Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Visualización de derivada y función
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Bien, pues la tarea era haber traído nuestras
funciones cúbicas que construímos previamente
con el proceso de anti derivación pero en, dentro del graficador, ¿no?
Graphmática, de preferencia porque lo que quería yo con Ustedes
era también hacer este ejercicio visual de derivar gracias al paquete.
Estas eran las expresiones que teníamos,
acuérdense que las hicimos gracias al proceso de derivación las tres expresiones
en el tono azul, rojo y verde eran las que había que llevar.
Yo las tengo acá copiadas en mi siguiente hoja, ¿no?
Estas son expresiones que me traje a Graphmática y yo quiero mostrarle
mi imagen, donde he puesto la zona que está, digamos, por default en
el programa.
Aquí tecleé las funciones, miren, era un documento en blanco y ahí puse esta.
Ahí están las tres tecleadas, ¿cierto? y miren la imagen que me está dando.
Estoy en la zona, vean aquí.
Como les digo estamos ahorita en la zona de default y
ahorita que vemos estas gráficas uno diría pues, ¿Qué es esto?
o sea, estas funciones que están aquí, es más,
habrá que, alguien que no ha visto, digamos, nada del
curso y piense que la gráfica verde es una recta, ¿no?
Sin embargo nosotros you tenemos ciertos conocimientos
previos que estamos poniendo en función ahorita ¿no?
de interpretar los gráficos y en ese sentido pudiéramos
decir: nos está faltando parte de la información del gráfico
verde ¿no? No estamos en la zona digamos adecuada.
La ventaja de esta software es que, bueno, puedo
hacer esto, miren: Ahorita estoy tratando de ver esta
curva verde, me bajo un poco, me bajo un poco, me bajo más y más y más más...
y ahorita allí, ¿ve? Esto que encontramos aquí,
eso es algo que you estábamos esperando. Es el lugar que hemos llamado el punto
de inflexión, ¿no?
Es un lugar en donde la concavidad cambió de cóncavo arriba a cóncavo abajo ¿cierto?
Ahora las otras dos gráficas se ven como rectas, lo
que pasa es que estamos viendo una zona del gráfico, ¿sí?
una zona conveniente como para poder sacar a la luz lo que you sabíamos
nosotros desde antes. Igual podríamos hacer un intento ¿eh?
de encontrar
pero bueno, antes de hacer ese intento no
quiero cambiarles ahorita la idea y quisiera que
mejor con esta gráfica, con la azul le pidamos al software que nos la derive ¿no?
Y ahí está la derivada.
Si ustedes recuerdan la imagen que
teníamos anteriormente, yo la tengo aquí guardada.
Era esta gráfica.
Bueno yo le había puesto you las otras funciones
también, ¿no?
pero quiero que vean que estoy haciendo algo que concuerda ¿no?
con lo que teníamos antes.
Vean ustedes como en esta derivada, este punto
que está aquí es un punto en donde la
derivada vale cero, y este punto que está
aquí es un punto que se consideraría el mínimo.
Un mínimo relativo de la función.
Análogamente este punto de aquí que estoy
marcando con el cursor, si se alcanza a ver este es un punto donde
la derivada vale cero y en correspondencia
aquí tenemos un punto máximo de la función.
¿Por qué mínimo o por qué máximo?
Bueno, pues ahorita lo podemos eso contestar en
relación con la derivada Vean que la derivada antes
de este lugar es negativa y después es positiva
Eso hizo que este gráfico decrezca y luego crezca.
Eso dice algo: decrece y luego crece. Lo lógico es que haya ahí un mínimo ¿no?
Por otro lado en esta otra parte del gráfico de la
derivada Aquí es cero y antes es positiva y después es negativa.
Eso me informa que la magnitud, antes era creciente y después decreciente Si ese
algo antes crece y después decrece, pues tiene que corresponder con un máximo.
¿No?
Entonces ahí tendríamos el máximo y el
mínimo que deberíamos estar esperando ¿Por qué?
Porque en la derivada hay cambio de signo ¿no?
Pero por otro lado hay otro punto importante.
¿Cuál punto?
El que corresponde a donde la derivada tiene su máximo.
