no? Graphmática, de preferencia porque lo que quería yo con Ustedes era también hacer este ejercicio visual de derivar gracias al paquete. Estas eran las expresiones que teníamos, acuérdense que las hicimos gracias al proceso de derivación las tres expresiones en el tono azul, rojo y verde eran las que había que llevar. Yo las tengo acá copiadas en mi siguiente hoja, ¿no? Estas son expresiones que me traje a Graphmática y yo quiero mostrarle mi imagen, donde he puesto la zona que está, digamos, por default en el programa. Aquí tecleé las funciones, miren, era un documento en blanco y ahí puse esta. Ahí están las tres tecleadas, ¿cierto? y miren la imagen que me está dando. Estoy en la zona, vean aquí. Como les digo estamos ahorita en la zona de default y ahorita que vemos estas gráficas uno diría pues, ¿Qué es esto? o sea, estas funciones que están aquí, es más, habrá que, alguien que no ha visto, digamos, nada del curso y piense que la gráfica verde es una recta, ¿no? Sin embargo nosotros you tenemos ciertos conocimientos previos que estamos poniendo en función ahorita ¿no? de interpretar los gráficos y en ese sentido pudiéramos decir: nos está faltando parte de la información del gráfico verde ¿no? No estamos en la zona digamos adecuada. La ventaja de esta software es que, bueno, puedo hacer esto, miren: Ahorita estoy tratando de ver esta curva verde, me bajo un poco, me bajo un poco, me bajo más y más y más más... y ahorita allí, ¿ve? Esto que encontramos aquí, eso es algo que you estábamos esperando. Es el lugar que hemos llamado el punto de inflexión, ¿no? Es un lugar en donde la concavidad cambió de cóncavo arriba a cóncavo abajo ¿cierto? Ahora las otras dos gráficas se ven como rectas, lo que pasa es que estamos viendo una zona del gráfico, ¿sí? una zona conveniente como para poder sacar a la luz lo que you sabíamos nosotros desde antes. Igual podríamos hacer un intento ¿eh? de encontrar pero bueno, antes de hacer ese intento no quiero cambiarles ahorita la idea y quisiera que mejor con esta gráfica, con la azul le pidamos al software que nos la derive ¿no? Y ahí está la derivada. Si ustedes recuerdan la imagen que teníamos anteriormente, yo la tengo aquí guardada. Era esta gráfica. Bueno yo le había puesto you las otras funciones también, ¿no? pero quiero que vean que estoy haciendo algo que concuerda ¿no? con lo que teníamos antes. Vean ustedes como en esta derivada, este punto que está aquí es un punto en donde la derivada vale cero, y este punto que está aquí es un punto que se consideraría el mínimo. Un mínimo relativo de la función. Análogamente este punto de aquí que estoy marcando con el cursor, si se alcanza a ver este es un punto donde la derivada vale cero y en correspondencia aquí tenemos un punto máximo de la función. ¿Por qué mínimo o por qué máximo? Bueno, pues ahorita lo podemos eso contestar en relación con la derivada Vean que la derivada antes de este lugar es negativa y después es positiva Eso hizo que este gráfico decrezca y luego crezca. Eso dice algo: decrece y luego crece. Lo lógico es que haya ahí un mínimo ¿no? Por otro lado en esta otra parte del gráfico de la derivada Aquí es cero y antes es positiva y después es negativa. Eso me informa que la magnitud, antes era creciente y después decreciente Si ese algo antes crece y después decrece, pues tiene que corresponder con un máximo. ¿No? Entonces ahí tendríamos el máximo y el mínimo que deberíamos estar esperando ¿Por qué? Porque en la derivada hay cambio de signo ¿no? Pero por otro lado hay otro punto importante. ¿Cuál punto? El que corresponde a donde la derivada tiene su máximo. ¡Fíjense! Esto es algo que necesitamos coordinar mentalmente porque ahorita acá no