Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Visualizando las gráficas
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Ecuaciones y funciones cúbicas
Retomaremos el contexto real del movimiento en línea recta para activar procesos algebraicos relacionados con la interpretación gráfica del movimiento. Consideraremos diferentes casos de ecuaciones cúbicas en las que podremos calcular sus soluciones con procedimientos algebraicos sencillos.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Seguimos, entonces con la historia del cochecito.
you puse la información en esta diapositiva para que podamos proceder
a hacer los gráficos en el orden consecutivo, como lo hemos propuesto.
Entonces, si me acompañan ahorita, en la pantalla you tenemos aquí...
bueno, puse yo cuál es la aceleración.
Les puse la función de aceleración, la ecuación a de t igual a cero, o sea,
la aceleración es cero en el tiempo seis.
you lo habíamos obtenido con todas las de la ley.
you habíamos también resuelto la ecuación v de t igual a cero, una cuadrática
que salió muy bonita con soluciones t igual a uno y t igual a once.
También resolvimos, bueno no, calculamos la velocidad en el tiempo seis.
También calculamos la posición en el tiempo seis, en el uno y en el once.
Y finalmente,
resolvemos la ecuación cúbica que resulta de igualar a cero la posición.
Nos salieron aquí los valores no tan bonitos.
Aquí you tenemos aproximaciones, pero uno de los
valores fue cero porque estamos, acuérdense, ilustrando, ahorita,
el caso en que una ecuación cúbica sí
la podamos resolver, porque no tiene el término independiente.
El número que está solo, sin la letra T ó X.
Según sea el caso.
Bien, ahora lo que vamos
a hacer es hacer uso de todo lo que hemos aprendido en nuestro curso.
O sea, vamos a dibujar primero la gráfica de la aceleración.
Vean ustedes que no voy a tomar ahora el
caso, digamos, de sacar Graphmática y dibujar la función.
Sino que quiero, con ustedes, que hagamos este ejercicio al revés.
O sea, estamos pensando, en cierta forma, en antiderivar.
Ok.
O sea, la aceleración que tenemos, ahorita,
en ese tono verde es una función lineal.
Eso fue nuestro primer tema.
Deberíamos de poder graficar esa función lineal con facilidad.
O sea, por ejemplo, ¿qué les diría yo?
Yo puedo ver aquí este menos doce que es el
término independiente, y pienso en el valor inicial de la aceleración.
Entonces, me vengo aquí al gráfico y diría:
este número que está aquí es, justamente, menos doce.
Ahí cruza esa recta.
Por otro lado, you resolvimos cuándo la aceleración es igual a cero.
¿Se acuerdan?
Que nos salió que el t es igual a seis.
Entonces, esta recta tiene que cruzar aquí en el seis.
Si yo quitara esa recta y la borrara
horita, Bastaría con que (vamos a ver si me
deja escribirlo)...
bastaría con que yo tomara el dato que estoy escribiendo aquí, que sería el
menos doce, con este punto, y poner este punto el seis.
Bastaría que tomara estos dos puntos, y con esos dos puntos trazo la recta.
O sea, esa es información suficiente para dibujar esa función lineal.
Entonces, you tenemos esa función lineal dibujada,
pero ella es la derivada de la velocidad.
Entonces, si nos vamos hacia atrás, la siguiente
instrucción es dibujo ahora la gráfica de la velocidad.
Ciertamente, la velocidad aquí es una ecuación...
es una función cuadrática. Tenemos alguna información sobre ella.
Por ejemplo, que la velocidad en seis vale menos veinticinco; que
la velocidad es cero en el uno y en el once.
Esa información la podemos juntar con la información que nos dá la aceleración.
Porque ella es la razón de cambio de la velocidad.
Entonces, en ese sentido, vean ustedes, que
cuando yo tengo aquí la velocidad negativa (perdón)....
la aceleración, aqui, por ejemplo, en esta zona...
la aceleración negativa en esa zona tengo que tener que la velocidad decrezca.
Y donde la aceleración es positiva, en
esta otra zona, la velocidad tiene que crecer.
Entonces, en mi mente, you hay un gráfico que va a ser decrecer, y crece.
Por otro lado, si ustedes observan la aceleración es una recta que va creciendo.
¿Cierto? Y si la...
esta recta está creciendo, entonces, la gráfica de su antiderivada, o sea,
de la velocidad, tiene que ser cóncava hacia arriba.
Entonces, juntemos esa información la velocidad que vamos a dibujar debe
de decrecer y luego crecer y, aparte, ser cóncava hacia arriba.
O sea, no sé si vean; mi misma mano you está diciendo -esto va a ser una...
una parábola tipo "up", ¿no? Ok.
Entonces, ahorita que se las voy a dibujar
vean se desaparece la otra que you teníamos.
Bueno, pero ahí está ese dibujo. Ahí tengo la expresión de la velocidad.
Ahí tenemos la información que teníamos antes en el papel y que tenemos ahora,
pero, este, digamos, en el gráfico. Vamos a ponerle ahorita con el tono azul.
Déjenme tomar el tono azul. Y aquí vamos a poner...
fíjense cómo aquí está este uno, aquí está el once,
¿cierto?