¡Fíjense!
Esto es algo que necesitamos coordinar mentalmente
porque ahorita acá no pasó ni un minuto
y les hablé del máximo de la función y
ahora les estoy hablando del del máximo de la derivada.
¿ok?
y en ese momento ustedes tienen que coordinar en su mente la información,
si es con respecto a la función o con respecto a la derivada.
Hablo del máximo de la derivada y
aquí encuentro entonces una relación con este punto.
Este punto que está aquí, que estoy tratando de
señalar, es un punto de inflexión, es un punto
donde la concavidad cambió, de cero.
Antes cóncava arriba a ser después cóncava abajo.
¿ok? El gráfica iba creciendo.
Vean. Crece.
Pero antes es cóncavo arriba y después es cóncavo abajo
Eso you nos marca las diferencias en el comportamiento del crecimiento.
El crecimiento antes es cada vez más rápido Y después es cada vez
más lento ¿no? Hasta que luego llega al máximo ¿ok?
Entonces analizamos este gráfico en azul.
Espero que sea lo que estaban ustedes you esperando también you en su mente.
De que debía de pasar por las intersecciones de la
parábola y por otro lado tomemos ahora la gráfica roja.
Esta gráfica roja y le pedimos a Graphmática que la
derive y nos la derivó pero la puso con color rojo.
Déjenme ver si
lo puedo lograr otra vez. Y que me la saque en otro color.
Allí está.
La eliminé y le pedí que la volviera a derivar.
Y entonces you tengo aquí mi gráfica de la derivada Esta gráfica
de la derivada que tenemos aquí es la parábola, perdón ¿no?
Me está informando que hay un lugar en el vértice
de la parábola, que es el máximo del que hablábamos acá.
Está justamente en el eje horizontal.
Y eso llama como una diferencia.
¿Por qué?
Porque la parábola que es la derivada no alcanza a pasar para acá.
Para la zona positiva.
O sea hace que la parábola siempre está contenida en la zona negativa.
Piensen en las 'yes' ¿eh? o sea en las alturas de la parábola
Altura negativa, negativa, cero, toda negativa, negativa, negativa más negativa.
Todavía más negativa y así nos vamos ¿no?
Entonces todas estas alturas negativas en la
parábola me dicen la gráfica, la función, decrece.
Es una magnitud que está decreciendo. Ahora, por otro lado el haberme dado en
la derivada un máximo como es este caso esto va a provocar
que la gráfica de la función tenga en y un punto de inflexión.
O sea en la correspondiente x vean si yo bajo el cursor así, aquí hay un punto de
inflexión que otra vez me marca una diferencia, un
cambio de concavidad: de cóncavo arriba a cóncavo abajo.
Lo que marca aquí un decrecimiento diferente.
Ahorita es un decrecimiento que es cada vez más lento,
que llega al valor cero en su rapidez de crecimiento y que luego sigue
decreciendo pero cada vez más rápido. Se fijan en las diferencias.
O sea, este lugar de aquí, este punto de
inflexión, me está marcando un lugar en donde la
razón de cambio es cero, más no donde se da un máximo o un mínimo de la función.
Vean ustedes cómo es necesario que para que haya un máximo-mínimo
en la función como es, en el caso de la gráfica azul, se necesita que la derivada
sea cero y que además haya un cambio de signo en la derivada, ¿no?
que hay una zona, digamos, por eso
se llama un máximo-mínimo relativo, en relación con
una zona yo puedo ubicar allí que la derivada cruza el eje y cambia de signo.
Eso no lo puedo hacer con la roja.
Aquí la roja no cruzó. Llegó a ser cero,
si es cierto, pero iba negativo, con
valores negativos, y siguió con valores negativos.
Eso me prohíbe hablar de máximos y mínimos,
más no me prohibe hablar del punto de inflexión.
Porque este sigue siendo un máximo pero de la derivada ¿no?
no un máximo de la función ¿ok?
El máximo de esta derivada me va a decir que
aquí hay un punto de inflexión en la gráfica de
la función, ¿ok?
Finalmente vamonos a la gráfica verde, esta que
ni se nota bien, que you veíamos que tenía.