pasó ni un minuto y les hablé del máximo de la función y ahora les estoy hablando del del máximo de la derivada. ¿ok? y en ese momento ustedes tienen que coordinar en su mente la información, si es con respecto a la función o con respecto a la derivada. Hablo del máximo de la derivada y aquí encuentro entonces una relación con este punto. Este punto que está aquí, que estoy tratando de señalar, es un punto de inflexión, es un punto donde la concavidad cambió, de cero. Antes cóncava arriba a ser después cóncava abajo. ¿ok? El gráfica iba creciendo. Vean. Crece. Pero antes es cóncavo arriba y después es cóncavo abajo Eso you nos marca las diferencias en el comportamiento del crecimiento. El crecimiento antes es cada vez más rápido Y después es cada vez más lento ¿no? Hasta que luego llega al máximo ¿ok? Entonces analizamos este gráfico en azul. Espero que sea lo que estaban ustedes you esperando también you en su mente. De que debía de pasar por las intersecciones de la parábola y por otro lado tomemos ahora la gráfica roja. Esta gráfica roja y le pedimos a Graphmática que la derive y nos la derivó pero la puso con color rojo. Déjenme ver si lo puedo lograr otra vez. Y que me la saque en otro color. Allí está. La eliminé y le pedí que la volviera a derivar. Y entonces you tengo aquí mi gráfica de la derivada Esta gráfica de la derivada que tenemos aquí es la parábola, perdón ¿no? Me está informando que hay un lugar en el vértice de la parábola, que es el máximo del que hablábamos acá. Está justamente en el eje horizontal. Y eso llama como una diferencia. ¿Por qué? Porque la parábola que es la derivada no alcanza a pasar para acá. Para la zona positiva. O sea hace que la parábola siempre está contenida en la zona negativa. Piensen en las 'yes' ¿eh? o sea en las alturas de la parábola Altura negativa, negativa, cero, toda negativa, negativa, negativa más negativa. Todavía más negativa y así nos vamos ¿no? Entonces todas estas alturas negativas en la parábola me dicen la gráfica, la función, decrece. Es una magnitud que está decreciendo. Ahora, por otro lado el haberme dado en la derivada un máximo como es este caso esto va a provocar que la gráfica de la función tenga en y un punto de inflexión. O sea en la correspondiente x vean si yo bajo el cursor así, aquí hay un punto de inflexión que otra vez me marca una diferencia, un cambio de concavidad: de cóncavo arriba a cóncavo abajo. Lo que marca aquí un decrecimiento diferente. Ahorita es un decrecimiento que es cada vez más lento, que llega al valor cero en su rapidez de crecimiento y que luego sigue decreciendo pero cada vez más rápido. Se fijan en las diferencias. O sea, este lugar de aquí, este punto de inflexión, me está marcando un lugar en donde la razón de cambio es cero, más no donde se da un máximo o un mínimo de la función. Vean ustedes cómo es necesario que para que haya un máximo-mínimo en la función como es, en el caso de la gráfica azul, se necesita que la derivada sea cero y que además haya un cambio de signo en la derivada, ¿no? que hay una zona, digamos, por eso se llama un máximo-mínimo relativo, en relación con una zona yo puedo ubicar allí que la derivada cruza el eje y cambia de signo. Eso no lo puedo hacer con la roja. Aquí la roja no cruzó. Llegó a ser cero, si es cierto, pero iba negativo, con valores negativos, y siguió con valores negativos. Eso me prohíbe hablar de máximos y mínimos, más no me prohibe hablar del punto de inflexión. Porque este sigue siendo un máximo pero de la derivada ¿no? no un máximo de la función ¿ok? El máximo de esta derivada me va a decir que aquí hay un punto de inflexión en la gráfica de la función, ¿ok? Finalmente vamonos a la gráfica verde, esta que