La información que you habíamos sacado de la velocidad era cero.
Este punto que está aquí está en el seis.
Y aquí podríamos poner en la raya, aquí, y decir aquí estamos en el menos veinti...
¿cuánto era?, veinticinco, ¿no?, menos veinticinco.
El dato negativo de la velocidad, ¿se acuerdan?
Entonces ahorita, you te pedíamos nuestro dibujo completo
que, por otro lado, pudimos haber hecho con sólo los tres puntos que teníamos.
¿Por qué?
Porque esos tres puntos eran importantes.
Porque son, justamente, el vértice y los cortes con el eje.
Entonces, sabíamos que nuestra parábola...
es más, podríamos ponerle su valor inicial.
¿Se acuerdan cuál es el valor inicial aquí?
Según la función de velocidad, aquí estaríamos en el once en este lugar.
Entonces, podríamos poner,
valor inicial once, cruza el eje en el uno, luego baja en
el tiempo seis hasta el menos veinticinco y ese es el mínimo.
Luego, sube en el once y cruza el eje, y luego you, sigue hacia arriba.
Entonces, nuestro dibujo, you completo, tendría que ser algo, digamos, como lo que
estamos observando ahorita en la gráfica, bien identificado en sus relaciones
con la gráfica verde.
O sea, donde la gráfica verde es negativa, tengo el decrecimiento.
Donde la gráfica verde es positiva, tengo el crecimiento.
Donde la gráfica cruza el eje x, tengo el vértice de la parábola.
¿Qué es lo que vamos a hacer ahora?
Bueno pues, nos vamos a regresar a la siguiente
pregunta que sería: dibuja ahora la gráfica de la posición.
Y de ahí a la historia.
Entonces, para dibujar la gráfica de la posición,
siendo congruentes con lo que hemos aprendido,
lo que tendremos que tomar en cuenta
es cómo la velocidad, porque ella es la razón de cambio de la posición.
Entonces si, por ejemplo, ahorita me siguen en este dibujo...
Vean, yo aquí pensaría que necesito considerar esta zona...
Déjenme cambiar el color, sino no se los voy a resaltar muy bien.
Vamos a ponerle el resaltador
en amarillo. Entonces, en esta zona que
estoy resaltándoles con amarillo, es una zona pequeña, si se fijan,
está por aquí. En esta zona la velocidad es positiva.
Después tengo una zona en donde la velocidad es negativa.
O sea, voy a tratar de usar otro resaltador,
otro color del resaltador.
O sea, si ponemos un resaltador con este tono,
en esta zona de aquí la velocidad es negativa.
También le sigo. Le puedo seguir y sigue siendo negativa,
pero ahorita, para mí, es importante que pueda separar la zona que sigue
porque ahorita, en la que repintamos, es decreciente la velocidad y sin embargo,
despuesito de ella, va a ser creciente.
O sea, vamos a tomar un tono como éste, en esta parte
de aquí sigue siendo negativa la velocidad, pero ahora va a ser creciente.
O sea, cambian las propiedades de la gráfica.
Finalmente, un último tono en el resaltador nos haría pensar en...
vamos a ponerle por aquí este... una zona en donde el gráfico
es positivo y es creciente. Ok.
O sea, les separé en cuatro partes, partí en cuatro partes la zona de la
parábola que está en la parte positiva del
eje x porque ahorita estamos trabajando con tiempo.
La primera de esa zona, esa es una zona pequeña que puse
con el resaltador amarillo, en donde la velocidad es positiva y decreciente.
Ok.
O sea,
en mi cabeza soy sincera. O sea, yo estoy viendo algo así.
Dejen ver si tengo el color rojo conmigo.
Estoy viendo aquí propiedades de la velocidad y estoy
viendo acá propiedades de la posición de las gráficas.
Estoy viendo que hay una zona donde la velocidad es positiva.
Y eso me va a dar crecimiento en la gráfica
de posición.
Y otra suma donde la velocidad es negativa y
me va a dar, en consecuencia, decrecimiento en la posición.
Pero también habíamos visto cómo, cuando la velocidad
es creciente, aquí el gráfico de la posición
se vé cóncavo arriba, y cuando es decreciente,
el gráfico de la posición se vé cóncavo abajo.
O sea, estoy jugando, ahorita, digamos, con información de
la razón de cambio que me implica cierta información
en el gráfico de la... de la función o de la magnitud original.
Entonces, la suma amarilla, por ejemplo, la que les
resalté primero, es una zona que cumple ¿con qué?
O sea, cumple con, por un lado, el (vamos a ponerle aquí)...
cumple con que es positiva (no me cambia
el color, vamos a tratar de hacerlo nuevamente)...
es positiva y, aparte, es decreciente.
Les tengo que señalar dos cosas que me van a dar una información, acá, conjunta.
El crecimiento de la posición va a tener que ser con concavidad hacia abajo.
Piensen ahorita, en su cabeza, en un gráfico que vaya creciendo y concavidad
hacia abajo. En mi cabeza, se los dibujo para ustedes.
you sería algo así, crece con concavidad hacia abajo.