Se acuerdan.
O sea voy a bajarlo aquí ¿no?
you recordábamos nosotros que tenía, por aquí, por aquí tiene que aparecer.
Aquí está.
Tiene que tener un este punto de inflexión.
Ahorita que tienen esta imagen en su mente ¿no?
que la están viendo realmente. Comparen este
punto de inflexión con el punto de inflexión que tenemos acá, con este.
Y vean que hay una diferencia igual le vamos a pedir
a Graphmática que nos derive a al función a ver qué hace.
Nos la derivó y quedó acá, como acá que nada tenía que ver, pero sí tiene que ver.
Nosotros lo sabemos muy bien, ¿no?
Nosotros sabemos que este lugar que está aquí.
Si yo me
bajo por este que parece ser el cuatro punto cinco, Si me bajo por este.
Vamos a bajarnos en el cuatro punto cinco.
Estoy manteniendo el cursor ahí.
Para ver si llegamos justo al lugar
en donde habíamos encontrado ese punto de inflexión.
Vean ustedes como mi crucita llegó justamente ahí que
es donde tenemos el punto de inflexión de la gráfica
verde ¿no?
Entonces tenemos aquí otra vez un comportamiento de decrecimiento:
Cada vez más lento y después cada vez más rápido.
Pero a diferencia de lo que pasó con la curva roja, aquí el decrecimiento no llega
a, digamos, a un valor de su razón de cambio que fuese igual a cero ¿Por qué?
Porque la gráfica, vean ustedes, o sea la gráfica
de la parábola verde, es una gráfica que no llega aquí al eje equis.
Esa diferencia en cuánto a esto, ¿no?
en cuánto a estarle nosotros, viendo una parábola que cruza, perdón, que corta sino
cruza una sólo una vez y no corta pero son diferencias en el punto de inflexión.
Ese punto de inflexión quedó muy abajo.
Y ese punto de inflexión estaría también en al misma vertical
y lo que hacemos es, por ejemplo, aumentar la posición inicial de la magnitud.
Se acuerdan que las tres que construimos,
hicimos que la posición inicial fuese cero.
Entonces si ahorita nos atrevemos a la gráfica verde.
A ver, vamos a ver, la verde.
Esta es la gráfica verde pero ahí la tienen derivada.
Es la que tenía menos ochenta y cinco cuartos.
Es
esta. Ahorita estoy en la gráfica verde, ¿sí?
Entonces vean ustedes.
Ahí está la expresión.
Qué tal si le decimos que le sume, no sé, unos veinticinco.
¿sí?
Estoy diciendo que el valor inicial de la magnitud sea veinticinco.
Eso lo que va a provocar es que el gráfico se vaya muy arriba ¿no?
O sea este punto que está en el cero se va a ir más para arriba.
Y al irse este punto más
hacia arriba, supongo que el otro punto se va a subir.
Vamos a ver.
Si se subió, se subió con el tono azul, pero no lo suficiente.
Si me permiten ahorita la voy a borrar esta, la selecciono y le digo botón der.
. Creo que con botón derecho le digo delete.
Vamos a traernos otra vez nuestra gráfica Y vamos a sumarle
tanto como un cincuenta ¿no? Vamos a ver qué pasa con eso.
Se subió ahora así aún demasiado ¿no?
porque ahora you nos quedó la gráfica acá arriba y en tono rojo.
Entonces, si me permiten, otra vez la voy a elegir.
Y al elegiréndola le voy a dar deletrear y hagamos un último intento donde tenemos
acá el menos ochenta y cinco cuartos. Aquí está, entonces vamos
a sumarle ¿cuánto le sumamos? Veinticinco no nos cuenta.
Vamos a sumarle un treinta y cinco.
Vamos a ver que sea un treinta y dos. Vamos a ver un treinta y dos.
Ahí lo tenemos.
Yo creo que con eso lo logramos. Se fijaron.
A veces es un ensayo y error, ¿no?
lo que estuve haciendo fue, en mi mente mantener que quería subir el gráfico.
Para subir el gráfico le agregué constantes, como término
de la posición inicial.
Este número treinta y dos que está aquí Pues, ¿dónde está?
