Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
¿Y cuál es el nivel máximo?
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Concebimos un movimiento diferente
Hablaremos del Modelo Cúbico construido a partir del Modelo Cuadrático. Retomaremos la situación real de movimiento en línea recta creando un movimiento en el que no hay cambio de sentido. Transitaremos al contexto real de llenado de tanques para dar significado a la función cúbica y a su derivada.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues regresamos aquí. Nosotros como si nada
seguimos pensando en partículas y tanques Teníamos en la ocasión
pasada un tanque que inventamos aquí no, con ciertas...
un tanque con tres llaves.
Ahora sí you estamos tomando en
consideración que hubiera la aportación, ¿no?
De tres elementos que hacen que nuestra magnitud eh,
cambie, o sea, esos tres elementos van a ser
esas tres llaves con una forma de actuar distinta, ¿no?
y que las tres de ellas van a aportar para que el nivel de agua crezca en el tanque.
Recuerden siempre, estoy hablándoles de un nivel de
agua que crece en el tanque o decrece, ¿no?
etcétera, pero ese nivel viene siendo la magnitud que me interesa estudiar.
Ahorita estamos en un contexto de tanques porque ese
contexto es el apropiado para que veamos como las diferentes razones de cambio
van a aportar en el cambio que va a sufrir la magnitud en una forma global.
Entonces, si me acompañan en la pantalla yo les voy a
mostrar, bueno, lo que you teníamos visto desde la vez pasada, aquí
tengo el tanque con las tres llaves se ve que una de
las llaves, ven esta flecha azul, me está diciendo que la razón
de cambio aquí es constante. En la llave con la flecha verde tengo una
razón de cambio cuya representación algebraica es un modelo lineal.
Es una función lineal.
Y ahora nuestra novedad, verdad, es que
estamos considerando esta llave con una flecha negra
en donde la razón de cambio es ahora
cuadrática, o sea, estamos avanzando en nuestro estudio.
Incluso you habíamos propuesto ¿no?
que podríamos
hablar de una razón de cambio conjunta al hacer una
suma de las aportaciones de las tres razones de cambio.
Esto es natural, les digo, en este
contexto, después de que hemos pensado que el
nivel de agua tiene que estar calculado
con un nivel inicial más tres elementos, ¿no?
Estos tres términos que vemos en la expresión matemática
serían las aportaciones de cada uno de los tanques.
Por ejemplo para
el caso de la razón de cambio constante dos, tendríamos aquí el término dos t.
Para el caso de la razón de cambio lineal cuatro
t, tendríamos aquí un 4 t cuadrado entre dos, para
la razón de cambio menos tres t cuadrada, donde este
signo negativo me dice que estoy hablando de desalojar, ¿no?
agua, aquí la aportación para el nivel sería
menos tres por t cúbica entre tres, esta acción de poner
de t a t cuadrado entre dos, de t cuadrada a t
cúbica entre tres, es algo que hemos construido paulatinamente a través del
uso del software y de haber estado en un contexto del movimiento.
Entonces ahorita lo estamos aplicando acá en el contexto de tanques.
Ahora estamos sumando las aportaciones de las tres llaves.
Nos queda una fórmula
matemática que podemos identificar con un modelo cúbico ¿Por qué?
Porque ahora la variable t estaría elevada al cubo ¿no?
en su máxima potencia.
Y eh, después de eso hicimos, vamos, el cambio, otra vez
la traslación a un contexto matemático de equis y yes, ¿no?
Entonces nuestra magnitud nivel que depende de te acá sería una
y que depende como función que depende de x, la expresión
matemática sería quince más dos x más dos x cuadrada menos x cúbica, y la derivada,
you la habíamos nombrado así, la razón de
cambio del nivel, la velocidad en el contexto
del movimiento viene siendo eh, una expresión matemática
como dos más cuatro x menos tres x
cuadrada, donde esta flecha verde que tenemos aquí,
fue cuando you hablábamos de este proceso algorítmico
de derivo y esta flecha azul me dice también anti derivo.
Estamos haciendo que Ustedes sean capaces de manejar estas dos
expresiones matemáticas que están relacionadas
entre sí, no solamente en cuanto
a lo algebraico si no también en cuanto a lo gráfico,
por eso veamos en lo gráfico lo que está pasando ¿no?
en estas gráficas donde tenemos usando Graphmática una oportunidad de ver en tono
azul, digamos a nuestra función y en tono rojo
a su derivada entonces si me acompañan aquí, ¿no?
habíamos visto la derivada ¿no?
no me recuerdo si en el vídeo pasado la pusimos esta ventana, o sea, la preparé.
Les puedo recordar en dónde, en view, aquí en Grid range, en
este menú Ustedes pueden hacer una
elección de dónde estar viendo nuestro gráfico.
Ahorita por ejemplo podría yo decirle que empezara en la izquierda,
en el menos uno pensando de que ahorita el tiempo negativo no nos interesa, ¿verdad?