Ok.
Después, en la zona que les resalté con el naranja, en ese naranja, o
sea, lo que tenemos de información es
una velocidad negativa, ¿cierto?, pero también es decreciente...
aquí se me amontona...
tengo las dos informaciones, el
naranja...
Velocidad negativa y decreciente que dá, en
consecuencia, un gráfico decreciente y cóncavo hacia abajo.
Piensen en un gráfico decreciente y cóncavo hacia abajo.
Piensen en su mente.
Algo que decrece y que es cóncavo hacia abajo.
Eso depende también de la coordinaciónn que cada quién
tiene y son ejercicios que vale la pena realizar.
O sea,
nuestras manos. pueden ayudar en eso.
Voy a dibujar algo que decrezca y con concavidad hacia abajo.
O sea, mi mano estaría dibujándoles algo así.
¿De acuerdo? En la otra zona, en la zona que les tengo
ahí con ese resaltador de ese tono medio gris (quién sabe a cuál le había picado
antes, pero bueno, vamos)... en esta zona es negativa la velocidad y
también es creciente.
Vean que estoy señalándosle dos informaciones en mi lista que
me van a dar dos informaciones: decrecimiento con concavidad arriba...
o sea, lo que seguiría en el gráfico, después de
lo que hicimos hace ratito, sería un decrecimiento con concavidad arriba.
Decrece con concavidad arriba. Ok.
Finalmente, en esa zona que yo les resalté
con el color moradito, tendríamos un ¿qué?
Un signo positivo de la velocidad pero con un crecimiento.
Ahora, y eso me va a dar lugar a
un gráfico de la posición creciente con concavidad hacia arriba.
Creciente con concavidad hacia arriba, tendría que
ser algo que va así, de subida.
Crece con concavidad hacia arriba.
Ok.
Entonces, ese crecimiento con concavidad hacia arriba final,
o sea, sería la última parte de la historia.
Si ustedes se acuerdan, en los dibujitos, que algunas veces los traigo por aquí,
con las concavidades, hagan de cuenta que
lo que estamos haciendo es combinar estas curvas.
Entonces, ¿comenzaríamos cómo?
¿Cómo dijimos?
Para la primera zona comenzaríamos con crecimiento con concavidad abajo.
Después seguiríamos con un decrecimiento con concavidad hacia abajo.
Después seguiríamos con un ¿qué?
Decrecimiento con concavidad hacia arriba.
Y finalmente, acabaríamos con un crecimiento con concavidad hacia arriba.
Si ustedes son capaces de juntar esa información en
su mente verían cómo se está formando un gráfico así.
Ok.
Dónde cada vez que yo me
paro para cambiar crecimiento con concavidad abajo,
ahorita cambio a decrecimiento con concavidad abajo.
Y luego sigo decreciendo con concavidad arriba
y luego sigo creciendo con concavidad arriba.
O sea, lo que van a ver en su mente es algo como lo que se va a dibujar ahora.
Algo que se va a dibujar cumpliendo con esas características.
Veamos este
gráfico rojo.
Y veamos en ese gráfico el comportamiento que les decía.
¿Qué diferencias pueden encontrar? Pues mira, vean que yo hice algo así.
A lo mejor se los estoy poniendo en una misma altura todo.
Las diferencias son en cuánto a las
alturas que se tienen en los puntos, realmente.
Las alturas son tales que, ahorita que yo estoy
viendo el gráfico, lo veo que esa primera zona
donde crece es pequeñita; subió, llegó a un máximo, luego cruzó, luego va
a un mínimo bastante abajo y luego you empieza a subir otra vez.
¿Qué nos falta señalar en este dibujo?
Bueno pues, nos faltaría señalar ahí cuáles son
los puntos importantes en la gráfica de la posición.
Y esos puntos, ¿verdad?, son los que habíamos obtenido con anterioridad.
Aquí los tengo, afortunadamente.
Sepan, antes de terminar con este video, me
gustaría que se los pusiéramos en su color rojo.
Y entonces, aquí tendríamos nosotros el cero, ¿se
acuerdan?, este cero, que sería donde cortó aquí.
Teníamos este otro punto.
Este ha de ser, justamente, el que teníamos como t
igual a nueve, menos cuatro raíz de tres, que es aproximadamente
un dos punto cero, siete, uno, siete, nueve.
Si se vé, ¿no?, que coincide.
Y aquí, en este, tendríamos el t igual a nueve, más cuatro raíz de
tres, que es, aproximadamente, un quince punto nueve, dos, ocho, dos.
Ok.
Parece que está casi en el dieciseis, pero no es así.
Está cerquita del dieciseis.
Por otro
lado, el punto donde llega el máximo y el mínimo, este gráfico
son puntos que tienen que ver con que la velocidad haya sido cero.
O sea, yo los invito para que en mi
siguiente video pongamos you toda esta información en el gráfico.
No nada más en el de la posición, también en el de la
velocidad y aceleración y que, entonces,
you procedamos a completar nuestra larga historia
del comportamiento del movimiento de este cochecito rojo en línea recta.
Los espero, entonces.
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