Si me subo aquí voy a encontrar que esta gráfica verde corta, vamos a ir rapidito.
Y ahí está en el treinta y dos, donde está cortando ¿no?
y eso provocó que el punto de inflexión que veíamos tan abajo you subió.
Esta imagen you es muy clara ¿no? Se fijan de las diferencias.
Puedo tener la derivada como esta parábola ¿no?
que me
provoca un mínimo y un máximo, además del punto de
inflexión Puedo tener esta gráfica que es la roja ¿no?
que sea la parábola, ¿no?
pero que la cúbica correspondiente tenga solamente un punto de
inflexión, y también con la verde tengo un punto de inflexión.
¿Pero cuál es la diferencia entre estos puntos de inflexión?
El punto de inflexión de esta comparado con el de esta vemos es como que la
curva iba en la roja digamos así despacio
y luego se desprende despacio de la horizontal.
En cambio la verde va así y luego sigue y así con una cierta inclinación.
Si me acerco en esta zona, en esta zona de aquí yo vería esa inclinación.
Si me acerco a esta zona como que
yo vería como prácticamente una recta horizontal, ¿no?
Eso es lo que hizo la diferencia de haber tenido este punto
aquí y haber tenido este punto aquí sin tocar el eje horizontal.
Yo quisiera que aquí también, aparte de haber concluido esto del comportamiento de
las cúbicas, aceptemos que cualquier cúbica va a tener un punto de inflexión.
No un máximo y un mínimo.
Eso está claro que no es necesariamente. Habrá cúbicas que tengan un máximo y
un mínimo. Habrá cúbicas que no los tengan.
Es más, si una cúbica tiene un máximo también tiene un mínimo ¿no?
o si tiene un mínimo también tiene un máximo ¿okay?
Pero, en caso del punto de inflexión podemos asegurar que en general, cualquier
cúbica tiene un punto de inflexión. ¿Cómo vamos a sacar eso algebraicamente?,
o sea, ¿cómo sacar este punto de inflexión, este punto de inflexión y
este punto de inflexión? ¿Se lo imaginan?
Lo que tendremos es que regresar a nuestro contexto algebraico ¿no?
y yo los invito a que en este contexto si este ustedes copian ahorita
las funciones que teníamos you, la tarea va a ser la siguiente ¿no?
Vamonos aquí a la imagen, lo que tenemos
escrito, y entonces lo que esperaría yo de ustedes
ahora es una algoritimia otra vez, una práctica algorítmica, en donde les
pido deriven, ¿sí? y después vuelvan a derivar.
Y si yo digo derivo la derivada, en matemáticas
a esto se le llama la segunda derivada, ¿ok?
¿Entonces qué es una segunda derivada?
Entonces no es más que la derivada de la derivada.
No debe de haber ningún problema en
que mecánicamente ustedes puedan aplicar ese algoritmo.
Lo mismo van a hacer con la roja, ¿no?
van a derivar, van a volver a derivar y lo mismo con la verde, ¿ok?
Y después para que encuentren su punto de inflexión recuerden
que ese punto de inflexión es aquí en esta un máximo.
Si quiero encontrar aquí un máximo, un mínimo ¿no?
en el caso de nuestras figuras fueron máximo, ¿sí?
o un mínimo.
Puede ser también un mínimo.
Lo que necesitan ustedes es encontrar entonces donde su derivada vale cero.
O sea para encontrar donde tengo el punto de inflexión lo
que tendríamos que hacer es igualar la segunda derivada con cero.
Observarán que la segunda derivada es una función lineal,
y si la igualan a cero estarían resolviendo una ecuación lineal.
De las que empezamos nosotros nuestro curso ¿no?
Entonces los invito para que en el próximo video ustedes
traigan sus soluciones de la derivación y derivación y después
de la igualación con cero para encontrar las coordenadas del
punto de inflexión, mi primera intervención va a ser mostrándoles
esta misma hoja en donde estarán declarados cuáles so
esos valores para que ustedes puedan revisar sus procedimientos ¿no?
Entonces los invito para el próximo video en donde les voy
a poner aquí las soluciones que inmediatamente ahorita me pongo a calcular
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