Podríamos decirle que a la derecha acabara en un siete por
cambiarles un poco ahorita y entonces ahí vemos inmediatamente los cambios, ¿no?
Estamos viendo este gráfico sin esta parte.
Los dos valores de t negativos aunque Graphmática los toma como x, ¿verdad?
y ahorita viendo este gráfico
podríamos hacernos varias preguntas ¿no?
o sea, varias preguntas que les hice en la ocasión pasada.
Me gustaría ahorita, ahorita retomar una de ellas ¿no?
Una que es muy evidente es cuando uno está viendo este
gráfico como si uno la dibujara en el tiempo y pensara
en este lugar, este lugar de aquí sería el significado de
que el nivel estaba subiendo y llegó a un valor máximo ¿no?
El nivel y luego empezó a bajar suponiendo claro
que el tanque tenga las dimensiones necesarias para que no se desborde en
ese máximo o antes de llegar a él vamos a suponerlo así ¿no?
Entonces lo que preguntamos ahorita es cuándo llegó a este nivel
y cuál es ese nivel máximo, ¿sí?¿cuál es ese nivel máximo?
Entonces vamos a poner esa pregunta, si les parece,
vamos a ponerla en un archivo o aquí mismo ¿no?
Vamos a empezar haciendo la
pregunta de cuál es ese nivel máximo ¿no?
Para saber cuál es ese nivel máximo lo que necesitaríamos, ¿qué es?
¿Piensan?
¿cuál es el nivel máximo? Una cosa que hemos
aprendido y esto tiene que ver con el estudio del cálculo ¿no?
es que el encontrar valores máximos y mínimos de magnitudes
de hecho fue una de las leyes, fue una problemática,
una de las problemáticas que hicieron surgir al cálculo ¿no?
o sea la humanidad, imagínense es importante ¿no?
tener respuestas a esta pregunta, entonces ¿cuál es ese nivel máximo?
Sería algo que aquí en el, en el dibujo nos diría más o menos algo por aquí ¿no?
si les muevo esto estaría por aquí. ¿Cierto?
Es más estoy tratando de usar, fíjense estoy
tratando de usar este mismo rectángulo para
señalarles aquí un punto rojo que es el
que corresponde con el punto máximo acá
para poder señalárselo acá con este lapicito ¿no?
Andamos buscando ese lugar.
Ese lugar, si Ustedes se fijan, es un lugar
que está relacionado abajo con el gráfico rojo, ¿no?
Es justo donde el gráfico rojo cortó el eje x, o sea,
lo natural sería pensar que el lugar en donde el nivel es máximo
lo que está pasando ahí con la razón de cambio es que esta llega a ser cero, ¿no?
o sea la razón de cambio me está diciendo cuánto cambia ¿no?
la magnitud cuando pasa un instante ¿no?
En cada instante ¿no?
¿Qué está pasando con el cambio de la magnitud?
Vean Ustedes cómo en la derivada, en lo rojo, la magnitud, eh, tenía
antes una razón de cambio, antes de ese lugar eh, que estoy señalando antes
de este lugar, aquí la derivada es positiva, ¿no?
luego llegamos a este lugar y después pasamos a este
lugar donde la derivada es negativa o sea eso me
está diciendo que antes de ese lugar la razón de
cambio es positiva o sea que el nivel aumenta ¿no?
y después de ese lugar la razón de cambio es negativa, o sea que el nivel
disminuye entonces entre ese hecho real de que el nivel aumenta y el nivel disminuye,
tiene que haber en esa transición un lugar en donde se llegó
a un valor máximo, y ese valor máximo corresponde con este instante, ¿no?
este instante en donde la razón de cambio es cero.
Entonces cuál sería la estrategia, la estrategia que utilizaríamos ¿no?
para encontrar ese lugar.
Pues lo que vamos a hacer es tomar el
color rojo, exacto porque vamos a tomar nuestra función
derivada ¿cuál es esa función derivada? La que tenemos por acá
arriba ¿verdad? Vamos a traernos la dos más cuatro x menos
tres x cuadrada ¿sí? dos más cuatro x menos tres x cuadrada.
Entonces tenemos fprima de f es igual a dos más cuatro
x menos tres x cuadrada y a esta derivada ¿qué le vamos
a hacer? Pues la vamos a igualar a cero ¿no?
¿Por qué?
Porque necesitamos encontrar este lugar ¿no?
en dónde la derivada es cero ¿ok?
Vamos a ponerlo ahí otra vez el cuadro para que Ustedes vean en esta raya
cómo estoy tratando de llegar de la curva roja a la curva azul, al máximo.
Entonces estamos trabajando con la curva roja, por eso nos trajimos su ecuación
en rojo y tendríamos que resolver esta ecuación que ¿cómo se llama esta ecuación?
Se llama ecuación cuadrática, ¿sí?
que ese es uno de nuestros temas anteriores la vamos a resolver, vamos
a escribirla en el orden, digamos, para reconocer a, b y c, ¿ok?
y nos quedaría menos tres x cuadrada, más cuatro x, más dos igual a cero, ¿ok?.