ni se nota bien, que you veíamos que tenía. Se acuerdan. O sea voy a bajarlo aquí ¿no? you recordábamos nosotros que tenía, por aquí, por aquí tiene que aparecer. Aquí está. Tiene que tener un este punto de inflexión. Ahorita que tienen esta imagen en su mente ¿no? que la están viendo realmente. Comparen este punto de inflexión con el punto de inflexión que tenemos acá, con este. Y vean que hay una diferencia igual le vamos a pedir a Graphmática que nos derive a al función a ver qué hace. Nos la derivó y quedó acá, como acá que nada tenía que ver, pero sí tiene que ver. Nosotros lo sabemos muy bien, ¿no? Nosotros sabemos que este lugar que está aquí. Si yo me bajo por este que parece ser el cuatro punto cinco, Si me bajo por este. Vamos a bajarnos en el cuatro punto cinco. Estoy manteniendo el cursor ahí. Para ver si llegamos justo al lugar en donde habíamos encontrado ese punto de inflexión. Vean ustedes como mi crucita llegó justamente ahí que es donde tenemos el punto de inflexión de la gráfica verde ¿no? Entonces tenemos aquí otra vez un comportamiento de decrecimiento: Cada vez más lento y después cada vez más rápido. Pero a diferencia de lo que pasó con la curva roja, aquí el decrecimiento no llega a, digamos, a un valor de su razón de cambio que fuese igual a cero ¿Por qué? Porque la gráfica, vean ustedes, o sea la gráfica de la parábola verde, es una gráfica que no llega aquí al eje equis. Esa diferencia en cuánto a esto, ¿no? en cuánto a estarle nosotros, viendo una parábola que cruza, perdón, que corta sino cruza una sólo una vez y no corta pero son diferencias en el punto de inflexión. Ese punto de inflexión quedó muy abajo. Y ese punto de inflexión estaría también en al misma vertical y lo que hacemos es, por ejemplo, aumentar la posición inicial de la magnitud. Se acuerdan que las tres que construimos, hicimos que la posición inicial fuese cero. Entonces si ahorita nos atrevemos a la gráfica verde. A ver, vamos a ver, la verde. Esta es la gráfica verde pero ahí la tienen derivada. Es la que tenía menos ochenta y cinco cuartos. Es esta. Ahorita estoy en la gráfica verde, ¿sí? Entonces vean ustedes. Ahí está la expresión. Qué tal si le decimos que le sume, no sé, unos veinticinco. ¿sí? Estoy diciendo que el valor inicial de la magnitud sea veinticinco. Eso lo que va a provocar es que el gráfico se vaya muy arriba ¿no? O sea este punto que está en el cero se va a ir más para arriba. Y al irse este punto más hacia arriba, supongo que el otro punto se va a subir. Vamos a ver. Si se subió, se subió con el tono azul, pero no lo suficiente. Si me permiten ahorita la voy a borrar esta, la selecciono y le digo botón der. . Creo que con botón derecho le digo delete. Vamos a traernos otra vez nuestra gráfica Y vamos a sumarle tanto como un cincuenta ¿no? Vamos a ver qué pasa con eso. Se subió ahora así aún demasiado ¿no? porque ahora you nos quedó la gráfica acá arriba y en tono rojo. Entonces, si me permiten, otra vez la voy a elegir. Y al elegiréndola le voy a dar deletrear y hagamos un último intento donde tenemos acá el menos ochenta y cinco cuartos. Aquí está, entonces vamos a sumarle ¿cuánto le sumamos? Veinticinco no nos cuenta. Vamos a sumarle un treinta y cinco. Vamos a ver que sea un treinta y dos. Vamos a ver un treinta y dos. Ahí lo tenemos. Yo creo que con eso lo logramos. Se fijaron. A veces es un ensayo y error, ¿no? lo que estuve haciendo fue, en mi mente mantener que quería subir el gráfico. Para subir el gráfico le agregué constantes, como término de la posición inicial. Este número treinta y dos que está aquí Pues, ¿dónde está? Si me subo aquí voy a encontrar que esta gráfica verde corta, vamos a ir rapidito. Y ahí está en el treinta y dos, donde está cortando ¿no? y eso provocó que el punto de inflexión que veíamos tan abajo you subió. Esta imagen you es muy clara ¿no? Se fijan de las diferencias. Puedo tener la derivada como esta parábola ¿no? que me provoca un mínimo y un máximo, además del punto de inflexión Puedo tener esta gráfica que es la roja ¿no? que sea la parábola, ¿no? pero que la cúbica correspondiente tenga solamente un punto de inflexión, y también con la verde tengo un punto de inflexión. ¿Pero cuál es la diferencia entre estos puntos de inflexión? El punto de inflexión de esta comparado con el de esta vemos es como que la curva iba en la roja digamos así despacio y luego se desprende despacio de la horizontal. En cambio la verde va así y luego sigue y así con una cierta inclinación. Si me acerco en esta zona, en esta zona de aquí yo vería esa inclinación. Si me acerco a esta zona como que yo vería como prácticamente una recta horizontal, ¿no? Eso es lo que hizo la diferencia de haber tenido este punto aquí y haber tenido este punto aquí sin tocar el eje horizontal. Yo quisiera que aquí también, aparte de haber concluido esto del comportamiento de las cúbicas, aceptemos que cualquier cúbica va a tener un punto de inflexión. No un máximo y un mínimo. Eso está claro que no es necesariamente. Habrá cúbicas que tengan un máximo y un mínimo. Habrá cúbicas que no los tengan. Es más, si una cúbica tiene un máximo también tiene un mínimo ¿no? o si tiene un mínimo también tiene un máximo ¿okay? Pero, en caso del punto de inflexión podemos asegurar que en general, cualquier cúbica tiene un punto de inflexión. ¿Cómo vamos a sacar eso algebraicamente?, o sea, ¿cómo sacar este punto de inflexión, este punto de inflexión y este punto de inflexión? ¿Se lo imaginan? Lo que tendremos es que regresar a nuestro contexto algebraico ¿no? y yo los invito a que en este contexto si este ustedes copian ahorita las funciones que teníamos you, la tarea va a ser la siguiente ¿no? Vamonos aquí a la imagen, lo que tenemos escrito, y entonces lo que esperaría yo de ustedes ahora es una algoritimia otra vez, una práctica algorítmica, en donde les pido deriven, ¿sí? y después vuelvan a derivar. Y si yo digo derivo la derivada, en matemáticas a esto se le llama la segunda derivada, ¿ok? ¿Entonces qué es una segunda derivada? Entonces no es más que la derivada de la derivada. No debe de haber ningún problema en que mecánicamente ustedes puedan aplicar ese algoritmo. Lo mismo van a hacer con la roja, ¿no? van a derivar, van a volver a derivar y lo mismo con la verde, ¿ok? Y después para que encuentren su punto de inflexión recuerden que ese punto de inflexión es aquí en esta un máximo. Si quiero encontrar aquí un máximo, un mínimo ¿no? en el caso de nuestras figuras fueron máximo, ¿sí? o un mínimo. Puede ser también un mínimo. Lo que necesitan ustedes es encontrar entonces donde su derivada vale cero. O sea para encontrar donde tengo el punto de inflexión lo que tendríamos que hacer es igualar la segunda derivada con cero. Observarán que la segunda derivada es una función lineal, y si la igualan a cero estarían resolviendo una ecuación lineal. De las que empezamos nosotros nuestro curso ¿no? Entonces los invito para que en el próximo video ustedes traigan sus soluciones de la derivación y derivación y después de la igualación con cero para encontrar las coordenadas del punto de inflexión, mi primera intervención va a ser mostrándoles esta misma hoja en donde estarán declarados cuáles so esos valores para que ustedes puedan revisar sus procedimientos ¿no? Entonces los invito para el próximo video en donde les voy a poner aquí las soluciones que inmediatamente ahorita me pongo a calcular