Ahora esta ecuación cuadrática la vamos a resolver con
la fórmula general vamos a ponerle aquí ecuación
cuadrática y ahora vamos a poner la fórmula general.
Esta fórmula general you la hemos repasado en algunas ocasiones.
Vamos a ponerla aquí como menos b.
¿Quién es la b? Aquí está la b, ven es este cuatro.
Entonces menos b sería menos cuatro más menos raíz cuadrada de
esta b que es cuatro al cuadrado le voy a poner dieciséis
de una vez menos, luego seguiría un cuatro por la letra
a que es un menos tres, por la letra b que es un dos, ¿ok?
y todo esto entre dos veces la a o sea dos veces el menos tres, ¿ok?
entonces vamos adelante con esta operación algebraica, digo algebraica, ¡aritmética!
Esta es aritmética ¿no?.
menos cuatro más menos raíz de dieciséis, ¿qué sería?.
Menos por menos da más.
Esto es es un más cuatro por tres son doce, tres por doce son veinticuatro.
Entonces esto nos queda abajo menos seis o sea esto sería igual a, entonces, a menos
cuatro, más menos raíz de tanto como seis y cuatro, diez.
Nos queda un cuarenta, ¿verdad?
entre menos menos seis,¿ok?
y un cuarenta pues hasta se antoja escribirlo como un ¿qué?
como un cuatro por diez para poderlo sacar del radical entonces nos va a quedar ¿qué?
menos cuatro más menos dos raíz de diez, ¿cierto?
Esto entre menos seis ¿ok?
Después de esto you vamos a poder hacer una cancelación de un factor dos ¿cierto?
es como si uno arriba factorizara un dos
que multiplica a menos dos más menos raíz de
diez entre menos seis, o sea, esto es
cuando uno you puede hacer la cancelación aquí, si
no la tuviéramos que haber hecho entre estos dos y esto dos y aquí you nos va
a quedar un menos dos más menos raíz de
diez entre menos tres, entonces tenemos dos valores ¿no?
Uno de ellos es menos
dos más raíz de diez, entre menos tres y el otro es menos
dos menos raíz de diez entre menos tres, ¿ok?
Entonces vamos a traernos una calculadora
aquí rápidamente para hacer una operación ¿sí?
Este diez, este raíz de diez vamos
a ponerlo aquí, es tres punto dieciséis, ¿sí?
Si Ustedes piensan en tres punto dieciséis,
en este lugar que tenemos aquí tres punto dieciséis.
Si le quito dos es positivo y si lo divido entre tres
es negativo, entonces esto nos va a dar un valor negativo ¿no?
y en este caso de acá este menos dos menos
raíz de diez entre menos tres, you nos va a quedar
una cantidad positiva por lo que de arriba es negativo y
lo de abajo también entonces esa cantidad es la que voy
a sacar acá con la calculadora. Tendríamos que uno raíz de diez más un
dos, vamos a ponerle más un dos y lo que resulta lo dividimos entre
tres y el valor va a ser uno punto setenta y dos, cero setenta y cinco, nueve.
Vamos a ver este valor, vamos a nuestro dibujo
acá con Graphmática, y que es lo que tenemos entonces.
Tenemos el valor
uno punto setenta y dos, cero setenta y cinco, fíjense Ustedes aquí
en este lugar, uno punto setenta y dos, cero setenta y cinco, nueve.
Este es el lugar que acabamos de encontrar acá con la
calculadora o sea voy a poner ahorita otra vez la imagen así.
Vean estoy tratando de hacer coincidir aquí la punta ¿no?
de este rectángulo con el punto en rojo, y ese punto en rojo ¿cuál es?
Es justamente uno punto setenta y dos, cero siete cinco, nueve, ¿ok?
Hemos encontrado un valor de x.
¿Qué significa ese valor de x? Ese valor de x es un tiempo.
Es el tiempo en el que el nivel va a llegar a su valor máximo
¿Cómo encontrar el valor máximo del nivel? Ahí qué es lo que tendríamos que hacer?
Yo los invito para que lo piensen, para que lo resuelvan
y que en el próximo video que nos encontremos aquí Ustedes you
traigan ese valor, les enseñaré también un poquito de cómo podríamos obtenerlo, ¿no?
con ayuda de Graphmática más que por otro lado, recuérdense,
no es solamente usar el software y resolver las cosas ¿no?
si no también, o sea, saber adquirir esa práctica, ¿no?
de usar el lenguaje matemático.
Recuerden para nosotros la matemática tiene al menos tres aspectos.
Es una teoría, es un lenguaje simbólico y
es una solución, una actividad de solución de problemas.
Un lenguaje simbólico es lo que les pido
ahora ¿Cuál es el lenguaje simbólico que necesito aplicar
para que Ustedes den la respuesta de cuál
es el nivel máximo al que llevó, llegó este...
el agua
en este tanque ¿no? Nos vemos en el próximo video con esa
respuesta y seguimos adelante con nuevas preguntas.
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